物理問題解決的建模過程和教學(xué)策略例談

摘 要：根據(jù)物理圖景和學(xué)生已熟悉的物理模型之間的關(guān)系，嘗試將高中物理習(xí)題分為四類，并舉例探討這四類問題解決的不同建模過程。然后，提出通過多題歸一的教學(xué)策略揭示模型的本質(zhì)特征，謹(jǐn)防問題解決教學(xué)的二級結(jié)論化。

關(guān)鍵詞：問題解決；建模過程；教學(xué)策略；二級結(jié)論

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）2-0013-6

根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的觀點，問題解決過程的實質(zhì)是“信息輸入—信息加工—信息輸出”的過程。學(xué)生解決物理問題一般經(jīng)歷審題、建模、決策、解答四環(huán)節(jié)，如圖1所示。學(xué)生通過審題將題目中的文字轉(zhuǎn)化為頭腦中的物理圖景，通過建模將物理圖景抽象為物理模型，通過決策選擇合適的物理規(guī)律和方法，通過解答對問題進行求解，對結(jié)論進行檢驗?？梢哉f，審題是“信息輸入”的過程，建模和決策是“信息加工”的過程，解答是“信息輸出”的過程。

1 建模過程

將具體圖景和問題轉(zhuǎn)化成模型是問題解決中非常關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)。根據(jù)物理圖景和學(xué)生已熟悉的物理模型之間的關(guān)系，可以將高中物理習(xí)題分為四類：第一類是學(xué)生能根據(jù)當(dāng)前圖景的特征直接找到匹配的模型；第二類是學(xué)生需要將當(dāng)前圖景進行轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化后的圖景特征才能找到匹配的模型；第三類是學(xué)生需要將當(dāng)前圖景進行分割，通過分割后的多個圖景特征才能找到相應(yīng)匹配的多個模型，然后將多個模型進行重組；第四類是學(xué)生沒有與當(dāng)前圖景或轉(zhuǎn)化圖景相關(guān)的熟悉模型。針對這四類習(xí)題，建模過程的側(cè)重點是不同的。

1.1 模型特征的識別

學(xué)生對第一類習(xí)題的建模關(guān)鍵在于模型的準(zhǔn)確識別。高中物理習(xí)題中物理模型大致可以分為四類：對象模型、過程模型、環(huán)境模型和條件模型?！皩ο竽Ｐ汀笔侵笇嶋H物體在某種條件下的近似與抽象，如質(zhì)點、點電荷、元電荷、理想氣體、單擺、彈簧振子、理想電表、理想變壓器等。“過程模型”是指理想化了的物理現(xiàn)象或過程，力學(xué)中如勻速直線運動、勻變速直線運動、自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動、勻速圓周運動、簡諧運動等，電學(xué)中如電容器的充電和放電、電磁振蕩、電磁感應(yīng)中的導(dǎo)體棒做先變加速后勻速的運動等，熱學(xué)中如等溫、等容、等壓變化等。 “環(huán)境模型”是指研究對象處在相應(yīng)的環(huán)境中，如水平面、斜面、豎直平面、輕繩、輕桿、輕彈簧、繩系小球、桿連小球、傳送帶、勻強電場、勻強磁場、復(fù)合場等?！皸l件模型”是指研究對象所處的條件模型化，如光滑、斜面足夠長、重力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電場力忽略不計，單擺在小角度下的運動視為簡諧運動，在碰撞中內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力時仍滿足動量守恒等。

1.2 物理圖景的轉(zhuǎn)化

學(xué)生對第二類習(xí)題的建模關(guān)鍵在于圖景的轉(zhuǎn)化，將當(dāng)前圖景轉(zhuǎn)化為學(xué)生已熟悉模型相匹配的圖景。比如，法拉第圓筒發(fā)電機的實物圖如圖2所示，可以抓住實物圖呈現(xiàn)的主要結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)示意圖3，然后將立體的電路圖進一步轉(zhuǎn)化成如圖4所示的平面圖，最后學(xué)生可以找到如圖5所示的電路圖模型與之匹配。

例1 有一臺階，如圖6所示，每級高20 cm，寬20 cm，有一個初速度為2 m/s的小球從臺階上滾下，問：小球撞在第幾級臺階上？

學(xué)生面對此題，物理圖景非常清晰，但卻找不到熟悉的模型，因為臺階是不連續(xù)的，之前從未遇到過這類環(huán)境模型。較多學(xué)生都采用討論式的方法進行求解，假設(shè)落在第n級上，看求解結(jié)果與事實是否一致，如果不一致再重新假設(shè)，運算量較大。如果對圖景進行轉(zhuǎn)化，把臺階頂點連接成一條直線，圖景就轉(zhuǎn)化成學(xué)生非常熟悉的物體在斜面上平拋運動的模型了（如圖7），問題也就方便求解了。

1.3 物理圖景的分割

第三類習(xí)題的物理圖景比較新穎、復(fù)雜，學(xué)生對這類習(xí)題的建模關(guān)鍵在于把復(fù)雜的圖景分割為幾個熟悉的圖景，相應(yīng)找到熟悉圖景的模型，然后問題解決需要多個熟悉的物理模型的組合。

例2 如圖8所示，P為一圓盤，由形狀相同、透光率不同的三個扇形a、b和c構(gòu)成，它可繞軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)細(xì)光束通過扇形a、b、c照射光敏電阻R2時，R2的阻值分別為1 000 Ω、2 000 Ω、4 500 Ω。忽略細(xì)光束的寬度、電容器的充電、放電時間及電子所受的重力。假設(shè)照在R2上的光強發(fā)生變化時R2阻值立即有相應(yīng)的改變。

設(shè)轉(zhuǎn)盤按圖8中箭頭方向勻速轉(zhuǎn)動，每3 s轉(zhuǎn)一圈。取光束照在a、b分界處時t=0，試在圖9給出的坐標(biāo)紙上，畫出電子到達(dá)屏S上時，它離O點的距離y隨時間t的變化圖線（0～6 s間）。要求在y軸上標(biāo)出圖線最高點與最低點的值。（不要求寫出計算過程，只按畫出的圖線評分。）

本題綜合性強，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，物體圖景對學(xué)生而言比較陌生，很多學(xué)生讀題后沒有思考方向，從而陷入困境。其實，本題的中心是平行板電容器，中間加了光敏電阻和電路的相關(guān)知識，從而使結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。故我們可以把本題的幾個物理過程進行拆分，轉(zhuǎn)化為三個簡單且熟悉的圖景和模型。

（1）光敏電阻隨光照強度的改變而改變（如圖10）。

可見，一個物理圖景陌生、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的習(xí)題，可以將其拆分成幾個簡單且熟悉的圖景和模型，找出這幾個簡單模型制約的相關(guān)物理量，問題就能順利解決。

1.4 基于基本規(guī)律方法的建構(gòu)

學(xué)生對第四類習(xí)題找不到已學(xué)的物理模型進行求解，只能從已學(xué)的相關(guān)基本規(guī)律出發(fā)，運用基本方法進行解題思路的建構(gòu)，從而完成問題的解決。這種問題解決過程實際上是學(xué)生按照模型建構(gòu)的路徑自己建構(gòu)問題解決的路徑。

例3 如圖13，磁卡的磁條中有用于存儲信息的磁極方向不同的磁化區(qū)，刷卡器中有檢測線圈，當(dāng)以速度v0刷卡時，在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，其E-t關(guān)系如圖14所示。如果只將刷卡速度改為v0/2，線圈中的E-t關(guān)系可能是（ ）

C D

學(xué)生對本題的物理圖景難以找到已有的熟悉模型進行分析求解，需要經(jīng)歷如下的模型建立過程（如圖15所示）。

2 通過多題歸一的教學(xué)策略，揭示模型的本質(zhì)特征

要提高學(xué)生在物理問題解決中的建模能力，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟悉模型的本質(zhì)特征，讓學(xué)生能在具體問題中透過現(xiàn)象識別、發(fā)現(xiàn)模型。多題歸一是揭示模型本質(zhì)特征的有效教學(xué)策略。多題歸一是指把多個表面上物理情景不同但實質(zhì)上相同的題目歸成一類，找出它們的共同特點，用同一個物理規(guī)律去解答，即：多個題目、多種物理情景解答所用的物理規(guī)律相同，以實現(xiàn)認(rèn)識一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，也稱為題組教學(xué)。多題歸一可以實現(xiàn)觸類旁通的教學(xué)效果，即學(xué)生一旦掌握了一類問題的一般特點后，能夠從這個一般的特點出發(fā)，去解決新遇到的同類或相似類別的問題。

2.1 舉例

例如，在圓周運動的教學(xué)中，我們可以找到很多題目的本質(zhì)類似于圓錐擺，可以把這些題目都稱為圓錐擺模型。

例4 如圖16所示，一根不可伸長的輕繩長為L，一端固定在O點，另一端系著質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小球在水平面上做圓錐擺時，擺線與豎直方向成θ角時，求繩子的拉力以及小球做圓錐擺的角速度。

變式1：圖17為游樂場的懸空旋轉(zhuǎn)椅，我們把這種情況抽象為圖18的模型：一質(zhì)量m=40 kg的球通過長L=12.5 m的輕繩懸于豎直面內(nèi)的直角桿上，水平桿長L′= 7.5 m。整個裝置繞豎直桿轉(zhuǎn)動，繩子與豎直方向成θ角。當(dāng)θ =37°時，（g= 9.8 m/s2，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8）求：

（1）繩子的拉力大小；

（2）該裝置轉(zhuǎn)動的角速度。

變式2：如圖19所示，火車轉(zhuǎn)彎，內(nèi)外軌之間的距離為l，高度差為h，求規(guī)定的火車轉(zhuǎn)彎的速度為多少？

變式3：如圖20所示，質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端固定有一個質(zhì)量為m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，且角速度為ω，則桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮椋?）

A.mω2R B.m

C.m D.條件不足，不能確定

變式4：內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，兩個質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在如圖21所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則（ ）

A.球A的線速度一定大于球B的線速度

B.球A的角速度一定大于球B的角速度

C.球A的向心加速度一定大于球B的向心加速度

D.球A對筒壁的壓力一定大于球B對筒壁的壓力

變式5：如圖22所示，兩個小球A和B分別被兩條輕繩系住，在同一平面內(nèi)做圓錐擺運動，已知系球B的繩子與豎直線的夾角為θ，而系球A的繩子與豎直線的夾角為2θ，關(guān)于A、B兩小球運動的周期之比，下列說法中正確的是（ ）

A.1：2 B.2：1 C.1：4 D.1：1

變式6：一小球在半球形碗的光滑內(nèi)表面沿某一水平面做勻速圓周運動，如圖23所示。關(guān)于小球做圓周運動的向心力，下列說法正確的是（ ）

A.小球受到指向圓心O′的引力就是向心力

B.小球受到的支持力提供向心力

C.小球受到支持力的水平分力提供向心力

D.小球受到的重力提供向心力

變式7：如圖24所示，在雙人花樣滑冰運動中，有時會看到被男運動員拉著的女運動員離開地面在空中做圓錐擺運動的精彩場面，目測體重為G的女運動員做圓錐擺運動時和水平冰面的夾角約為30°，重力加速度為g，估算該女運動員（ ）

A.受到的拉力為G

B.受到的拉力為2G

C.向心加速度為g

D.向心加速度為2g

變式8：如圖25所示，AC、BC兩繩長度不等，一質(zhì)量m=0.1 kg的小球被兩繩拴住在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。已知AC繩長L=2 m，兩繩都拉直時，兩繩與豎直方向的夾角分別為30°和45°。問：小球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩均拉緊？當(dāng)ω=3 rad/s時，上下兩繩拉力分別為多少？

我們把這類題目稱為圓錐擺題組，可以用圖26所示的框圖表示它們的關(guān)系。

這些題目中研究對象的受力特征相似，運動的解題規(guī)律也相同，故可以串起來進行題組教學(xué)，使學(xué)生把握事物的本質(zhì)規(guī)律，由點及面地認(rèn)識事物之間的共同特點。

2.2 謹(jǐn)防二級結(jié)論化

教師需要注意，多題歸一的目的在于幫助學(xué)生揭示模型的本質(zhì)特征，并非讓學(xué)生記住某類題型的解題結(jié)論，而是形成“知識團”，利于學(xué)生對知識的編碼與存儲。下面再舉一例。

例5 如圖27所示，質(zhì)量分別為m1、m2的兩個物塊放在光滑的水平面上，中間用細(xì)繩相連，在F拉力的作用下一起向右做勻加速運動，求中間細(xì)繩的拉力為多大？

然后教師進行拓展：

拓展1：如圖28所示，質(zhì)量分別為m、m的兩個物塊放在動摩擦因數(shù)為μ的水平面上，中間用細(xì)繩相連，在F拉力的作用下一起向右做勻加速運動，求中間細(xì)繩的拉力為多大？

拓展2：如圖29所示，質(zhì)量分別為m、m的兩個物塊放在傾角為θ的斜面上，斜面的動摩擦因數(shù)為μ，中間用細(xì)繩相連，在F拉力的作用下一起向右做勻加速運動，求中間細(xì)繩的拉力為多大？

拓展3：如圖30所示，質(zhì)量分別為m、m的兩個物塊，中間用細(xì)繩相連，在F拉力的作用下一起向上做勻加速運動，求中間細(xì)繩的拉力為多大？

以上這些問題的答案全都一樣：T=

教師給學(xué)生強化了這一類題目的結(jié)論，作為一個二級結(jié)論記下，以后碰到這類題目便可以快速解決。

又如，電場中的“三體平衡問題”：三個帶電體自由放置，在它們相互靜電力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，討論三個帶電體的電荷量大小關(guān)系和相互間的距離關(guān)系等問題。教師給出了二級結(jié)論：三點共線，兩同夾異，兩大夾小，近小遠(yuǎn)大。

教學(xué)實踐表明，學(xué)生在高三時面對類似的題目，如把三個小球中的兩個小球固定，求解第三個小球的位置和電荷量的問題時，學(xué)生也常常套用以上的二級結(jié)論，但是卻得到錯誤答案。這是因為教師總結(jié)出的很多二級結(jié)論只適用于具體題型，它們之間相互割裂，不會形成有機的方法體系，并不利于學(xué)生對知識的理解和思維能力的培養(yǎng)，反而增加了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。因此，教師的目的是通過多題歸一揭示模型的本質(zhì)特征，并不是為了具體二級結(jié)論的反復(fù)操練和記憶。

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（欄目編輯 趙保鋼）