反例教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用及其作用

何麗珍

摘 要：本文闡述高中數(shù)學(xué)中反例的作用極其應(yīng)用，同時也收集了一些與教材相關(guān)的重要反例。但是當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師對教學(xué)反例的認(rèn)識不夠，教材也沒有給予足夠的重視。雖然證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的作用，但是反例作為問題的另一個方面，也應(yīng)清楚在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

關(guān)鍵詞：反例;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用;作用

眾所周知，要判斷一個命題的正確性必須經(jīng)過嚴(yán)密的推證，而要否定一個命題，卻要舉出一個與結(jié)論相矛盾的例子即可。這種與命題相矛盾的例子成為反例。

舉反例和證明同時是重要的數(shù)學(xué)思維方式，它們是一個問題的兩個側(cè)面。美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H奧姆斯特德指出：“冒著過于簡單化的風(fēng)險，我們可以說數(shù)學(xué)由兩大類——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個主要的目標(biāo)——提出證明與構(gòu)造反例?！?/p>

反例在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用及其作用

一、利用反例加深對數(shù)學(xué)概念的理解

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，不僅要重視正面的例子，加以深刻闡明，還要運(yùn)用合適的反例來領(lǐng)會概念的含義。學(xué)生在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)概念時，常常不能抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，不能全面的理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，結(jié)果造成理解上的混淆，而反例的十分簡明和具有說明力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用，正確地使用反例，可以活躍學(xué)生的思維，加深對數(shù)學(xué)概念的理解。

如：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

一個函數(shù)y=f（x）是奇（偶）函數(shù)，必須具備2個條件：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱;（2）f（-x）=-f（x）[f（-x）-f（x）]學(xué)生在做題時，往往忽略第一個條件。

例1：判斷函數(shù)f（x）=（1-x）■的奇偶性。

誤解：因為判斷函數(shù)f（-x）=（1-x）■=■

而f（x）=（1-x）■=■

∴函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)

剖析：錯誤在于沒有注意到f（x）定義域為半開區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對稱。

正確解法：因為f（x）定義域為半開區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對稱。

∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，通常會碰到判斷函數(shù)奇偶性的問題，久而久之，學(xué)生的頭腦中就忽略“定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱”這個條件，這一反例糾正了學(xué)生對這一概念的錯誤理解，擴(kuò)大了知識面。

二、利用反例直接解答問題

對于某些結(jié)論否定型問題，從正面證明它不成立一般不容易，而舉一個反例往往能迅速的解決問題。

如：關(guān)于極限方面的應(yīng)用

例2：若 ? an=A， ? ，bn=B則 ? ?（an+bn）=A+B

解法：反之不成立，若直接說明不好入手，若舉反例來說明，學(xué)生們記憶就深刻。例如an=■+n，bn=■-n，顯然

（an+bn）存在，但 ? an與 ? bn均不存在.

“對則證明，否則舉反例”，對于這類問題，盲目推導(dǎo)證明可能會陷入窘境，而恰當(dāng)?shù)姆蠢茌p松地解決問題。

三、利用反例發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的錯誤和漏洞，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

一般來說，構(gòu)造反例不象提出證明那樣有清晰的邏輯途徑，而給人一種不可捉摸的感覺，但他是一項積極的、創(chuàng)造性的思維活動，是一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，通過反例的提醒，可以深入理解方法的本職和提高對充要條件的認(rèn)識。

如：關(guān)于直線的傾斜率、斜率、截距方面的應(yīng)用

例3：求過點(diǎn)（3，1），且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程。

誤解：設(shè)所求直線方程為■+■=1，由題意|a|=|b|，b=？芄a

上式變?yōu)椤?？芄?1

又因為直線過點(diǎn)（3，1），

所以■？芄■=1，a=4或a=2

所以所求直線方程為■？芄■=1或■？芄■=1

剖析：錯誤在于利用截距■+■=1式直線方程時，沒有注意a≠0，b≠0這個條件，漏掉了a=0的情況，并且對直線在兩坐標(biāo)軸上截距這一概念認(rèn)識不清，要注意，截距可正，可負(fù)，可為零。

正確解法：因為直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，

設(shè)所求直線方程為■？芄■=1，a≠0

因為直線過點(diǎn)（3，1）

所以■+■=1，a=4

所求直線方程■+■=1即x+y-4=0

若a=0，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等（都為0），可設(shè)直線方程為y=kx，

因為直線過點(diǎn)（3，1），

所以l=3k，k=■，即y=■x

所求直線方程為x+y-4=0或x-3y=0

通過反例，使我們發(fā)現(xiàn)解題過程的錯誤所在，同時也體會到，對待每一個問題都要認(rèn)真思考，稍有不慎便可能出現(xiàn)漏洞，從而使他們體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，形成良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張惠民.例談反例構(gòu)建.[J].北京：人民教育出版社.中學(xué)數(shù)學(xué).2012年9月

[2]徐斌艷.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.[M].杭州：浙江教育出版社，2013.