一類三次均勻B樣條曲線曲面

姚 興，杭后俊，李晴晴，尹天樂

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

B樣條方法不僅保留了Bezier方法的優(yōu)良性質(zhì)，而且克服了Bezier方法在形狀調(diào)節(jié)時不具有局部性的缺陷，在參數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ)上完美解決了在描述復(fù)雜形狀時遇到的連接問題，并將Bezier方法作為其一個特例。此外，B樣條方法還提供了一系列配套技術(shù)，展示了其在表示和設(shè)計自由曲線曲面時的強(qiáng)大能力[1-4]。雖然NURBS方法提供了用權(quán)因子來調(diào)節(jié)曲線曲面的形狀[5-6]，但權(quán)因子難以駕馭的特點使得一般用戶望而興嘆。而實際上，(非有理)B樣條方法對于自由曲線曲面形狀的表示、設(shè)計已經(jīng)足夠，只有在遇到二次圓錐曲線曲面等特殊情況時才考慮使用NURBS方法[7]。但同時也看到，B樣條方法也存在自身的缺陷，如只能通過移動控制點來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀[8-9]，調(diào)節(jié)手段過于單一，等等。而由于形狀參數(shù)的調(diào)整更為直觀和靈活,因而成為工程應(yīng)用中用來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀的實用方法。因此，國內(nèi)外學(xué)者普遍采用在B樣條基函數(shù)中引入形狀參數(shù)的方法[10-15]，但擴(kuò)展對象主要針對B樣條曲線，對將形狀參數(shù)引入B樣條曲面的表示以及對B樣條曲面的調(diào)節(jié)作用討論較少。

文中首先引入帶形狀參數(shù)的類三次均勻B樣條基函數(shù)，分析了其基本性質(zhì)以及形狀參數(shù)的幾何意義；其次基于該組基函數(shù)定義了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線，闡述了形狀參數(shù)對均勻B樣條曲線的調(diào)節(jié)功能；最后將形狀參數(shù)引入到均勻B樣條曲面中，詳細(xì)討論了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲面的基本性質(zhì)以及形狀參數(shù)對曲面的影響，并給出了具體實例。

1 帶形狀參數(shù)的三次均勻B樣條

稱下列分段三次函數(shù)為類三次均勻B樣條基函數(shù)：

Ni,2(u,α)=

(1)

其中，α(-1≤α≤1)為形狀參數(shù)；n(i=0,1,…,n)為控制頂點下標(biāo)上限。

不難看出，類二次均勻B樣條基函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：

(2)局部支撐性：當(dāng)-1≤α≤1,i≤u≤i+3時，Ni,2(u,α)≥0。

(3)Ni,2(u,α)=Ni-j,2(u-j,α),j=0,1,…,i。即類三次均勻B樣條在定義域內(nèi)的各個節(jié)點區(qū)間上都具有相同的形狀，且任一節(jié)點區(qū)間上的類三次均勻B樣條都可以由另一節(jié)點區(qū)間上的類二次均勻B樣條經(jīng)過平移得到，如圖1所示。其中α取0.25和-0.25

圖1 類三次均勻B樣條的平移特性

分別對應(yīng)實線和虛線。

(4)當(dāng)α=0時，即退化為二次均勻B樣條。

Ni,2(u)=

(2)

形狀參數(shù)α對樣條形狀的影響如圖2所示。其中α取0,0.5和-0.5分別對應(yīng)實曲線、長虛線和點畫線?？梢钥吹剑?dāng)α越小，樣條形狀越向左偏，當(dāng)α越大，樣條形狀越向右偏。

圖2 α對樣條形狀的影響

2 類三次均勻B樣條曲線

稱曲線Ci(u,α)為類三次均勻B樣條曲線。

3,…,n

(3)

其中，di(i=0,1,…,n)為控制點；-1≤α≤1為形狀參數(shù)。

而實際上，只需作參數(shù)變換t=u-i，Ni-2,2(u,α),Ni-1,2(u,α),Ni,2(u,α)就可以改寫成如下用局部參數(shù)的表示形式：

(4)

上述B樣條曲線的方程可以表示成如下形式：

Ci(t,α)=di-2B0,2(t,α)+di-1,2B1,2(t,α)+

t∈[0,1];i=2,3,…,n

(5)

類三次均勻B樣條曲線具有如下性質(zhì)：

圖3表示參數(shù)α對曲線Ci(u,α)的影響。

圖3 參數(shù)α對曲線形狀的影響

i=2,3,4

(6)

其中，α取0,0.35和-0.35分別對應(yīng)實線、長虛線和短虛線。

不難發(fā)現(xiàn)，在每一節(jié)點區(qū)間上，當(dāng)λ越小，曲線越被拉向控制二邊形的第一條邊；當(dāng)λ越大，曲線越被拉向控制二邊形的最后一條邊。

圖4為用形狀參數(shù)表示的均勻B樣條曲線形成的一組封閉圖形。

圖4 類二次均勻B樣條曲線形成的封閉圖形

3 類3×3次均勻B樣條曲面

稱如下分片表示的曲面為類3×3次均勻B樣條曲面。

u∈[k,k+1],k=2,3,…,m,

v∈[l,l+1],l=2,3,…,n

(7)

其中，dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)為控制點；-1≤α,β≤1為形狀參數(shù)。

同樣，采用局部參數(shù)t,s可以表示為如下形式：

l=2,3,…,n

(8)

其中

(9)

(10)

分別取t=0,s=0；t=0，s=1；t=1，s=0；t=1;s=1時，可得曲面片Ckl(t,s,α,β)四個角點的位置。

(11)

α)(2+β)dk-1,l-1+(2-α)(2-

β)dk-1,l]

(12)

(13)

α)(2+β)dk,l-1+(2-α)(2-

β)dk,l]

(14)

可以將角點Ckl(0,0,α,β)寫成如下形式：

(15)

其余角點類似。圖5為曲面片角點的形成過程。

圖5 曲面片角點的位置

特別地，分別取k=2,l=2;k=2,l=n;k=m,l=2;k=m,l=n，可得曲面四個角點的位置。

β)d10+(2-α)(2-β)d11]

(16)

β)d1,n-1+(2-α)(2-β)d1,n]

(17)

(18)

(2+α)(2-β)dm-1,n+(2-

α)(2+β)dm,n-1+(2-α)(2-

β)dm,n]

(19)

(20)

其中t,s∈[0,1],k=2,3,…,m,l=2,3,…,n

可以求出

(21)

(22)

(23)

同理

(24)

上述結(jié)果說明，類3×3次均勻B樣條曲面沿等參數(shù)曲線跨界G1的。

圖6表示參數(shù)α，β對曲面形狀的影響。左圖是α=0.5，β=-0.5時的曲面，右圖是α=-0.5，β=0時的曲面。可以看出，在不改變控制點的情況下，通過改變參數(shù)α，β的值可達(dá)到對曲面形狀的調(diào)節(jié)作用。

圖6 參數(shù)α，β對曲面形狀的影響

4 結(jié)束語

通過定義帶形狀參數(shù)的類三次均勻B樣條基函數(shù)，進(jìn)而定義類三次均勻B樣條曲線與3×3次均勻B樣條曲面，不僅保留均勻B樣條曲線曲面的原有特點，而且為形狀調(diào)節(jié)增加了額外的手段。由于形狀參數(shù)的直觀易操作，已成為工程應(yīng)用中設(shè)計人員用來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀的實用方法。事實上，對于準(zhǔn)均勻B樣條曲線曲面以及工程中應(yīng)用更為廣泛的兩端固支的B樣條曲線曲面，也可以尋求相似的擴(kuò)展方法，使其更加適合工程應(yīng)用。而更為重要的是，文中方法對于研究非均勻B樣條曲線曲面的擴(kuò)展具有一定的借鑒作用，這將是下一步的主要研究工作。

[1] FARIN G.Curves and surfaces for CAGD[M].5th ed.[s.l.]:Academic Press,2002.

[2] 施法中.計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M].修訂版.北京:高等教育出版社,2013.

[3] 李林峰,馬 蕾.三次均勻B樣條在工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃中的應(yīng)用研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2013,13(13):3621-3625.

[4] AGOSTON M K. Computer graphics and geometric modeling[M].[s.l.]:Springer,2005.

[5] PIEG L.Modifying of the shape of rational B_spline[J].Computer Aided Design,1989,21(8):509-518.

[6] 張國華,楊興強(qiáng),張彩明.基于權(quán)因子的NURBS曲線形狀調(diào)整[J].計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2004,16(10):1396-1400.

[7] 董 楓.船體曲面特征參數(shù)化設(shè)計技術(shù)研究[D].武漢:武漢理工大學(xué),2012.

[8] 張?zhí)l(fā),秦新強(qiáng),程東旭,等.NURBS曲面形狀修改的一種改進(jìn)算法[J].計算機(jī)輔助工程,2005,14(4):58-61.

[9] HAN Xuli.Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J].Computer Aided Geometric Design,2004,21(6):535-548.

[10] 陶淑一,吳慶標(biāo).基于約束優(yōu)化的B樣條曲線形狀修改[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2006,42(18):37-39.

[11] 謝 進(jìn),洪素珍.帶形狀參數(shù)的二次B樣條曲線[J].計算機(jī)輔助工程,2006,15(2):15-19.

[12] 陶淑一.二次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].計算機(jī)輔助工程,2008,17(2):54-56.

[13] CAO Juan,WANG Guozhao.Non-uniform B-spline curves with multiple shape parameters[J].Journal of Zhejiang University SCIENCE C:Computer & Electronics,2011,12(10):800-808.

[14] 張 成,熊 建.帶雙參數(shù)的三次均勻B樣條曲線[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,36(2):69-72.

[15] 方 玲,王旭輝.帶形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B樣條曲線[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,39(8):1148-1152.