氣味干擾下帶有避難所的食餌捕食者模型分析

申佩嫻，薛亞奎

(中北大學 理學院， 太原 030051)

根據(jù)實驗結論[10]，只有當食餌感知到捕食者散發(fā)出的氣味時才會減低其自身的繁殖率，造成種群整體數(shù)量的減少，進而影響捕食者種群的數(shù)量。假設捕食者只能捕食避難所之外的食餌，并且捕食者散發(fā)出的氣味只對避難所之外的食餌的出生率造成影響，由此考慮避難所保護食餌的數(shù)量對模型的影響：當避難所保護食餌的數(shù)量逐漸增多時，會導致捕食者可捕食的食餌數(shù)量減少。本文用r0[1-cy]+刻畫捕食者釋放的氣味對食餌出生率所造成的影響，其中把單個捕食者產生的氣味干擾看做常數(shù)c，捕食者數(shù)量用y(t)表示。當氣味干擾足夠小或捕食者種群數(shù)量足夠少時，避難所外食餌的出生率將不受捕食者氣味影響；反之，食餌出生率將為0。由此建立如下模型：

(1)

其中：x(t)表示捕食種群數(shù)量；y(t)表示食餌種群數(shù)量；r0表示食餌的自然出生率；c表示氣味對食餌出生率的干擾系數(shù)；mx(t)表示避難所保護的食餌數(shù)量；(1-m)x(t)表示能被捕食者能探測到的食餌數(shù)量；a表示食餌種群的密度制約系數(shù)；p表示捕食者的捕獲率；u表示捕食者捕獲食餌的轉化率(u

假設m<1且c足夠小，也就是說：避難所保護的食餌數(shù)量要少于食餌種群的總數(shù)量。由于氣味對食餌種群的干擾系數(shù)依賴于捕食者種群的數(shù)量，因此只有氣味干擾系數(shù)足夠小時，避難所外的食餌才可以繼續(xù)繁殖和生長。如果不滿足以上條件,捕食者種群將會滅絕。因此，系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

1 系統(tǒng)解的有界性

定理1 系統(tǒng)(2)的全部正解都是一致有界的。

證明定義一個關于解的和函數(shù)[11]z(t)=x(t)+y(t)，則

-ax2+r0x-[p(1-m)-u(1-m)]xy-d1x-d2y≤x(-ax+r0)-mind1,d2}z

(3)

所以總存在一個正數(shù)β1，使得式(3)變?yōu)?/p>

2 模型的分析

2.1 平衡點的存在性

證明顯然系統(tǒng)存在滅絕平衡點E0；若(T1)成立，即r0>d1，存在邊界平衡點E1(x1,0)。

令系統(tǒng)(2)右端為零，即

(4)

由方程組(4)的第2個方程可得

(5)

將式(5)代入方程組(4)的第1個方程,可得

(6)

2.2 平衡點的局部穩(wěn)定性

定理3 設：(T3)r0

1) 若(T3)成立，則E0局部漸近穩(wěn)定；若(T1)成立，則E0不穩(wěn)定。

2) 若(T1)、(T4)同時成立，則E1局部漸近穩(wěn)定；若(T1)、(T2)同時成立，則E1不穩(wěn)定；若(T5)成立，則E1是一個鞍結點。

3) 若(T1)、(T2)同時成立，則E2局部漸近穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(2)在滅絕平衡點E0處的Jacobian矩陣為:

系統(tǒng)在平衡點E0處的特征方程為：

λ2+(d2+d1-r0)λ+(d1-r0)d2=0

(7)

顯然，λ1=-d2是方程(7)的一個根，若(T3)成立，則方程(7)的所有根均為負，E0局部漸近穩(wěn)定；若(T1)成立，則方程(7)有一個正根，一個負根，故E0不穩(wěn)定。

隨著我國市場經濟的發(fā)展，保險商業(yè)化的趨勢不斷加強。很多地區(qū)也開始試水醫(yī)療保險的商業(yè)化。如果醫(yī)療機構違反了醫(yī)療服務合同，給患者造成了人生傷害，可以通過購買商業(yè)保險的方式分散風險?，F(xiàn)在的商業(yè)醫(yī)療保險的狀況不容樂觀，因為患者提出的高額損害賠償常常令保險公司措手不及，使得很多商業(yè)保險公司放棄了醫(yī)療保險業(yè)務。但是如果我們可以把醫(yī)療服務合同的地位法定化，約定好雙方當事人的權利和義務，這樣商業(yè)保險公司理賠的時候才會有依據(jù)，商業(yè)醫(yī)療保險也會慢慢發(fā)展起來。醫(yī)療保險制度的構建，是一個“三贏”的局面，可以分散醫(yī)療機構的經營風險，擴大商業(yè)保險公司的業(yè)務范圍，更有利于保護患者的利益。

系統(tǒng)(2)在邊界平衡點E1處的Jacobian矩陣為：

則

故若(T1)、(T4)同時成立時，E1局部漸近穩(wěn)定；若(T1)、(T2)同時成立時，E1不穩(wěn)定。

(8)

系統(tǒng)(2)在正平衡點E2處的Jacobian矩陣為：

其中：

a12=-r0cx*+r0cmx*-p(1-m)x*

a21=u(1-m)y*

a22=u(1-m)x*-d2

則：

其中：

2.3 平衡點的全局穩(wěn)定性

[r0-d1+u(1-m)]x-r0cyx(1-m)-ax2-p(1-m)xy-d2

證明令

F1(x,y)=r0mx+r0(1-cy)(1-m)x-p(1-m)xy

-ax2-d1x

F2(x,y)=u(1-m)xy-d2y

3 討論

圖1 系統(tǒng)(2)隨避難所系數(shù)m及氣味干擾系數(shù)c變化的軌線

從圖1(d)和(e)可知：隨著避難所系數(shù)m的增大，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的時間延長，食餌種群和捕食種群的數(shù)量明顯增加。從圖1(f)可以看出：當避難所系數(shù)m足夠大時，食餌數(shù)量將會大量增加，而捕食種群將趨于滅絕。因此，在一定的捕食者氣味干擾下對食餌種群加入適當?shù)谋茈y所，不僅可以增加食餌種群的數(shù)量，同時也有利于捕食種群數(shù)量的增加?？梢?，氣味干擾下對食餌種群加入避難所對捕食系統(tǒng)起著關鍵性的作用。

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