一堂中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課：王老師狗年的計(jì)劃

安徽省旌德梓陽(yáng)學(xué)校 王建峰

一、課堂討論

問(wèn)題情境：王老師（2018年）的狗年計(jì)劃是想買(mǎi)一套100平方米左右的商品房。今天讓同學(xué)們給我參考出主意：同學(xué)們，說(shuō)一說(shuō)買(mǎi)房需要考慮哪些因素？

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)具體問(wèn)題的導(dǎo)入，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一下就調(diào)動(dòng)起來(lái)了。有說(shuō)房?jī)r(jià)的，有說(shuō)采光的，有說(shuō)環(huán)境的，有說(shuō)物業(yè)的，有說(shuō)還款的等。

二、問(wèn)題解決

（一）房?jī)r(jià)篇

以下是我縣近十年的商品房房?jī)r(jià)：（參考旌德縣房?jī)r(jià)年鑒）

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（1）請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖分析上表中的數(shù)據(jù)，從中你能得出什么結(jié)論。（寫(xiě)三條）

（2）2013年～2015年房?jī)r(jià)平均增長(zhǎng)率是多少？（精確到整數(shù)）

（3）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)上漲，按此上漲的百分率，你預(yù)測(cè)到2016年，我縣的商品房房?jī)r(jià)是否會(huì)漲到4500元？請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖或條形統(tǒng)計(jì)圖。結(jié)論：略。

（2）設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則有2880（1+x）2=4180，解得x≈20%。

（3）4180×1.2=5016，因?yàn)?5016 ＞4500，所以能。

拓展：旌德縣2016年實(shí)際平均房?jī)r(jià)為4400元左右。

本題滲透了數(shù)學(xué)建模思想，同時(shí)教師還可以提問(wèn)：為什么計(jì)算出的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)誤差比較大？滲透其他學(xué)科知識(shí)。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】該例題重點(diǎn)考查了統(tǒng)計(jì)圖的選擇、解一元二次方程及方程的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)分析、計(jì)算復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用。該例題在中考題中屬于中低檔題。

（二）還款篇（選講）

王老師于2013年6月份在縣城買(mǎi)了一套樓房，當(dāng)時(shí)（即6月份）用住房公積金借貸了35萬(wàn)元住房貸款，貸款期限為15年，從開(kāi)始貸款的下一個(gè)月起逐月償還，貸款年利率是5.94%（每月還款數(shù)額= 平均每月應(yīng)還的貸款本金數(shù)額 + 上月所剩貸款本金數(shù)額×年利率÷12）。

（1）求王老師借款后第一個(gè)月和第二個(gè)月的還款數(shù)額（精確到元）；

（2）假設(shè)貸款年利率不變，請(qǐng)寫(xiě)出王平老師借款后第n（n是正整數(shù)）個(gè)月還款數(shù)額p與n之間的函數(shù)關(guān)系式（不必化簡(jiǎn)）；

（3）在（2）的條件下，求王平老師2015年10月份的還款數(shù)額。

解：（1）第一個(gè)月：1945+ 350000×5.94 %÷12=1945+1732.5=3678（元）。

第二個(gè)月：1945+（350000-1945）×5.94%÷12=1945元+1723==3668（元）。

（2）第n個(gè)月：p=1945+ [350000-1945（n-1）]×5.94%÷12。

（3）將n=28代入1945+[350000-1945（n-1）]×5.94%÷12得：1945+（350000-1945×27）×5.94%÷12=1945+1473=3418（元）。

答：王平老師2015年10月份的還款數(shù)額為3418元。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】（1）該問(wèn)題是高一數(shù)學(xué)（必修）課后閱讀建模的變式題，對(duì)九年級(jí)學(xué)生有挑戰(zhàn)，是提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的好素材；（2）本題在中考題中屬于中高檔題，重點(diǎn)考查了學(xué)生閱讀、信息轉(zhuǎn)化、列代數(shù)式的能力。還款問(wèn)題在數(shù)學(xué)中是個(gè)難點(diǎn)，尤其是復(fù)息。該題計(jì)算量大，需借助計(jì)算器。

（三）裝修篇

1.王老師家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝修公司合作需6周完成，需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能夠完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元。若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成。（1）為了盡早入住，王老師應(yīng)選哪個(gè)公司？（2）以節(jié)約開(kāi)支角度考慮，王老師應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由。

解：（1）設(shè)甲、乙公司獨(dú)做分別需x、y周，由題意得：解得x=10，y=15。經(jīng)檢驗(yàn)，x=10，y=15是原方程組的解。因?yàn)?5＞10，所以選擇甲公司。

（2）設(shè)甲、乙公司分別需要a萬(wàn)元/周、b萬(wàn)元/周，由題意得：解得則甲公司萬(wàn)元，乙公司：萬(wàn)元，因?yàn)?＞4，所以選擇乙公司。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】該問(wèn)題考查列分式方程、解分式方程組、方案決策等知識(shí)，在中考題中屬于中低檔題。該題的兩個(gè)問(wèn)從不同角度回答，考查學(xué)生從不同角度思考、決策問(wèn)題的能力。在解分式方程組時(shí)，學(xué)生容易忘記檢驗(yàn)，這里教師要強(qiáng)調(diào)。

2.王老師家用瓷磚裝修廚房，還有一塊墻角面未完工（如圖甲所示），他想在現(xiàn)有的六塊瓷磚余料中（如圖乙所示）挑出2塊或3塊余料進(jìn)行鋪設(shè)，請(qǐng)你幫老師設(shè)計(jì)兩種不同的鋪設(shè)方案：

解：方案一：選擇①、③、⑥，如圖a。

方案二：選擇①、⑤、⑥如圖b。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】本題具有開(kāi)放性，考查三角形、特殊四邊形面積、割補(bǔ)等知識(shí)，該題是三角形、四邊形相關(guān)知識(shí)的有效整合。正確解答本題還要求學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手和計(jì)算能力。該題在中考題中屬于中高檔題，中考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該重視此類(lèi)習(xí)題的訓(xùn)練。

（四）采光篇

王老師在縣城香格里拉小區(qū)看中了坐北朝南6號(hào)居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民樓，在該樓的前面15米處要蓋一棟樓高20米的新樓。當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線(xiàn)的夾角為32度時(shí)：

（1）超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓應(yīng)相距多少米？

解：（1）20 -15× tan32°=11米，因?yàn)?1＞6，所以，超市以上居民住房采光受影響，由計(jì)算得新樓在居民樓上的投影高約11米，故影響。

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：20÷tan32°=

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】本題主要考查投影、三角函數(shù)的知識(shí)，涉及解直角三角形，是三角函數(shù)的典型應(yīng)用。學(xué)生根據(jù)題意利用所給參考數(shù)據(jù)不難解決問(wèn)題，在中考題中屬于中低檔題。

（五）噪音篇

“京?！备哞F是我縣第一條鐵路，該高鐵已于2015年6月30日通車(chē)。王老師計(jì)劃在A(yíng)處“名人苑”小區(qū)買(mǎi)一套住房，現(xiàn)測(cè)得動(dòng)車(chē)位于高鐵A處“名人苑”小區(qū)的正西方4千米B處，以每小時(shí)200千米的速度向北偏東60度的BF方向移動(dòng)，距動(dòng)車(chē)2.5千米處的范圍內(nèi)是受動(dòng)車(chē)噪音影響區(qū)域。

（1）該小區(qū)是否受到動(dòng)車(chē)噪音的影響？為什么？

（2）若該小區(qū)受到動(dòng)車(chē)噪音的影響，那么該小區(qū)受到動(dòng)車(chē)噪音影響的時(shí)間是多少？

解：（1）過(guò)A點(diǎn)作AD垂直BF于D，由題意可知，∠ABF=30°。

在直角三角形ABD中，因?yàn)椤螦BF=30°，所以米），而2.5＞2，所以有影響。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】該題緊跟我縣時(shí)事，復(fù)習(xí)三角形、圓、三角函數(shù)、決策判斷等知識(shí)。要求學(xué)生正確理解題意并畫(huà)出最短路線(xiàn)AF，在中考題中屬于中檔題，問(wèn)題（2）的計(jì)算利用對(duì)稱(chēng)可以簡(jiǎn)便計(jì)算。

三、課后反思

數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。本節(jié)課我以社會(huì)上的熱門(mén)話(huà)題——買(mǎi)房引入課題，讓學(xué)生參謀買(mǎi)房應(yīng)考慮哪些問(wèn)題，這個(gè)本來(lái)只有大人參與而他們無(wú)法插足的話(huà)題，一下子調(diào)動(dòng)了具有獨(dú)立思想的九年級(jí)學(xué)生的注意力，引起了他們的興趣。由于這是學(xué)生知道的又感興趣的話(huà)題，他們自然熱烈地討論起來(lái)。我通過(guò)房?jī)r(jià)篇、還款篇、裝修篇、采光篇、噪音篇的形式復(fù)習(xí)、回顧、總結(jié)和提升了統(tǒng)計(jì)圖、一元二次方程、圓的綜合、四邊形、三角函數(shù)、方程與不等式知識(shí)。原本很難上出新意更無(wú)法調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，采用買(mǎi)房這一社會(huì)背景，既吸引了學(xué)生的注意，又激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)建模。