針對地球物理專業(yè)的計算方法課程改革

李靜爽

摘要：本文主要針對地球物理專業(yè)的特性，從計算方法這門課程的主要教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，探討如何針對專業(yè)特性，對該課程進(jìn)行課程改革。文章主要探討了在線性方程組的求解、插值方法和非線性方程求根這三部分內(nèi)容的教學(xué)過程中，應(yīng)如何與地球物理專業(yè)相結(jié)合給出延伸和應(yīng)用舉例。

關(guān)鍵詞：計算方法；地球物理；插值方法；線性方程組

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）06-0078-02

計算方法又名數(shù)值分析，是一門研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解的課程。有關(guān)計算方法課程建設(shè)的研究很多，但是專門針對地球物理專業(yè)的計算方法課程建設(shè)研究并不多見。本校計算方法作為地震方向?qū)W生培養(yǎng)計劃中的必修課，主要內(nèi)容包括：誤差理論、解線性方程組的直接法和迭代法、非線性方程求根、插值和擬合、數(shù)值微積分和常微分方程數(shù)值解法。顯然該門課程內(nèi)容十分豐富，但是由于不是針對數(shù)學(xué)系學(xué)生的課程設(shè)置，學(xué)時包括課內(nèi)上機(jī)一共40學(xué)時，相對較少。如何在有限的時間內(nèi)，有效地針對專業(yè)特性傳授給學(xué)生最有用的知識，是我們要思考的問題。本文針對這一問題，談一談針對地球物理專業(yè)的學(xué)生，對計算方法這門課程的教學(xué)改革。

面對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，以能正確選擇計算對象的計算方法為前提，領(lǐng)會計算原理和掌握計算的邏輯結(jié)構(gòu)為主干線，淡化數(shù)學(xué)理論部分的證明，強(qiáng)化數(shù)值方法與計算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用能力訓(xùn)練，注重學(xué)習(xí)計算方法中的基本數(shù)學(xué)思想和常用手法，培養(yǎng)和訓(xùn)練數(shù)值近似計算能力。可以考慮結(jié)合地球物理這個專業(yè)的專業(yè)特點(diǎn)，選擇合適的具體問題，通過講解其解決方法和所學(xué)數(shù)值方法在其中的實際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生科學(xué)意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。對于課程設(shè)置與訓(xùn)練要既能激發(fā)基礎(chǔ)好的同學(xué)多深入思考，同時也能使那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生容易理解和掌握基本的數(shù)值計算方法，并能觸類旁通地應(yīng)用到各自的領(lǐng)域中，為他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)計算方法打好基礎(chǔ)，或者初步具備解決工程和實際應(yīng)用中的數(shù)值計算問題的能力。教學(xué)內(nèi)容的改革，應(yīng)根據(jù)學(xué)時設(shè)置和學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)，仔細(xì)甄選教學(xué)內(nèi)容，合理安排教學(xué)進(jìn)度。通過引入一些地震勘探相關(guān)實例（如地震波數(shù)值模擬，地震數(shù)據(jù)分析和地下結(jié)構(gòu)成像等），對涉及到的數(shù)值方法進(jìn)行應(yīng)用分析，使得教學(xué)更具有針對性，從偏重數(shù)學(xué)的抽象、形式化和純數(shù)學(xué)技巧向注重應(yīng)用意識和應(yīng)用能力方向轉(zhuǎn)變。這里結(jié)合計算方法這門課程幾個主要章節(jié)的主要內(nèi)容，選取幾個方面來談一談。

一、線性方程組的求解

傳統(tǒng)教學(xué)中，求解線性方程組的直接法和迭代法理論部分講解完成之后，通常不會引入與專業(yè)相關(guān)的實例。這里可以考慮給出以下兩個實例。

第一個應(yīng)用與數(shù)值計算中流行算法之一——有限元方法相關(guān)。有限元方法由于網(wǎng)格剖分靈活、邊界處理容易等優(yōu)點(diǎn)，是很多數(shù)值計算問題中常被選擇的方法。同樣地，地球物理領(lǐng)域也有很多數(shù)值計算問題可以選擇有限元方法，例如地震波場的數(shù)值模擬。而有限元方法中關(guān)鍵的一步，就是將剛度矩陣作為系數(shù)矩陣的一個大規(guī)模線性方程組的求解，此時必須用到計算方法的知識，并且在這個問題中，根據(jù)線性方程組的規(guī)模，能夠進(jìn)一步探索直接法和迭代法的優(yōu)劣性和適用性。

另外一個求解線性方程組的應(yīng)用，可以考慮頻率域地震波場的數(shù)值模擬。由于頻率域的特殊性，再加上人工吸收邊界條件的應(yīng)用，可以說在頻率域求解波動方程，最重要的一點(diǎn)就是如何高效高精度地求解一個大規(guī)模的線型方程組。也可向同學(xué)大概展示一下該線性方程組的規(guī)模和復(fù)雜性，并提出對于這樣的問題，我們講解的這些初級方法可能未必能滿足求解的需求。有時若要滿足需求，需要學(xué)習(xí)預(yù)處理以及高等數(shù)值分析中講解的更復(fù)雜的求解線性方程組的數(shù)值方法。這樣對于基礎(chǔ)較差或一般的同學(xué)了解了自己學(xué)習(xí)的知識有什么應(yīng)用，而對于基礎(chǔ)較好或打算繼續(xù)深造的同學(xué)也會了解現(xiàn)階段學(xué)習(xí)的只是最基本的方法，將來可以到哪方面尋求更多的知識和幫助。總體上，對于各個層次的同學(xué)都會對這部分知識的應(yīng)用有一個直觀的了解，所學(xué)內(nèi)容不僅有用，而且要解決更復(fù)雜的問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

二、插值方法

由于學(xué)時的限制，對于插值方法這部分內(nèi)容，本課程主要講解拉格朗日插值和牛頓插值方法，同時介紹為了避免龍格現(xiàn)象，而采用分段插值，最后簡單介紹樣條插值等稍復(fù)雜的插值方法。傳統(tǒng)教學(xué)中，應(yīng)用實例最多是給出一組數(shù)據(jù)，進(jìn)行一下插值練習(xí)。實際上，插值在地球物理專業(yè)的應(yīng)用更加普遍，可以從地震數(shù)據(jù)的處理、非一致網(wǎng)格數(shù)值算法和混合數(shù)值算法三個方面簡單介紹一下插值的應(yīng)用。

1.實際地震數(shù)據(jù)由地震臺站接收到的地震信號，一般有三個維度，即是位置坐標(biāo)x，y和時間t的函數(shù)。圖1顯示的為一個地震數(shù)據(jù)集示例。由于設(shè)備和各種條件的限制，關(guān)于這三個變量都可能會出現(xiàn)欠采樣，即采樣不夠密集的情況。而要想對地震數(shù)據(jù)加以利用，例如利用地震數(shù)據(jù)對地下結(jié)構(gòu)成像，就需要對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，例如簡單情況下，可能對于時間方向進(jìn)行線型插值就可以了，而對于空間可能需要精度更高，更復(fù)雜一些的插值方法進(jìn)行插值處理。

2.有很多數(shù)值問題，要進(jìn)行網(wǎng)格剖分，在離散的網(wǎng)格點(diǎn)上進(jìn)行數(shù)值計算。顯然，同一計算區(qū)域，網(wǎng)格步長越大，網(wǎng)格點(diǎn)越少，計算效率越高。但由于數(shù)值算法穩(wěn)定性條件等限制，網(wǎng)格步長的大小是有要求的，否則會引起數(shù)值算法的不穩(wěn)定，沒辦法進(jìn)行有效的計算。所以有時為了提高計算效率，可以對于不同的區(qū)域進(jìn)行不同網(wǎng)格步長的網(wǎng)格剖分，有的地方用粗網(wǎng)格，有的地方用細(xì)網(wǎng)格。那么在粗細(xì)網(wǎng)格交界的地方，就需要用到插值算法。此時插值方法選用不得當(dāng)或者精度過低，會出現(xiàn)由于人為原因產(chǎn)生的偽波動。

3.混合算法是采用兩種以上的數(shù)值方法，不同的數(shù)值方法網(wǎng)格剖分不同，所以在交界處也需要插值處理，例如有限元方法和有限差分方法混合，有限元方法常常采用三角網(wǎng)格剖分，有限差分方法常采用矩形網(wǎng)格，在兩種方法交界處需要插值來提供網(wǎng)格點(diǎn)上本沒有的數(shù)值，這時往往需要較高精度的插值方法小心處理，否則會引起人為的偽波動，造成兩種方法的不兼容。

三、非線性方程求根

在地球物理中有很多問題最終轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€優(yōu)化問題，例如速度分析、地震層析成像、全波形反演等問題中都涉及到優(yōu)化問題，而最終轉(zhuǎn)化為一個線性或非線性方程組的求根問題。因此在講解非線性方程求根這里，可以將其簡單引申到非線性方程組的求根問題，說明其應(yīng)用很廣，在地球物理中有哪些應(yīng)用，并介紹可以自學(xué)或到高等數(shù)值分析中進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

本文針對地球物理專業(yè)的學(xué)生，從計算方法的幾大教學(xué)內(nèi)容上探討該課程的課程改革，使其更具有針對性，可以使得學(xué)生將這門課程的學(xué)習(xí)與自己本專業(yè)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并且對計算方法在本專業(yè)的應(yīng)用有更直觀和明確的了解，進(jìn)一步開拓學(xué)生的視野。