等效零折射率材料微腔中均勻化腔場(chǎng)作用下的簡(jiǎn)正模劈裂現(xiàn)象?

徐小虎 陳永強(qiáng) 郭志偉 孫勇 苗向陽(yáng)

1)(山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院,臨汾 041004)

2)(蘇州科技大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇省微納熱流技術(shù)與能源應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘇州 215009)

3)(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院,教育部先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

1 引 言

特異材料是一種新型的亞波長(zhǎng)人工微結(jié)構(gòu)電磁材料,由于能夠?qū)崿F(xiàn)各種新奇的電磁響應(yīng)而受到研究者的青睞[1?6].根據(jù)特異材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率符號(hào)的不同,將其分為左手材料(lefthanded materials,LHM)或負(fù)折射率材料[3]、單負(fù)材料(single negative materials,SNM)[2,7]以及零折射率材料(zero-index metamaterials,ZIM).從介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ的參數(shù)空間來(lái)看,ZIM位于參數(shù)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸上.坐標(biāo)原點(diǎn)表示ε=0,μ=0的雙零ZIM,且其阻抗匹配.坐標(biāo)軸表示ε=0的ENZ材料(epsilon-near-zero metamaterials)或者μ=0的MNZ材料(mu-near-zero metamaterials),這兩種ZIM的阻抗不匹配.由于ZIM的折射率為零,電磁波在ZIM中傳播時(shí),具有波長(zhǎng)趨于無(wú)窮大,傳播相位近似為零以及場(chǎng)強(qiáng)分布均勻等特性.近年來(lái),ZIM由于這些獨(dú)特的電磁特性,被應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)超反射和超透射現(xiàn)象[8,9]、平面波導(dǎo)間的電磁能量隧穿效應(yīng)[10?12]、電磁波的相干完美吸收[13]、損耗引起的透射增強(qiáng)與子準(zhǔn)直效應(yīng)[14]以及增強(qiáng)天線輻射的方向性等[15]方面.人們?cè)谘芯縕IM特性的同時(shí),對(duì)ZIM制備的研究也取得了很大的進(jìn)步[16?19].其中,Chan小組[18]在研究二維正方晶格介質(zhì)柱光子晶體能帶結(jié)構(gòu)時(shí),發(fā)現(xiàn)其能帶中有一個(gè)三重簡(jiǎn)并的類狄拉克點(diǎn),該點(diǎn)的性質(zhì)類似于無(wú)損的ZIM.Chen小組[19]利用一維微帶線結(jié)構(gòu),得到在其色散關(guān)系的平衡點(diǎn)處,結(jié)構(gòu)同樣可以等效為ZIM.

光與物質(zhì)之間的相互作用是一個(gè)十分活躍的科研課題[20?22].其中,原子在光學(xué)微腔中的行為一直是一個(gè)很有趣的問(wèn)題.常見(jiàn)的光學(xué)微腔有三種,一種是基于回音壁模式制成的光學(xué)微腔;一種是基于法布里-珀羅原理制成的光學(xué)微腔;還有一種是基于光子禁帶實(shí)現(xiàn)的光子晶體微腔.光子晶體微腔由于具有超高品質(zhì)因子和超小體積的優(yōu)良特性,在研究相干的電子-光子相互作用、非線性光學(xué)、慢光以及腔量子電動(dòng)力學(xué)等方面有廣泛的用途[23,24].

研究發(fā)現(xiàn)原子在光學(xué)微腔中的行為取決于原子的能級(jí)躍遷與腔模(即腔中光子)之間的耦合強(qiáng)度(g).耦合強(qiáng)度(g)與微腔中光子的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比,與微腔的體積成反比[25].腔量子電動(dòng)力學(xué)認(rèn)為只有當(dāng)微腔中光子的電場(chǎng)強(qiáng)度足夠強(qiáng)并且耦合強(qiáng)度超過(guò)微腔與原子的衰減率時(shí),才能觀察到原子與腔模之間的強(qiáng)耦合,即拉比劈裂(Rabi splitting)現(xiàn)象[26].拉比劈裂是量子光學(xué)中的基本問(wèn)題之一.究其原因是:當(dāng)一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng),如原子,放入一個(gè)光學(xué)微腔中時(shí),會(huì)與光子產(chǎn)生強(qiáng)耦合形成共振系統(tǒng),在強(qiáng)耦合作用下,原子的自發(fā)輻射或能級(jí)躍遷將受到腔模的強(qiáng)烈調(diào)制而出現(xiàn)拉比劈裂.

在半導(dǎo)體技術(shù)中,人們通常利用一個(gè)二能級(jí)的類原子系統(tǒng)如量子點(diǎn)(quantum dot,QD)來(lái)代替原子,將其放入具有高品質(zhì)因子和小體積的半導(dǎo)體微腔或光子晶體微腔中,同樣可以和腔模發(fā)生耦合產(chǎn)生拉比劈裂[27,28].在強(qiáng)耦合情況下由于單個(gè)光子或是單個(gè)原子的存在,量子系統(tǒng)的光學(xué)特性會(huì)被改變,因此,它被應(yīng)用于量子糾纏、量子計(jì)算和量子信息等方面[29,30].在經(jīng)典極限情況下,當(dāng)用一個(gè)類原子的經(jīng)典諧振子代替一個(gè)原子,并與腔模發(fā)生耦合時(shí),在頻譜上同樣也會(huì)產(chǎn)生類拉比劈裂現(xiàn)象,稱之為簡(jiǎn)正模分裂現(xiàn)象[25].不論上述的哪一種微腔,在實(shí)現(xiàn)拉比劈裂或是簡(jiǎn)正模分裂時(shí),腔模的場(chǎng)分布都是以駐波場(chǎng)的形式存在的,也就是說(shuō)整個(gè)微腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的空間分布是不均勻的,場(chǎng)強(qiáng)大小與腔中的位置有關(guān).為了最大程度地增強(qiáng)原子或者類原子與腔模之間的耦合強(qiáng)度,就需要將原子或者類原子放在腔場(chǎng)中場(chǎng)值最大的位置,但是在實(shí)際操作想實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)定位是很難的.所以為了解決拉比劈裂和簡(jiǎn)正模分裂中對(duì)位難的問(wèn)題,我們?cè)诠鈱W(xué)微腔中填充了零折射率材料,利用零折射率材料微腔中近似均勻的局域化電磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)與位置無(wú)關(guān)的簡(jiǎn)正模劈裂現(xiàn)象,解決定位難的問(wèn)題.這種零折射率材料微腔為我們提供了一種新的研究光子與原子相互作用的平臺(tái).

本文通過(guò)仿真研究了在二維光子晶體微腔中加入由二維光子晶體等效的零折射率材料后腔模的電磁場(chǎng)空間分布特性,得到了近似均勻的腔場(chǎng)分布.然后在該微腔中放入類似于二能級(jí)系統(tǒng)的量子點(diǎn),當(dāng)發(fā)生強(qiáng)耦合時(shí),在頻譜上就可以觀察到簡(jiǎn)正模分裂現(xiàn)象.隨后分別改變量子點(diǎn)在腔中的位置,發(fā)現(xiàn)這種簡(jiǎn)正模分裂與量子點(diǎn)在微腔中的位置無(wú)關(guān).為了驗(yàn)證仿真結(jié)果,實(shí)驗(yàn)上利用一維左右手復(fù)合傳輸線實(shí)現(xiàn)的零折射率材料微腔和開(kāi)口諧振環(huán)(SRR)類比的量子點(diǎn)驗(yàn)證了仿真的結(jié)果.

2 零折射率材料微腔中簡(jiǎn)正模分裂與類原子空間位置的關(guān)系

二維正方晶格光子晶體微腔的示意圖見(jiàn)圖1.設(shè)z軸方向?yàn)榻橘|(zhì)柱的軸方向,二維周期結(jié)構(gòu)分布在x-y平面內(nèi).黑色圓圈表示相對(duì)介電常數(shù)為3.45的硅納米介質(zhì)柱,其半徑為200 nm,晶格常數(shù)為800 nm,嵌在空氣背景中.通過(guò)移去中間的十二根介質(zhì)柱,就構(gòu)成了一個(gè)二維的光子晶體微腔,如圖1(a)所示.考慮TE波入射,入射波的電場(chǎng)沿介質(zhì)柱方向,且設(shè)入射波的電場(chǎng)振幅為1.首先,考慮光子晶體微腔中為普通的背景空氣材料,通過(guò)COMSOL Multiphysics軟件仿真后,得到此二維光子晶體的缺陷模頻率為165.3 THz,并且計(jì)算了相應(yīng)缺陷模頻率處的電場(chǎng)分布,如圖2(a)所示,從電場(chǎng)分布圖可以看出,此時(shí)的電場(chǎng)分布為電四極子模式.

圖1 二維正方晶格光子晶體微腔結(jié)構(gòu)示意圖 (a)微腔內(nèi)材料為空氣;(b)微腔內(nèi)材料為等效零折射率材料Fig.1.Schematic of a two-dimensional(2D)squarelattice photonic crystal(PhC)cavity:(a)PhC cavity embedded with air;(b)PhC cavity embedded with ZIM.

圖2 二維正方晶格光子晶體微腔腔模頻率處的二維電場(chǎng)分布圖 (a)微腔內(nèi)材料為空氣且腔模頻率為165.3 THz;(b)微腔內(nèi)材料為等效零折射率材料且腔模頻率為169.5 THzFig.2.2D Electric fi eld pattern(Ez)corresponding to the above two kinds of PhC cavity at a cavity mode:(a)Air- fi lled cavity at 165.3 THz;(b)ZIM- fi lled cavity at 169.5 THz.

然后,將一個(gè)半徑為20 nm的諧振子放入腔中.在強(qiáng)局域的情況下,該諧振子的共振磁化系數(shù)可以用下式表示[31]:

其中G,ω0和γ1分別表示諧振子的諧振強(qiáng)度、諧振頻率和損耗,ω為入射波的角頻率.在以下計(jì)算中,假設(shè)G=20×2π THz,γ1=6×2π THz,而且ω0的取值大小與二維光子晶體諧振腔的腔模頻率相同.通過(guò)計(jì)算圖1(a)中心正方形區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)反映該結(jié)構(gòu)的模式情況.為了便于理解諧振子與腔模之間的相互耦合,將腔模也看作一個(gè)諧振子.當(dāng)將量子點(diǎn)放入腔中并與腔模發(fā)生作用時(shí),量子點(diǎn)和腔模可以認(rèn)為是一個(gè)耦合的兩諧振子系統(tǒng),在這個(gè)系統(tǒng)中諧振子1由腔場(chǎng)驅(qū)動(dòng),諧振子2則由外場(chǎng)驅(qū)動(dòng).當(dāng)這兩個(gè)諧振子之間發(fā)生強(qiáng)耦合時(shí),諧振子2就會(huì)產(chǎn)生模式劈裂,即出現(xiàn)簡(jiǎn)正模分裂.因?yàn)橹C振子1的尺寸相對(duì)于諧振子2而言很小,因此設(shè)諧振子1是一個(gè)具有電荷量為q1(t)的質(zhì)點(diǎn),其位置坐標(biāo)為(x0,y0),諧振子2帶有的電荷量為q2(t),兩者之間的相互作用滿足如下的耦合微分方程:

其中κ表示兩個(gè)諧振子之間的耦合系數(shù);E(x0,y0)和E0分別表示諧振子所在處的局域電場(chǎng)和外界的驅(qū)動(dòng)場(chǎng);γ2表示諧振子2的損耗,即腔模的衰減率;δ表示諧振子1的本證頻率和諧振子2的本證頻率的偏調(diào).從上述兩個(gè)方程可以看出諧振子1與諧振子2之間的耦合取決于諧振子1處的局域電場(chǎng)E(x0,y0).因此二維光子晶體微腔中電場(chǎng)的空間分布決定了兩個(gè)諧振子之間的耦合,即腔模劈裂的情況.從圖2(a)中可以看出微腔內(nèi)為空氣材料時(shí),二維光子晶體微腔中的場(chǎng)是以駐波場(chǎng)的形式分布的,也就是說(shuō)腔中不同位置處的場(chǎng)強(qiáng)大小一般不同.然后我們將諧振子1放入腔中的三個(gè)不同位置,如圖2(a)中的白色、綠色、黑色小圓點(diǎn)所示,并且計(jì)算了中心方形區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度,發(fā)現(xiàn)三種情況下對(duì)應(yīng)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度曲線不重合,如圖3所示.因此可得腔模的劈裂情況取決于量子點(diǎn)在腔中的位置.為了避免量子點(diǎn)的位置對(duì)腔模劈裂情況的影響,就需要一個(gè)均勻的局域化腔場(chǎng).

圖3 量子點(diǎn)在空氣介質(zhì)微腔中三個(gè)不同位置處的簡(jiǎn)正模分裂Fig.3.Normal-mode splitting when a QD is put at three different places as indicated by the white,the blue and the black dots in the PhC cavity embedded with air.

為了達(dá)到這樣的目的,在圖2(a)的中心正方形區(qū)域內(nèi)填充了由二維正方晶格介質(zhì)柱光子晶體等效的零折射率材料[18]. 其晶格常數(shù)為a0=0.541c/f0(c為真空中光的傳播速度),介質(zhì)柱的半徑為R=0.2a0,相對(duì)介電常數(shù)為12.5.通過(guò)仿真計(jì)算得到此時(shí)二維光子晶體微腔的腔模頻率為169.5 THz.圖2(b)給出了相應(yīng)腔模頻率處的電場(chǎng)分布情況.從圖中可以看出在介質(zhì)柱以外的空間區(qū)域電場(chǎng)的分布基本上是均勻的且場(chǎng)強(qiáng)最大.在該場(chǎng)分布情況下就可以比較容易地將量子點(diǎn)置于場(chǎng)強(qiáng)最大值處.圖2(b)中的白色、綠色、黑色小圓點(diǎn)表示隨機(jī)分布的量子點(diǎn).通過(guò)計(jì)算中心方形區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度,圖4給出了三種情況下ZIM微腔中腔模的劈裂情況,發(fā)現(xiàn)三種情況下對(duì)應(yīng)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度曲線完全重合.這說(shuō)明利用零折射率材料微腔產(chǎn)生的近似均勻的強(qiáng)局域場(chǎng)可以實(shí)現(xiàn)與位置無(wú)關(guān)的簡(jiǎn)正模分裂.

圖4 量子點(diǎn)在ZIM微腔中三個(gè)不同位置處的簡(jiǎn)正模分裂Fig.4.Normal-mode splitting when a QD is put at three different places as indicated by the white,the blue and the black dots in the PhC cavity embedded with ZIM.

3 數(shù)值仿真和微波實(shí)驗(yàn)

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,上述納米尺度的正方晶格光子晶體微腔可以在硅基板上插入介質(zhì)柱來(lái)實(shí)現(xiàn),等效零折射率材料可以通過(guò)二維正方晶格光子晶體在偶然簡(jiǎn)并時(shí),在其布里淵區(qū)中心處獲得狄拉克錐色散關(guān)系而實(shí)現(xiàn).但是,由于本課題組實(shí)驗(yàn)條件的限制,只能進(jìn)行微波波段的電磁波實(shí)驗(yàn)研究,因此上述基于半導(dǎo)體材料的光學(xué)零折射率材料微腔被一維的復(fù)合左右手傳輸線(one-dimentional composite right/left handed,CRLH)等效的零折射率材料微腔所替代,納米尺度的諧振子量子點(diǎn)被毫米尺度的具有電磁共振行為的人造原子金屬SRR所替代.這樣光頻段的兩個(gè)耦合諧振子系統(tǒng)就轉(zhuǎn)化為微波波段的耦合系統(tǒng)了.實(shí)驗(yàn)中,CRLH傳輸線等效的零折射率微腔的具體參數(shù)與文獻(xiàn)[19]相同.

為了使SRR環(huán)的諧振頻率與零折射率材料微腔的腔模頻率相同,在SRR環(huán)的開(kāi)口處選擇加載了便于手動(dòng)調(diào)節(jié)的陶瓷電容[32].考慮到陶瓷電容的焊接,SRR環(huán)的幾何形狀如圖5中插圖所示,具體結(jié)構(gòu)參數(shù)為:a=t=0.4 mm,w=5 mm,b=0.3 mm,C=0.27 mm,d=3 mm,L=14 mm,h=0.8 mm.隨后將此SRR環(huán)依次放在一維CRLH傳輸線等效的零折射率材料腔中的四個(gè)不同位置,如圖5(a)—(d)所示.利用ADS(advanced design system)仿真軟件,計(jì)算了四種情況下的透射譜,在仿真中假設(shè)加載的陶瓷電容的內(nèi)阻為2 ?,調(diào)節(jié)陶瓷電容使其電容值為0.77 pF時(shí),人造磁原子的諧振頻率與腔模頻率相同,兩者發(fā)生共振耦合,這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)正模分裂現(xiàn)象,如圖6(a)所示.由于這種劈裂在某些性質(zhì)上與傳統(tǒng)的原子-光學(xué)腔耦合系統(tǒng)的拉比劈裂相似,所以也稱這種劈裂現(xiàn)象為廣義的拉比劈裂現(xiàn)象[33].從仿真透射譜中可以看出,當(dāng)SRR放入零折射率材料微腔中后,原來(lái)的腔模頻率處會(huì)劈裂成兩個(gè)模式,并且這兩個(gè)模式的位置基本上不會(huì)隨著SRR在微腔中位置的變化而變化.我們也通過(guò)Agilent公司生產(chǎn)的雙端口8722ES網(wǎng)絡(luò)分析儀測(cè)量了實(shí)驗(yàn)樣品的透射譜,如圖6(b)所示,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果符合得很好.

圖5 SRR放在一維CRLH傳輸線等效的ZIM腔中四個(gè)不同位置的實(shí)驗(yàn)板子圖,(a)圖的內(nèi)插圖為SRR的示意圖Fig.5.Photograph of an effective ZIM coupled by a SRR at four different places,respectively.Inset of(a)is the layout of the SRR.

圖6 SRR分別放在一維CRLH傳輸線ZIM腔中不同位置時(shí)仿真與實(shí)驗(yàn)的透射譜 (a)仿真結(jié)果;(b)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6.Normal-mode splitting when a SRR is coupled to an effective ZIM at various locations:(a)Simulatin results;(b)experiment results.

4 結(jié) 論

利用諧振子模型模擬量子點(diǎn),從數(shù)值上研究了量子點(diǎn)與零折射率材料微腔的耦合作用以及量子點(diǎn)在腔中位置變化對(duì)腔模劈裂的影響.從實(shí)驗(yàn)上利用開(kāi)口諧振環(huán)和一維復(fù)合左右手傳輸線等效的零折射率材料微腔的耦合驗(yàn)證了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性.由于零折射率材料微腔中近似均勻的局域化場(chǎng)分布,實(shí)現(xiàn)了與位置無(wú)關(guān)的簡(jiǎn)正模分裂現(xiàn)象.這為緩解腔量子電動(dòng)力學(xué)中量子點(diǎn)對(duì)位難的問(wèn)題提供了新的思路,同時(shí)也為今后研究原子與光子之間的相互作用提供了一個(gè)新的平臺(tái).

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