采樣系統(tǒng)的一類脈沖觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

賈新春,李雷,馬偉偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

觀測(cè)器是利用對(duì)象的量測(cè)輸出來(lái)估計(jì)對(duì)象狀態(tài)變量的一類系統(tǒng)。20世紀(jì)60年代初期,為了對(duì)狀態(tài)無(wú)法直接量測(cè)的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋, Majime，Kim和Willems等人提出了狀態(tài)觀測(cè)器的概念和構(gòu)造方法[1-3]。目前,觀測(cè)器技術(shù)已經(jīng)在控制工程的許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用, 例如濾波[4]、擾動(dòng)估計(jì)[5]、故障診斷[6-7]等。

針對(duì)不同的連續(xù)對(duì)象, 連續(xù)觀測(cè)器的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題被大量研究[6-9]。這類連續(xù)觀測(cè)器有如下特征: 1)便于對(duì)連續(xù)對(duì)象進(jìn)行分析和設(shè)計(jì); 2)能夠得到對(duì)象狀態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì)。與此同時(shí), 離散的觀測(cè)器也受到較多關(guān)注[10]。這類離散觀測(cè)器的主要特征是: 1)分析和設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單, 容易由數(shù)字設(shè)備實(shí)現(xiàn); 2) 收斂速度快, 狀態(tài)估計(jì)誤差的超調(diào)小。然而, 同時(shí)具有連續(xù)觀測(cè)器和離散觀測(cè)器特點(diǎn)的脈沖觀測(cè)器卻較少受到關(guān)注。針對(duì)帶非線性項(xiàng)的塊三角系統(tǒng), 文獻(xiàn)[11]考慮了一類特殊的脈沖高增益觀測(cè)器的穩(wěn)定性分析。不同于以上的工作, 本文針對(duì)一般的線性周期采樣系統(tǒng), 考慮一類脈沖觀測(cè)器的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。該觀測(cè)器在相鄰的采樣間隔之間, 依據(jù)對(duì)象模型連續(xù)運(yùn)行, 來(lái)獲得對(duì)連續(xù)對(duì)象狀態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì)。當(dāng)新的采樣信號(hào)被觀測(cè)器獲得, 該觀測(cè)器立即更新自身狀態(tài), 來(lái)快速調(diào)節(jié)估計(jì)誤差。

符號(hào)說(shuō)明:Rn(或Rn×m分別) 代表n×1(n×m)歐幾里得空間。N表示自然數(shù)空間。I(或In分別)表示適當(dāng)維數(shù)(或n維)單位矩陣。0(或0n分別)表示適當(dāng)維數(shù)(或n維)零矩陣。x(a+)(或x(a-)分別)表示x(t)在a的右(或左)極限。

1 問(wèn)題提出

本文考慮如下線性對(duì)象:

(1)

其中x(t)∈Rn是狀態(tài)向量,u(t)∈Rp是系統(tǒng)的參考輸入,v(t)∈Rq是系統(tǒng)的量測(cè)干擾,y(t)∈Rm是系統(tǒng)的量測(cè)輸出。A,B,C和D是適當(dāng)維數(shù)的常矩陣。

假設(shè)對(duì)象的量測(cè)輸出以周期h采樣。則對(duì)象的量測(cè)輸出能夠被描述為:

y(kh)=Cx(kh)+Dv(kh),

(2)

其中v(kh)∈l2,k∈N.

若不考慮采樣的影響, 針對(duì)系統(tǒng)(1), 通常會(huì)設(shè)計(jì)Luenberger型觀測(cè)器來(lái)估計(jì)對(duì)象狀態(tài):

(3)

(4)

為此,本文設(shè)計(jì)一個(gè)新的脈沖觀測(cè)器。它被描述為兩部分,在沒(méi)有接收到量測(cè)輸出時(shí),依據(jù)如下連續(xù)方程運(yùn)行:

(5)

當(dāng)觀測(cè)器接收到來(lái)自于對(duì)象的測(cè)量信號(hào)時(shí),它根據(jù)如下的重置規(guī)則更新自身的當(dāng)前狀態(tài):

(6)

(7)

其中e(t)是左連續(xù)的,In是n維單位矩陣,k∈N.

為了分析系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性, 根據(jù)采樣周期, 離散化系統(tǒng)(7), 得到如下等價(jià)的離散誤差系統(tǒng):

(8)

注意到, 當(dāng)不考慮外部干擾的影響時(shí), 離散系統(tǒng)(8)的漸近穩(wěn)定性等價(jià)于脈沖系統(tǒng)(7)的漸近穩(wěn)定性。

因此, 本文的主要目的可以被描述為: 設(shè)計(jì)脈沖觀測(cè)器(5)-(6), 使得最終的離散誤差系統(tǒng)(8)在l2干擾抑制水平γ下漸近穩(wěn)定, 定義如下:

1) 當(dāng)v(kh)≡0,k∈N,系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定;

2 脈沖觀測(cè)器設(shè)計(jì)

本節(jié)將以線性矩陣不等式形式給出脈沖觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。

(9)

證明針對(duì)系統(tǒng)(8),構(gòu)造Lyapunov函數(shù):V(k)=eT(k)Pe(k), 其中P>0。

ΔV(k)+eT(k)e(k)-γ2vT(kh)v(kh)=ψT(kh)(ΞTPΞ-diag(P-In,γ2I))ψ(kh),

注意到Υ=PΞ, 若不等式(9)成立, 利用Schur引理, 可以得到

ΔV(k)+eT(k)e(k)-γ2vT(kh)v(kh)<0

(10)

當(dāng)v(kh)≡0,k∈N,由(9)得ΔV(k)<0, 即系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的。

另外, 在零初始條件下, 對(duì)(10)從k=1到N求和,能得到

因此,不等式(9)成立,則系統(tǒng)(8)在l2增益γ下是漸近穩(wěn)定的。

(11)

證明該證明類似于定理1, 詳細(xì)證明略。

3 傳統(tǒng)Luenberger型觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了和本文所提的脈沖觀測(cè)器(5)-(6)比較, 本節(jié)給出Luenberger型觀測(cè)器(4)的一個(gè)設(shè)計(jì)方法。

由(4)減去(1),并離散化誤差系統(tǒng),能夠得到如下離散系統(tǒng):

(12)

(13)

證明該證明類似于定理1, 詳細(xì)證明略。

4 仿真例子

本節(jié)針對(duì)智能車輛路徑跟蹤控制過(guò)程中的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)?？紤]如下車輛模型[13]:

(14)

其中x=[βγφyl]T,u=[δfNz]T,y2=[φyl]T,

β是車輛的車身偏航角,γ是車輛橫擺角速度,φ是車輛橫擺角,yl是預(yù)瞄點(diǎn)的橫向偏移,δf是前輪轉(zhuǎn)向角,Nz由差動(dòng)力所產(chǎn)生的橫擺力矩。另外,該車輛參數(shù)由表1給定。

取h=0.1,γ=1, 參考輸入u(t)=sin(t)和量測(cè)干擾vk=0.5k,k∈N。利用定理1可以求得脈沖觀測(cè)器參數(shù)矩陣:

表1 車輛參數(shù)

在相同的條件下, 利用推論2可以得到Luenberger型觀測(cè)器(3)的參數(shù)矩陣:

Fig.1 Estimation error of the impulsive observer (5)-(6)圖1 脈沖觀測(cè)器 (5)-(6)的估計(jì)誤差

Fig.2 Estimation error of the Luenberger-type observer (4)圖2 Luenberger型觀測(cè)器(4)的估計(jì)誤差

圖1展示了脈沖觀測(cè)器(5)-(6)的估計(jì)誤差軌跡,該軌跡通過(guò)多次跳變, 快速地收斂到零點(diǎn)。圖2展示了Luenberger型觀測(cè)器(4)的估計(jì)誤差軌跡。從兩個(gè)圖可以看出在相同的干擾抑制水平γ=1下, Luenberger型觀測(cè)器至少需要6 s調(diào)節(jié)時(shí)間, 而脈沖觀測(cè)器僅僅需要2 s。與此同時(shí), 相比于Luenberger型觀測(cè)器(4), 脈沖觀測(cè)器有更小的超調(diào)。

5 結(jié)論

本文研究了一類采樣系統(tǒng)的脈沖觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題。當(dāng)觀測(cè)器未收到采樣信號(hào)時(shí), 該脈沖觀測(cè)器基于對(duì)象模型連續(xù)地估計(jì)對(duì)象狀態(tài); 當(dāng)接收到采樣信號(hào)時(shí)刻, 觀測(cè)器利用重置規(guī)則來(lái)重置自身的狀態(tài)變量值。觀測(cè)器估計(jì)誤差系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的離散系統(tǒng), 基于該離散系統(tǒng)給出了觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法和估計(jì)性能分析條件。最后, 通過(guò)仿真例子, 在相同的條件下, 展示了本文所提的脈沖觀測(cè)器相比于Luenberger型觀測(cè)器具有收斂速度更快、超調(diào)更小的特點(diǎn)。

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