數(shù)形結(jié)合，開(kāi)啟數(shù)學(xué)智慧的大門(mén)

陸小蓓

摘 要：為了在數(shù)學(xué)課堂上滲透數(shù)形結(jié)合思想，開(kāi)啟數(shù)學(xué)智慧的大門(mén)，筆者結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容，希望通過(guò)線段圖、實(shí)物模型、點(diǎn)子圖和幾何圖形等建立數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化，使數(shù)學(xué)問(wèn)題形中有數(shù)，數(shù)中有形。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；蘇教版；數(shù)學(xué)智慧

華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。此言正道出了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。2011年版《小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中也提出了數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握。

為此，筆者翻閱了蘇教版教材中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)內(nèi)容，受益頗多。

一、借助線段圖記錄數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合

線段圖是小學(xué)階段常用的解決問(wèn)題的方法之一，學(xué)生通常把復(fù)雜的題目意思轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)潔直觀的線段圖，就能在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)化繁為簡(jiǎn)，化難為易，順利地解決問(wèn)題。如筆者在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第六單元“用百分?jǐn)?shù)知識(shí)解決問(wèn)題”一課時(shí)，面對(duì)復(fù)雜的單位“1”，我們借助線段圖記錄下題目的數(shù)量關(guān)系，于是巧妙地解決了這道題目。

（出示題目：張大伯培育了480棵槐樹(shù)苗，比原計(jì)劃多20%。原計(jì)劃培育槐樹(shù)苗多少棵？）

師：請(qǐng)同學(xué)們自己把解答過(guò)程寫(xiě)在練習(xí)本上，并在四人小組里說(shuō)一說(shuō)你會(huì)怎么計(jì)算原計(jì)劃培育槐樹(shù)苗多少棵。

生1：我是先計(jì)算張大伯比原計(jì)劃多種了480×20%=96棵槐樹(shù)苗，再用張大伯現(xiàn)在培育的槐樹(shù)苗減去比原計(jì)劃多種的就是原計(jì)劃培育的槐樹(shù)苗了，即480-96=384棵。

生2：我是用方程來(lái)解的，把原計(jì)劃培育的棵數(shù)設(shè)為x棵，那么多培育的棵數(shù)就是20%x了。列出方程x+20%x=480，解出x=400，這就說(shuō)明原計(jì)劃培育槐樹(shù)苗400棵。

生3（看著線段圖介紹）：我畫(huà)了線段圖，數(shù)量關(guān)系就是“原計(jì)劃培育的棵數(shù)+比原計(jì)劃多的棵數(shù)=實(shí)際培育的棵數(shù)”。我把原計(jì)劃培育的棵樹(shù)看作單位“1”，而“實(shí)際比原計(jì)劃多20%”，那么實(shí)際培育的棵數(shù)就是原計(jì)劃棵數(shù)的（1+20%），因?yàn)橐髥挝弧?”，所以用除法計(jì)算，480÷（1+20%）=400棵。

師：現(xiàn)在我們出現(xiàn)了兩種答案，你有什么辦法證明自己的答案是正確的。

生：我們可以在線段圖上檢查一下這道題目的答案。如果原計(jì)劃培育槐樹(shù)苗400棵，那么實(shí)際比原計(jì)劃多培育400×20%=80棵，所以實(shí)際培育槐樹(shù)苗400+80=480棵。如果原計(jì)劃培育槐樹(shù)苗384棵，那么實(shí)際比原計(jì)劃多培育384×20%=76.8棵，這就不符合生活實(shí)際了。所以生2和生3的解決方法是正確的。

師：看來(lái)線段圖不僅能理解題目關(guān)系幫助我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，還能檢驗(yàn)答案是否正確呢！

在這個(gè)教學(xué)片段中，我們看到線段圖的作用不僅在于能把復(fù)雜的問(wèn)題直觀化，幫助學(xué)生解決復(fù)雜的問(wèn)題，讓學(xué)生更清晰地展示自己的思考過(guò)程，而且還能為學(xué)生檢查答案是否正確提供思路。

二、借助實(shí)物模型感知空間觀念，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合

實(shí)物模型，是學(xué)生學(xué)習(xí)圖形和長(zhǎng)度單位、面積單位和體積單位的最佳工具，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)中觀察和交流，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。如在教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第六單元“認(rèn)識(shí)面積和面積單位”一課時(shí)，筆者出示1平方厘米、1平方分米和1平方米的物體，讓學(xué)生通過(guò)摸一摸、畫(huà)一畫(huà)、涂一涂、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)，把這些面積單位記在腦海里。

師：同學(xué)們，剛才我們自學(xué)認(rèn)識(shí)了三個(gè)面積單位，即1平方厘米、1平方分米和1平方米。邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形，面積是1平方厘米。請(qǐng)你們先仔細(xì)看一看老師手中這個(gè)1平方厘米的小正方形，再去找一找生活中哪些物體的面積最接近1平方厘米？

生1：小手指指甲面的面積大約是1平方厘米。

生2：骰子表面的面積大約是1平方厘米。

生3：我這顆牙齒表面的大小大約是1平方厘米。

（教師鼓勵(lì)學(xué)生用1平方厘米的實(shí)物模型去驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)這顆牙齒的面積非常接近1平方厘米。）

師：很好，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看一看這個(gè)1平方厘米的模型，請(qǐng)你在紙上把你腦海中的1平方厘米畫(huà)下來(lái)，并用尺子量一量你畫(huà)得如何，是比1平方厘米大，還是比1平方厘米小。

（學(xué)生自己在紙上畫(huà)1平方厘米，有的學(xué)生畫(huà)得比1平方厘米大，有的學(xué)生畫(huà)得比1平方厘米小。）

師：現(xiàn)在請(qǐng)你再畫(huà)一個(gè)1平方厘米，看看這次畫(huà)得如何。想一想如果把100個(gè)1平方厘米堆放在一起，會(huì)有多大呢？

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，尋找生活中的1平方厘米，通過(guò)視覺(jué)、觸覺(jué)、嗅覺(jué)等多感覺(jué)器官參與，讓學(xué)生在摸一摸、比一比、畫(huà)一畫(huà)等操作活動(dòng)中加深對(duì)平方厘米和1平方厘米的印象，從而在學(xué)生頭腦中清晰建立起“1平方厘米”的數(shù)與“1平方厘米”的形之間的聯(lián)系。

三、借助點(diǎn)子圖體現(xiàn)簡(jiǎn)潔美，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合

除了線段圖、實(shí)物模型，點(diǎn)子圖在特定的時(shí)候也能起到很好的學(xué)習(xí)效果，既能讓學(xué)生體會(huì)到可以從不同的方向、用不同的方法解決同一個(gè)問(wèn)題，還能在教學(xué)中滲透符號(hào)化思想。如在教學(xué)蘇教版二年級(jí)下冊(cè)第一單元“有余數(shù)的除法”一課時(shí)，為了幫助學(xué)生更加直觀地感受到平均分和“余數(shù)一定要比除數(shù)小”，筆者在課上運(yùn)用點(diǎn)子圖，輕而易舉地幫助學(xué)生搞定了這件事。

（出示題目：用13根小棒擺正方形，可以擺多少個(gè)？還多多少根小棒？）

師：同學(xué)們，先請(qǐng)你們?cè)谧雷由蠑[一擺，再用點(diǎn)子圖記錄下來(lái)。

生1：我先畫(huà)了13個(gè)點(diǎn)表示13根小棒，1個(gè)正方形要用4根小棒，所以我就4個(gè)4個(gè)地圈，圈了2次。

生2：不對(duì)不對(duì)，我認(rèn)為4個(gè)4個(gè)地圈可以圈3次，還剩下1個(gè)點(diǎn)子，這時(shí)我就不能再圈了。

師：對(duì)于這兩種不同的圈法，動(dòng)腦筋想一想你支持哪一種圈法？為什么？

生：我支持第2種圈法，因?yàn)榈?種圈2次后還剩下5個(gè)點(diǎn)子，我們是4個(gè)4個(gè)地圈，所以還可以再圈1次。

師：你的意思是說(shuō)我們要圈到不能再圈為止。那我們?cè)賮?lái)解決用14根、15根、16根、17根小棒擺正方形的問(wèn)題。

生：14個(gè)點(diǎn)子，4個(gè)4個(gè)地圈，我圈了3次還多2個(gè)，所以14÷4=3（個(gè)）……2（根）。15個(gè)點(diǎn)子，4個(gè)4個(gè)地圈，我圈了3次還多3個(gè)，所以15÷4=3（個(gè)）……3（根）。16個(gè)點(diǎn)子，4個(gè)4個(gè)地圈，我圈了4次，正好圈完，所以16÷4=4（個(gè)）。17個(gè)點(diǎn)子，4個(gè)4個(gè)地圈，我圈了4次，還多1個(gè)，所以17÷4=4（個(gè)）……1（根）。

師：我們一起來(lái)觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

在這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生利用點(diǎn)子圖這個(gè)有形的外套，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺、圈一圈，在直觀視覺(jué)和抽象思維中解決了有余數(shù)除法中“余數(shù)要比除數(shù)小”的重難點(diǎn)知識(shí)，并且逐漸讓學(xué)生體會(huì)到解決問(wèn)題時(shí)用符號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)化的過(guò)程，既能滲透符號(hào)化思想，又有助于提高學(xué)生抽象概括的能力。

四、借助幾何圖形理解運(yùn)算律，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀圖形結(jié)合起來(lái)，包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”這兩個(gè)方面。在計(jì)算運(yùn)算律的教學(xué)中，乘法分配律可以說(shuō)是學(xué)生理解最困難的運(yùn)算律了，究其原因主要是因?yàn)槌朔ǚ峙渎傻姆N類(lèi)繁多，表達(dá)式復(fù)雜。因此，筆者在教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第六單元“整數(shù)四則混合運(yùn)算”一課時(shí)，充分利用了直觀的幾何圖形——長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，讓學(xué)生結(jié)合圖形來(lái)理解乘法分配律的字母表達(dá)式的意義。

（出示題目：計(jì)算整個(gè)花圃的面積是多少平方米？）（圖1）

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們用兩種方法計(jì)算整個(gè)花圃的面積是多少平方米。

生1：我先算蘭花的面積是6×8=48（平方米），郁金香的面積是14×8=112（平方米），所以整個(gè)花圃的面積是48+112=160（平方米）。

生2：我是先算出整個(gè)花圃的長(zhǎng)是6+14=20（米），整個(gè)花圃的寬是8米，所以整個(gè)花圃的面積是20×8=160（平方米）。

（教師把這兩種方法都進(jìn)行了板書(shū)。）

師：你還能以這個(gè)花圃的面積為例舉出其他例子嗎？請(qǐng)用兩種方法解答。

生2：蘭花花圃的長(zhǎng)是10米，寬是3米；郁金香花圃的長(zhǎng)是5米，寬是3米。整個(gè)花圃的面積是多少平方米？第一種計(jì)算方法是10×3+5×3=45（平方米），第二種計(jì)算方法是10+5=15（米），15×3=45（平方米）。

生3：蘭花花圃的長(zhǎng)是8米，寬是7米；郁金香花圃的長(zhǎng)是7米，寬是2米。整個(gè)花圃的面積是多少平方米？第一種計(jì)算方法是7×8+7×2=70（平方米），第二種計(jì)算方法是（8+2）×7=70（平方米）。

師：那如果蘭花花圃的長(zhǎng)是a米，寬是c米；郁金香花圃的長(zhǎng)是b米，寬是c米。整個(gè)花圃的面積是多少平方米？用兩種方法計(jì)算。

生：第一種方法是a×c+b×c，第二種方法是（a+b）×c，而且a×c+b×c=（a+b）×c。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師從形象的長(zhǎng)方形面積入手，通過(guò)具體的數(shù)字計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法計(jì)算整個(gè)花圃的面積，并發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算方法的結(jié)果是相同的。慢慢地，學(xué)生在數(shù)和形中發(fā)現(xiàn)了乘法分配律的數(shù)字表達(dá)式，教師趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生用字母表示乘法分配律，加深學(xué)生的直觀印象。

總之，數(shù)形結(jié)合就伴隨在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，能將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)潔概括的符號(hào)，有助于學(xué)生快速找到解決問(wèn)題的方案，開(kāi)啟數(shù)學(xué)智慧的大門(mén)。