分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

四川省貿(mào)易學(xué)校 史雪梅

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用可以有效弱化問(wèn)題難度，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維具有幫助。高中數(shù)學(xué)比較抽象，學(xué)生理解起來(lái)有難度，而在解題教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想，能夠?yàn)閷W(xué)生提供更為清晰的解題思路，有助于提升解題效率。

一、分類討論思想概述

1．定義

分類討論思想又稱為“邏輯化分思想”，它是將所有研究的數(shù)學(xué)對(duì)象劃分成若干個(gè)不同的主體，隨后依據(jù)多個(gè)主體逐一解析與求解的數(shù)學(xué)思想。分類討論思想在高考中占據(jù)非常重要的地位，相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題具備較強(qiáng)的邏輯性與探究性，難度比較大，涉獵多種數(shù)學(xué)題型，可以說(shuō)是無(wú)孔不入。

2．意義

基于分類討論思想的解題指導(dǎo)，學(xué)生的解題思維能力將得到全面提升。因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，不易理解，解題難度對(duì)于學(xué)生而言比較大，所以借助分類討論思想的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)關(guān)系，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維具有幫助。由此可見(jiàn)，分類討論思想在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中十分關(guān)鍵，教師需要予以重視。

二、分類討論常見(jiàn)類型

其一，由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：部分?jǐn)?shù)學(xué)概念自身是分類的，如絕對(duì)值、指數(shù)函數(shù)、直線斜率、對(duì)數(shù)函數(shù)等。

其二，由性質(zhì)、公式、定理的限制引發(fā)的分類討論：部分?jǐn)?shù)學(xué)定理、計(jì)算公式、數(shù)學(xué)性質(zhì)是分類給出的，在條件不一致的情況下，需要進(jìn)行分類討論，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)單調(diào)性等。

其三，由數(shù)學(xué)計(jì)算要求引發(fā)的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負(fù)、指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求、對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、復(fù)數(shù)及三角函數(shù)的定義域等。

其四，由圖形的變化引起的分類討論：部分圖形的類型、位置等需要進(jìn)一步分類；角的終邊所在象限；點(diǎn)線面的位置關(guān)系等。

其五，由參數(shù)變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于不同參數(shù)值要使用不同的求解或證明方法等。

三、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

1．函數(shù)方面

將分類討論思想應(yīng)用于函數(shù)問(wèn)題中，需要事先對(duì)函數(shù)中涉及的參數(shù)進(jìn)行分類討論，在學(xué)生能夠從多個(gè)研究視角解析問(wèn)題時(shí)，再對(duì)問(wèn)題條件進(jìn)行深度剖析，有效提升解題效率。

例 1 已知函數(shù)f（x）=x|x2-a|，a∈R。 當(dāng)a=3 時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值。0。當(dāng)-＜x＜ 時(shí)，f′（x）=3-3x2=-3（x-1）（x+1）。 當(dāng) -1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0； 當(dāng)-＜x＜-1或1＜x＜ 時(shí)，f（x）＜0。 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

由區(qū)間定義可知，b＞0。（1）若0＜b≤1時(shí)，則[0，b]∈[-1，1]，因此函數(shù)f（x）在[0，b]上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x=b時(shí)，f（x）有最大值f（b）=3b-b3。（2）若1上單調(diào)遞增，在[1，b]上單調(diào)遞減，因此，在x=1時(shí)取到極大值f（1）=2，并且該極大值就是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值。 ∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值2。f（x）=3x-x3在[0，1]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 因此，在x=1時(shí)取到極大值f（1）=2，在上單調(diào)遞增，在x=b時(shí)，f（x）有最大值f（b）=b3-3b。≤0，（b+1）2（b-2）≤0，b≤ 2。 ∴當(dāng)時(shí)，f（x）取到最大值f（1）=2。②當(dāng)f（1）＜f（b），解得b＞2，∴當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）在x=b時(shí)取到最大值f（b）=b3-3b。

綜上所述，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值為

2．?dāng)?shù)列方面

利用分類討論思想解決數(shù)學(xué)數(shù)列方面的問(wèn)題時(shí)，需要重點(diǎn)討論數(shù)列周期性問(wèn)題，逐一求證各項(xiàng)問(wèn)題。在學(xué)生解題遇到困難時(shí)，教師需要給予適當(dāng)?shù)乃悸芬龑?dǎo)，使學(xué)生巧妙使用分類討論解題問(wèn)題，從而不斷增強(qiáng)解題能力。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n∈N＊，n≤2），若數(shù)列{an+1+λan}是等比數(shù)列， 已知k為奇數(shù)時(shí)，求證：

除了上述內(nèi)容之外，分類討論思想還可以解答概率、幾何等問(wèn)題，教師需要提高對(duì)其的重視，在日常教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生使用該方法，配合教師的教育指導(dǎo)，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

[1]徐玲玲．分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J]．中華少年，2017（13）：137-138．

[2]沈淼楠．分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]．課程教育研究，2017（12）：146-147．