對立體幾何教學(xué)的幾點思考

福建省福州市閩侯第三中學(xué) 陳聲光

立體幾何是高中數(shù)學(xué)很重要的一個模塊，每年高考6道解答題中必有一道立體幾何問題，學(xué)考并重，以考促學(xué)。它主要研究空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系，著重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力等，對學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成很有幫助。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，往往抓不住重點，不能認清事物的本質(zhì)，無法形成良好的思維習(xí)慣。

結(jié)合筆者多年的教學(xué)實踐，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何存在的問題主要有以下幾個方面：

一、沒有建立立體感和空間概念

學(xué)習(xí)立體幾何，我們是從認識空間圖形開始的。首先認識的是柱體，錐體，臺體，還有球，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時候?qū)W生往往不能認清圖形的特征，對圖形概念與圖形不能恰當(dāng)?shù)貙?yīng)起來。比如在認識棱柱的時候，什么是棱柱？棱柱有哪些特征？如何判斷一個空間幾何體是否為棱柱？棱柱與其他空間圖形（比如棱臺）的區(qū)別是什么？只有通過不斷辨析對比設(shè)疑等，才能加深我們對問題的認識，才能形成正確的判斷。當(dāng)然在講授新課的時候，為了幫助學(xué)生更好地感知什么是棱柱，我們要給學(xué)生實物模型，讓他們對棱柱產(chǎn)生直觀印象，在此基礎(chǔ)上再具體分析其中的數(shù)量關(guān)系。好的開始是成功的一半，認識清楚了簡單的空間幾何體，才能為后面學(xué)習(xí)的三視圖、直觀圖，以及點線面之間的位置關(guān)系等打下堅實的基礎(chǔ)。

二、對公理與定理內(nèi)容一知半解，不能融會貫通

研究點線面之間的位置關(guān)系，是從三個公理開始的，由此有了一系列的判定定理與性質(zhì)定理。比如在證明線面垂直的問題上，怎么判定一條直線與一個平面是垂直的？當(dāng)直線與平面垂直時，又有哪些性質(zhì)和結(jié)論？怎么由線面垂直推出面面垂直，又怎么由面面垂直推出線面垂直？學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的時候，要理清這些問題之間的相互聯(lián)系是比較困難的。這當(dāng)中涉及較強的邏輯關(guān)系，需要學(xué)生建立較好的推理論證能力。作為教師，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生克服這些困難顯得尤為重要。

三、表述不規(guī)范，難以達成抽象概括

主要原因是學(xué)生思路不清，知識相互混淆，沒有形成對每一個判定定理與性質(zhì)定理的感性認識?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》在立體幾何模塊說明與建議中提出，“幾何教育應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過實物模型的認識，學(xué)會將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言；通過了解平行，垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言表達幾何對象的位置關(guān)系”。因此，當(dāng)學(xué)生積累了一定的感性認識后，就應(yīng)不失時機地引導(dǎo)他們進行抽象、概括，讓學(xué)生自己動手畫圖和用數(shù)學(xué)語言進行描述。

既然學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遇到這些困難，那么我們應(yīng)該怎樣幫助學(xué)生克服這些困難，取得學(xué)習(xí)上的進步呢？以下是筆者在教學(xué)實踐中積累的幾點思考：

1.建立空間概念，強化空間思維能力

從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。建立空間觀念要做到：（1）重視看圖能力的培養(yǎng)：對于一個幾何體，可從不同的角度去觀察，可以是俯視、正視、側(cè)視，體會不同的感覺，以開拓空間視野，培養(yǎng)空間感。（2）加強畫圖能力的培養(yǎng)：掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強的立體感。（3）加強認圖能力的培養(yǎng)：對立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點、線、面的位置關(guān)系；又要從點、線、面的位置關(guān)系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實現(xiàn)這一些，可使有些問題一眼看穿。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對于建立空間觀念也是很有幫助的。

2.合理恰當(dāng)?shù)厥褂脤嵨锬Ｐ徒⑿蜗笏季S

立體幾何中的命題都是在經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證后才能被稱為定理。但我們必須承認，所有的定理只有在直覺理解，想通領(lǐng)悟的前提下才能被學(xué)生真正的接受。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說“一個數(shù)學(xué)主題只有在成為直覺上的顯然后，才算研究到家”。因此在教學(xué)中要幫助學(xué)生在生活中找出命題的原型，利用學(xué)生的生活體驗和直觀感知，使其成為“直覺上的顯然”。而實物或生活的空間(如教室)及自己制作的模具都是很好的載體。

在講授空間點線面之間的位置關(guān)系的時候要不失時機地運用各種實物模型或者規(guī)則幾何圖形來幫助學(xué)生形成直觀印象，輔助學(xué)生去理解其中的數(shù)量關(guān)系。比如，在講解線面平行、面面平行的問題時，我們就可以我們的教室為例。教室就是一個長方體，這里面的線面平行、面面平行關(guān)系，學(xué)生置身其中一看便很容易理解。因為它容易被觀察、被觸摸、被感知，所以在教學(xué)上，我們要盡量化抽象的理論為形象的思維，這樣就能貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

3.教學(xué)中注重 “轉(zhuǎn)化”思維的培養(yǎng)

解立體幾何的問題，很重要的一點是要充分運用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想。要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：（1）兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。（2）點到面的距離可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)過這點的平行與該平面的直線與平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化對應(yīng)的三棱錐的高。而面面距離同樣可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點面距離，點面距離又可轉(zhuǎn)化為點線距離。（3）面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直。

4.注重空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量的引入為處理立體幾何中的推理論證及計算問題提供了新視角，為立體幾何中的證明、計算提供了現(xiàn)成的，規(guī)范的通性通法。

雖然許多同學(xué)在解決立體幾何問題時遇到了困難，感到力不從心，甚至畏懼灰心，但只要我們明確學(xué)生存在的問題，及時調(diào)整教學(xué)策略，優(yōu)化教學(xué)思路，多與學(xué)生溝通交流，就一定能幫助學(xué)生戰(zhàn)勝困難，取得更大的進步，真正實現(xiàn)教學(xué)相長！