利用基本圖形巧解中考題

安徽省阜陽市第十一中學(xué) 劉 穎

數(shù)學(xué)中，幾何圖形大都由基本圖形復(fù)合而成，因此，熟悉常見的基本圖形及探究圖形間的聯(lián)系，有助于快速準(zhǔn)確地從復(fù)雜的圖形中分解出自己所熟知的基本題型和基本圖形。對這些基本圖形的條件和結(jié)論進(jìn)行探索，對學(xué)生解決相似及中考壓軸問題都是十分有用的。

一、常見的幾種基本圖形

（一）三角形中的相似

1．平行線型

圖1-1

圖1-2

2．相交線型

圖2-1

圖2-2

3．母子型

圖3

4．三角相等型

圖4-1

圖4-2

（二）圖形變換之中的旋轉(zhuǎn)

1．旋轉(zhuǎn)不變性

如圖5，由△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后得到△OA'B'。易知△OAB≌△OA'B，連接AA',BB'。

則有：①△OAA'和△OBB'是等腰三角形且∠AOA'=∠BOB'；②∠BPB'=∠BOB'。

圖5

2．旋轉(zhuǎn)相似性

如圖6，△OAB∽△OA'B' ,則有：①△OAA'∽△OBB'；

②∠BPB'=∠BOB'。

圖6

二、基本圖形在安徽中考題中的應(yīng)用

例1 如圖7，已知△ABC、△DEF均為正三角形，D、E分別在AB、BC上。請找出一個(gè)與△DBE相似的三角形并證明。

分析：由題中條件可知，此題是三角相等型和相交線型基本圖形的應(yīng)用，首先分解原題圖形為基本圖形：

圖7

圖 7-1

圖 7-2

圖 7-3

圖 7-4

由圖7-1可知△DBE∽△GAD，由圖7-2可知△DBE∽△ECH，由圖7-3可知△GAD∽△GFH，綜上還可得△DBE∽△GFH。

例2 （歷年安徽中考）如圖8，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q。

（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；

圖8

（2）求BP∶PQ∶QR。

分析：由題中條件可知，此題是平行線型基本圖形的應(yīng)用，首先分解原題圖形為基本圖形：

圖 8-1

圖 8-2

圖 8-3

（1）由圖8-1可知△PAB∽△RDQ，由圖8-2可知△PCQ∽△RDQ，由圖8-3可知△BCP∽△BER，又由△PAB∽△RDQ和△PCQ∽△RDQ知△PCQ∽△PAB。

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形ACED都是平行四邊形，所以BC=AD=CE，結(jié)合圖8-3可知PB=PR圖8-2可知再結(jié)合DR=RE和所以QR=2PQ，又因?yàn)锽P=PR=PQ+QR=3PQ，所以BP∶PQ∶QR=3∶1∶2。

通過以上例題，我們可以感受到復(fù)雜圖形可以分解為簡單的基本圖形，從而使解題依據(jù)更加明確，解題思路更加明晰，這樣使解決問題的難度得以降低，達(dá)到“化繁為簡”和快速解決問題的目的。