坐標(biāo)法——解析幾何的核心

蔣宏中

解析幾何的誕生是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)里程碑，它的創(chuàng)立引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期.解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了巨大的推動(dòng)作用.而解析幾何的核心是坐標(biāo)法，下面讓我們一起走近坐標(biāo)法，揭開她那神秘的面紗，

一、坐標(biāo)法的起源

1 6世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需求.比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢網(wǎng)的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的.過(guò)去，對(duì)于橢圓、拋物線等圓錐曲線，因?yàn)闆](méi)有實(shí)用的需要，因此作為圓錐與平面的截線，只要在幾何上得到研究就足夠了.但現(xiàn)在，因?yàn)楹胶?、軍事的需要，研究這些比較復(fù)雜的曲線并對(duì)它們進(jìn)行計(jì)算成了必需，而歐氏幾何中沒(méi)有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個(gè)證明都需要某種新的、技巧性很強(qiáng)的想法.

能否創(chuàng)造一種方法，用來(lái)解決所有的幾何問(wèn)題呢？帶著對(duì)普適性方法的追求，一大批最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家展開了研究，其中最具代表性的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（ Descartes）和法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（ Fermat）.他們注意到代數(shù)方法的普遍性、抽象性，可用代數(shù)方法將幾何研究引向一條坦途.笛卡兒甚至提出了一個(gè)解決問(wèn)題的統(tǒng)一計(jì)劃，即任何問(wèn)題一數(shù)學(xué)問(wèn)題一代數(shù)問(wèn)題一方程求解.當(dāng)然，如今看來(lái)，這個(gè)計(jì)劃是過(guò)于樂(lè)觀了，但畢竟產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

笛卡兒集中精力研究怎樣把代數(shù)方法用于解決幾何問(wèn)題，他把幾何圖形看成是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，也就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點(diǎn)組成的.比如，我們把網(wǎng)看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O作等距離運(yùn)動(dòng)的軌跡，也就可以把網(wǎng)看作是由無(wú)數(shù)到定點(diǎn)O的距離相等的點(diǎn)組成的.我們把點(diǎn)看作是構(gòu)成圖形的基本元素，把數(shù)看成是組成方程的基本元素，只要把點(diǎn)和數(shù)掛上鉤，也就可以把幾何和代數(shù)聯(lián)系起來(lái).笛卡兒根據(jù)自己的這個(gè)想法，在《幾何學(xué)》中，最早為運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)建立坐標(biāo)，利用坐標(biāo)方法把帶有兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線，創(chuàng)立了幾何和代數(shù)掛鉤的解析幾何.在解析幾何中，把圖形看成動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)就成了變數(shù)，這是數(shù)學(xué)第一次引進(jìn)變數(shù).幾何、代數(shù)和一般變量概念的結(jié)合是坐標(biāo)法的起源.像這種運(yùn)用變量坐標(biāo)來(lái)表示圖形上的動(dòng)點(diǎn)，從而使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的解題方法就被稱為坐標(biāo)法.坐標(biāo)法也因?yàn)槟軠贤ù鷶?shù)與幾何而成為解析幾何的核心.

二、學(xué)習(xí)坐標(biāo)法的意義

首先，學(xué)習(xí)坐標(biāo)法的意義在于它運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.在此思想的指引下，一個(gè)幾何對(duì)象被數(shù)（坐標(biāo)）完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式，幾何目標(biāo)可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)達(dá)到；反過(guò)來(lái)，它使代數(shù)語(yǔ)言得到了幾何解釋，從而代數(shù)語(yǔ)言有了直觀意義，人們能從中得到啟發(fā)并提出新的結(jié)論.當(dāng)代數(shù)與幾何水乳交融、相輔相成、相得益彰時(shí)，它不但促進(jìn)了兩者的大幅度進(jìn)展，而且也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展.特別值得指出的是，這種思想所反映出的事物辯證統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，具有方法論的意義，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)的研究，而且對(duì)于處理其他問(wèn)題也有非常重要的意義.

其次，坐標(biāo)法的深層意義在于它為幾何問(wèn)題的解決提供了新的普遍方法.幾何學(xué)一直以演繹性、邏輯性強(qiáng)而著稱，許多幾何問(wèn)題如果運(yùn)用綜合幾何的方法證明，其所需的思維的靈巧、推理的嚴(yán)密令人生畏，望而卻步，且有一定的困難，而一旦運(yùn)用坐標(biāo)法，再結(jié)合幾何直觀，很多幾何難題就變得平淡無(wú)奇，非常簡(jiǎn)單.例如，用坐標(biāo)法證明三角形、平行四邊形的性質(zhì)，證明與圓相關(guān)的一些命題等，而有些幾何曲線，例如旋輪線、對(duì)數(shù)曲線、對(duì)數(shù)螺線……如果不用坐標(biāo)法，我們甚至根本無(wú)法知道該如何去研究它們的性質(zhì).其中最主要的原因是坐標(biāo)法用代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性替代了幾何方法中思維的復(fù)雜性、靈活性，且有固定的程序和運(yùn)算方法可循.

我們不妨舉個(gè)初中平面幾何的例子，讓大家體會(huì)一下坐標(biāo)法的力量.

例求證：平行四邊形四邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和.

本命題也是初中平面幾何的重要命題，其證明方法較多，隨著我們所學(xué)知識(shí)的增多和研究的深入，我們發(fā)現(xiàn)有很多優(yōu)秀的解法，考慮到同學(xué)們目前所掌握的知識(shí)，我們選取其中的兩種，即分別從幾何法、坐標(biāo)法的角度來(lái)證明這個(gè)命題.

分析 本題關(guān)鍵是如何表示平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)，考慮到初中學(xué)過(guò)勾股定理，我們不妨通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)計(jì)算對(duì)角線的長(zhǎng)，

解法一 （幾何法）如圖1，不妨設(shè)ABCD是任意一個(gè)平行四邊形，

分別過(guò)點(diǎn)D，C作邊AB及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

在Rt△DEB中，DB²=DE²+EB²，在Rt△DEA中，AD²=DE²+AE²，

則BD²=DE²+EB²=DA²-AE²+（AB-AE）²=DA²+AB²-2AB·AE. （1）

同理可得，AC²=AF²+CF²=（AB+BF）²+BC²-BF²=AB²+BC²+2AB·BF. （2）

又可證△ADE≌△BCF，則AE=BF，

（1）+（2）可得：AC²+BD²=AB²+BC²+2AB·BF+DA²+AB²-2AB.AE=AB²+BC²+DA²+AB². （3）endprint

又平行四邊形中，AB=CD，

則（3）即可變?yōu)椋篈C2+ BD2一AB2+BC2+CD2 +DA2.

即“平行四邊形四邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和”成立，

解法二 （坐標(biāo)法）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別為（b，O），（a，c），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+b，c）.

則AC²+BD²=a²+b²+C²+2ab+a²+b²+C²-2ab=b²+（a²+c²）+b²+（a²+c²）.

而AB²+BC²+CD²+DA²=b²+（a²+C²）+b²+（a²+C²），

所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

即“平行四邊形四邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和”成立.

大家可以比較一下上述的兩種解法，坐標(biāo)法簡(jiǎn)單直接，顯然優(yōu)于幾何法.隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)用坐標(biāo)法處理很多幾何問(wèn)題時(shí)優(yōu)勢(shì)更明顯.

三、關(guān)于高中解析幾何

高中的解析幾何是在創(chuàng)建平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)法為核心，以空間形式為研究對(duì)象，用代數(shù)方法來(lái)研究平面幾何圖形的數(shù)學(xué)分支.課程體系是依“直線與方程一圓與方程 網(wǎng)錐曲線與方程極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為順序，螺旋上升、循序漸進(jìn)地展開內(nèi)容，這些內(nèi)容是初中平面幾何學(xué)習(xí)的繼續(xù)、內(nèi)容的擴(kuò)充、方法的提升，是初等代數(shù)演繹的載體、應(yīng)用的平臺(tái)，是學(xué)生升人大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)空間解析幾何、線性代數(shù)和微積分的基礎(chǔ)，是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁.因此，高中解析幾何課程在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中占據(jù)著非常重要的地位，高中學(xué)習(xí)解析幾何最重要的是理解、掌握坐標(biāo)法，并能運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的能力和意識(shí)，同時(shí)，也要學(xué)會(huì)用幾何的眼光處理代數(shù)問(wèn)題.

中學(xué)的解析幾何研究的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，并不足以完全表現(xiàn)坐標(biāo)法的力量，希望同學(xué)們通過(guò)解析幾何的學(xué)習(xí)，在系統(tǒng)地掌握解析幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，把所學(xué)的函數(shù)、幾何等知識(shí)融會(huì)貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái)，學(xué)會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法思想思考和處理問(wèn)題，并滲透到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，從而提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，同時(shí)也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).endprint