InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)二維電子氣波函數(shù)的變分法研究?

李群 陳謙 種景

1)(西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

2)(中國衛(wèi)星海上測控部,江陰 214431)

1 引 言

正確求解異質(zhì)結(jié)二維電子氣(two-dimensional electron gas,2DEG)波函數(shù)是對與2DEG有關(guān)的電學(xué)行為做出合理解釋與精確預(yù)測的前提.求解2DEG波函數(shù)有數(shù)值法和解析法,其中數(shù)值方法通過直接求解垂直于異質(zhì)界面方向的泊松方程與薛定諤方程，能夠得到波函數(shù)的精確解[1,2];解析方法往往采用多種近似處理,或避免直接求解理論模型,導(dǎo)致解析解不如數(shù)值解精確.但是相對于數(shù)值方法,解析方法能夠提供更清晰的物理圖像,并為電子輸運(yùn)與光學(xué)躍遷的研究提供易于應(yīng)用的解析公式,因此解析方法仍然在異質(zhì)結(jié)能級結(jié)構(gòu)研究中廣泛使用[3,4].規(guī)則勢阱近似與變分法是兩種常用的解析方法.規(guī)則勢阱近似將異質(zhì)結(jié)界面處的導(dǎo)帶形狀近似為方形或三角形等規(guī)則形狀,此時電子波函數(shù)可以使用正弦函數(shù)、Airy函數(shù)等形式來表示[5,6].變分法使用嘗試波函數(shù)推導(dǎo)電子能量期望值,利用能量期望值取極小值的變分原理,確定嘗試波函數(shù)中的變分參數(shù),能夠在接近工程實際的理論模型中確定波函數(shù)表達(dá)式,同時確定異質(zhì)結(jié)導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)與子帶能級,是一種精度較高的近似方法[3,4].

近二十年來,以AlGaN/GaN,InAlN/GaN為代表的GaN基異質(zhì)結(jié)材料得到了系統(tǒng)而深入的研究,并以高電子遷移率晶體管為主要器件形式,廣泛應(yīng)用于高頻、高能器件領(lǐng)域[7?9].與傳統(tǒng)的AlGaAs/GaAs異質(zhì)結(jié)相比,GaN基異質(zhì)結(jié)具有很強(qiáng)的自發(fā)極化、壓電極化效應(yīng),并能夠在非有意摻雜的情況下形成高遷移率、高電子面密度的2DEG,施主類表面態(tài)被認(rèn)為是形成2DEG的主要電荷源[10?12].但據(jù)我們所知,在已有的GaN基異質(zhì)結(jié)的變分法研究中,還沒有將表面態(tài)的作用考慮在內(nèi),因此無法預(yù)測結(jié)構(gòu)參數(shù)對2DEG電學(xué)特性的影響[3,4,13].本文將以InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)為例,建立考慮極化效應(yīng)與表面態(tài)的靜電模型,使用變分法推導(dǎo)電子波函數(shù)與基態(tài)能級表達(dá)式,并討論InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)對2DEG面密度、費(fèi)米能級、基態(tài)能級等參數(shù)的影響.

2 理論模型

InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)通常沿c軸([0001])方向生長,將該方向定義為z軸,InAlN勢壘層與GaN溝道層分別位于z＜0和z＞0區(qū)域.本文假設(shè)2DEG所有電子都處于基態(tài)，使用Ando提出的一個分段函數(shù)作為嘗試波函數(shù)[14]:

該函數(shù)的兩個表達(dá)式分別表示電子在InAlN和GaN層的分布,因此能夠描述電子向InAlN層的隧穿效應(yīng).(1)式中,A,B,c,b,k為變分參數(shù),這5個參數(shù)并不獨(dú)立,應(yīng)滿足以下約束條件:

其中(2a)、(2b)式分別由波函數(shù)ψ以及波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)ψ′在InAlN/GaN界面處連續(xù)得到,(2c)式由波函數(shù)的歸一化條件得到.通過(2)式,A,B,c可以表示為b,k的函數(shù):

InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)中電勢能的z向分布函數(shù)V(z)可表示為

其中e為電子電荷,?(z)為電勢,Θ(z)為階躍函數(shù),當(dāng)z＞0,Θ(z)=1;z≤ 0,Θ(z)=0.Θ(z)在InAlN/GaN界面(z=0)的位置引入了由InAlN,GaN導(dǎo)帶階ΔEc導(dǎo)致的能量突變,使InAlN層的電勢能被整體抬高一個常數(shù).電勢?(z)由泊松方程確定:

其中ε為介電常數(shù),σ(z)為電荷分布函數(shù),描述InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)中的所有可能電荷分布.由于在非有意摻雜的情況下,InAlN,GaN層的殘余施主濃度不足以形成高面密度的2DEG,本文忽略了殘余施主對2DEG的貢獻(xiàn),而采用表面態(tài)假設(shè),認(rèn)為施主類表面態(tài)是2DEG的電荷源.有研究表明[10,11],AlGaN/GaN,InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)表面態(tài)在表面禁帶內(nèi)的一定范圍均勻分布[見圖1(a)].因此,本文采用兩個參數(shù),即表面態(tài)密度Nsd與表面態(tài)到InAlN表面導(dǎo)帶的距離Ed來描述表面態(tài).可以近似認(rèn)為費(fèi)米能級EF以下的表面態(tài)完全被電子占據(jù),EF以上的表面態(tài)完全離化,離化表面態(tài)面密度表示為

其中d為InAlN層厚度.

InAlN、GaN的自發(fā)極化、壓電極化效應(yīng)導(dǎo)致InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)上表面、界面、下表面存在凈剩的極化電荷,電荷面密度分別設(shè)為σTp,σIp,σBp.極化電荷面密度依賴于InAlN層In含量x,具體的計算方法可以參見已有的文獻(xiàn)報道[15].沿[0001]方向生長的GaN下表面極化電荷為正,必須認(rèn)為σBp被下表面帶負(fù)電的表面態(tài)σBott完全補(bǔ)償,否則電子無法在InAlN/GaN界面處聚集形成2DEG.本文假設(shè)σBp與σBott恰好抵消,因此只需要考慮圖1(b)虛線框內(nèi)的電荷成分,σ(z)的具體形式為

(7)式中除2DEG濃度Ne(z)外,其余電荷成分都是δ函數(shù),σSurf,σTp位于InAlN 上表面(z=?d),σIp位于InAlN/GaN界面(z=0).應(yīng)注意(7)式等號右邊的符號都表示電荷濃度的絕對值,各電荷成分的電性由各物理量前面的正負(fù)號表示.電子分布Ne(z)可以寫為

其中Ns為2DEG面密度.Ns取決于費(fèi)米能級EF與電子基態(tài)能級E1的相對位置,利用費(fèi)米-狄拉克公式在整個能量范圍內(nèi)進(jìn)行統(tǒng)計得到:

其中m?為電子有效質(zhì)量,?為約化普朗克常數(shù),kB為玻爾茲曼常數(shù).異質(zhì)結(jié)中所有電荷成分應(yīng)滿足電中性條件:

(10)式表示對整個異質(zhì)結(jié)區(qū)域進(jìn)行積分,z=w為GaN下表面坐標(biāo).

圖1 InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)的(a)導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)與(b)電荷分布示意圖Fig.1. Schematic diagrams of(a)conduction band pro fi le and(b)charge distribution in InAlN/GaN heterostructure.

對(5)式兩端進(jìn)行兩次積分可以得到電勢分布?(z),積分使用了兩個邊界條件:1)?′(∞)=0,意味著GaN深處電場強(qiáng)度為0,該邊界條件與GaN下表面呈電中性的假設(shè)保持一致;2)?(0)=0,該邊界條件將InAlN/GaN界面導(dǎo)帶能量設(shè)為0.

利用(4)式,可以得到V(z)的表達(dá)式:

其中，

(11)式將V(z)分成三部分,其中Vex來自InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)中離化表面態(tài)、極化電荷等固定電荷的貢獻(xiàn),Vh來自2DEG的貢獻(xiàn),VEc來自InAlN、GaN導(dǎo)帶階的貢獻(xiàn).

電子總能量期望值〈E〉等于動能期望值〈T〉與勢能期望值〈V〉之和:

(13)式將2DEG貢獻(xiàn)的勢能期望值取半,避免重復(fù)計算電子間作用勢能;去掉1/2因子則得到電子基態(tài)能級E1的表達(dá)式。

對于結(jié)構(gòu)參數(shù)已知的InAlN/GaN異質(zhì)結(jié),若已知Ns,則離化表面態(tài)面密度σSurf可由(10)式確定,〈E〉僅是變分參數(shù)b和k的函數(shù)，根據(jù)〈E〉取極小值的變分原理，即令

可以確定變分參數(shù)b和k,則電子波函數(shù)以及導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)、電子基態(tài)能級等參數(shù)分別被確定.

在已知表面態(tài)面密度Nsd和能級位置Ed的前提下,可以利用該模型預(yù)測InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的電學(xué)特性.具體的方法是,設(shè)定2DEG面密度初始值Ns,利用電中性條件確定離化表面態(tài)面密度σSurf,計算電子基態(tài)能級E1,利用(6)式確定費(fèi)米能級EF,利用(9)式計算2DEG面密度,比較Ns與,如果相差較大,逐步改變Ns,重復(fù)上述計算過程,直至Ns與相等.

3 結(jié)果與討論

將表面態(tài)參數(shù)設(shè)置為σSurf=8×1013cm?2/eV,Ed=2.3 eV,與文獻(xiàn)[11]報道保持一致.

圖2是計算得到的晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質(zhì)結(jié)導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)與2DEG分布,InAlN層厚度d=15 nm.由于忽略了異質(zhì)結(jié)的殘余施主,InAlN層只在上下表面存在極化電荷,因此InAlN內(nèi)部電場強(qiáng)度為常數(shù),導(dǎo)帶能量呈線性變化.InAlN/GaN界面處存在導(dǎo)帶階ΔEc引起的能量突變,并在GaN一側(cè)形成近三角勢阱.GaN深處的電場強(qiáng)度為0,因此導(dǎo)帶能量為常數(shù).2DEG面密度Ns=1.96×1013cm?2,集中分布在界面附近幾個納米的范圍內(nèi),電子到界面的平均距離為2.23 nm,有6.5%的電子隧穿到InAlN層.

圖2 In0.17Al0.83N/GaN異質(zhì)結(jié)導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)與2DEG分布Fig.2.The conduction band pro fi le and 2DEG distribution in an In0.17Al0.83N/GaN heterostructure.

圖3是x=0.1,0.17,0.25三個不同In組分下2DEG面密度隨InAlN厚度的變化關(guān)系.x=0.17時,InAlN與GaN晶格匹配,InAlN處于無應(yīng)力狀態(tài),但I(xiàn)nAlN、GaN自發(fā)極化強(qiáng)度具有較大差異,界面處凈剩的正極化電荷誘導(dǎo)電子在GaN一側(cè)聚集,形成2DEG.隨著InAlN厚度增大,InAlN表面導(dǎo)帶能量線性增長(見圖2),但EF的位置相對穩(wěn)定,因此更多表面態(tài)上升到EF之上并釋放出電子,導(dǎo)致2DEG面密度持續(xù)增大.當(dāng)2DEG面密度增大到與InAlN/GaN界面處的極化電荷面密度相等時,2DEG面密度達(dá)到飽和.x=0.1時,InAlN處于張應(yīng)變狀態(tài),自發(fā)極化強(qiáng)度更大,且與壓電極化強(qiáng)度相互加強(qiáng),導(dǎo)致InAlN/GaN界面處更大的極化失配,誘導(dǎo)產(chǎn)生的2DEG面密度更大.在x=0的極限情況,AlN/GaN異質(zhì)結(jié)在AlN厚度為5 nm時即可實現(xiàn)4×1013cm?2的2DEG面密度[16],但由于較大的晶格失配,當(dāng)AlN達(dá)到6 nm,就會通過產(chǎn)生裂紋釋放應(yīng)力[17].InAlN的自發(fā)極化強(qiáng)度隨In組分增大而下降,當(dāng)x＞0.17,InAlN處于壓應(yīng)變,壓電極化強(qiáng)度與自發(fā)極化強(qiáng)度反向,開始逐步抵消自發(fā)極化強(qiáng)度,InAlN/GaN界面處的凈剩極化電荷減少,誘導(dǎo)導(dǎo)形成的2DEG面密度不斷減小.隨著In組分增大,形成2DEG的InAlN臨界厚度不斷增大,當(dāng)x=0.25時,InAlN厚度小于10 nm的異質(zhì)結(jié)無法形成2DEG.

圖3中給出了晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質(zhì)結(jié)的一組實驗數(shù)據(jù),可以看出x=0.17的計算曲線基本反映了2DEG面密度對InAlN厚度的依賴關(guān)系.由于實驗條件的差異,實驗數(shù)據(jù)本身具有一定的離散性,單一的參數(shù)配置不能使計算結(jié)果嚴(yán)格重復(fù)實驗數(shù)據(jù).

圖3 不同In組分下2DEG面密度對InAlN厚度的依賴關(guān)系,實心方塊為文獻(xiàn)報道的實驗結(jié)果[18?21].Fig.3. Dependence of 2DEG sheet density on In-AlN thickness for different In mole fraction.The fi lled squares represent the experimental data from the literature[18?21].

由圖3已知,2DEG面密度隨著In組分x的增加而減小,圖4顯示這種變化為線性變化.該模型在計算InAlN極化強(qiáng)度時采用了線性插值的方法,InAlN層總極化強(qiáng)度隨x線性變化,同時假設(shè)表面態(tài)在InAlN表面導(dǎo)帶以下均勻分布,共同導(dǎo)致了2DEG面密度對In組分的線性依賴關(guān)系.

圖5(a)顯示了晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質(zhì)結(jié)費(fèi)米能級EF與基態(tài)能級E1對InAlN厚度的依賴關(guān)系.隨著InAlN厚度增大,不斷增大的2DEG面密度抬高了E1與EF,并保持EF、E1間距增大,為越來越多的電子提供了更大的能量空間.圖5(b)顯示了d=10 nm時費(fèi)米能級與基態(tài)能級對In組分的依賴關(guān)系.隨著In組分增大,不斷減小的2DEG面密度降低了EF與E1,EF?E1同時減小.

圖4 2DEG面密度對In組分的依賴關(guān)系Fig.4.Dependence of 2DEG sheet density on In mole fraction.

圖5 費(fèi)米能級與基態(tài)能級對(a)InAlN厚度與(b)In組分的依賴關(guān)系Fig.5. Dependences of EFand E1on(a)InAlN thickness,and(b)In mole fraction.

4 結(jié) 論

在表面態(tài)假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用變分法推導(dǎo)了InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)2DEG波函數(shù)與基態(tài)能級的表達(dá)式,并討論了InAlN/GaN異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)對2DEG面密度、費(fèi)米能級、基態(tài)能級等參數(shù)的影響.計算結(jié)果顯示,2DEG面密度隨著InAlN厚度的增加而增加,且理論預(yù)測與實驗結(jié)果一致,2DEG面密度的增加抬高了基態(tài)能級與費(fèi)米能級,2DEG面密度隨著In組分的增大而下降,并降低了基態(tài)能級與費(fèi)米能級.

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