基于解題習(xí)慣和思維方法進階下的習(xí)題課變式教學(xué)
——以“桿球連接體”為例

卞志榮

(江蘇省天一中學(xué),江蘇 無錫 214101)

自從2013年江蘇高考考試說明將“不要求定量求解加速度大小不同的連接體問題”改為“加速度大小不同的連接體問題的計算僅限于兩個物體的情況”和“運動的合成與分解”變?yōu)棰蛞蠛?全省各地高三復(fù)習(xí)和?？荚嚲碇小皸U球連接體”問題頻頻出現(xiàn),大多以選擇題的壓軸題出現(xiàn),統(tǒng)計表明此類問題正確率非常低. 筆者對作答試卷進行了統(tǒng)計分析并多次與學(xué)生進行交流得知其中奧妙,客觀上來說“桿球連接體”的疑難在于“桿”:第一,桿的彈力可能沿桿,也可能不沿著桿;第二,桿的彈力可能做功,也可能不做功;第三,桿所連接的兩物體的線速度、角速度和加速度相關(guān)聯(lián)且大小可能相同,也可能不同;第四,“桿球連接體”的運動多為非勻變速運動,與功、能量轉(zhuǎn)化和守恒緊密聯(lián)系;第五,研究對象和研究過程較多,對分析問題和綜合應(yīng)用能力要求比較高.除此而外,學(xué)生的心理素質(zhì)、解題習(xí)慣和方法的遷移甚至包括教師習(xí)題講評的方法都嚴重影響了學(xué)生正確作答進程.例如有學(xué)生說:一見到這類問題,心理急劇變化,有點發(fā)慌,顯得不耐煩,甚至想放棄;解選擇題就是“跟著感覺走”一看“大概”“差不多”就行;解題時基本上不畫受力圖,不進行運動過程分析,那樣太煩,時間也來不及;好多教師都這樣說,難的選擇題就選一個答案,甚至可以放棄;教師講評時只講怎么解,從來不講為什么這么想,造成我們聽聽都懂,做做都不會等.基于上述原因,筆者認為高三復(fù)習(xí)時仍然要注重學(xué)生解題習(xí)慣的養(yǎng)成和思維方法的形成,通過變式教學(xué)進行方法的提煉,而不是追逐題量,講評時應(yīng)重點放在怎么分析而不是怎么解答.筆者就“桿球連接體”問題的變式教學(xué)做一點探索,供大家參考.

1 球在斜面與平面上自由滑動

圖1

例題1.如圖1所示,在傾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有兩個質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點的小球A和B,兩球之間用一根長L=0.2 m的輕桿相連,小球B距水平面的高度h=0.1 m.兩球從靜止開始下滑到光滑地面上,不計球與地面碰撞時的機械能損失,g取10 m/s2.則下列說法中正確的是

(A) 下滑的整個過程中A球機械能守恒.

(B) 下滑的整個過程中兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒.

(C) 兩球在光滑水平面上運動時的速度大小為2 m/s.

(D) 系統(tǒng)下滑的整個過程中B球機械能的增加量為2/3 J.

引導(dǎo)分析:此題學(xué)生比較容易想到從能量角度來分析,但讓學(xué)生講又說不清,道不明,此時教師的智慧在于提出系列驅(qū)動性問題,引導(dǎo)學(xué)生積極思考并自主進行方法突破,同時滲透解題習(xí)慣的培養(yǎng).

問題1. 小球A和B都在光滑斜面上下滑的過程中,A球機械能守恒嗎?

問題2. 小球A和B都在光滑水平地面上滑動的過程中,A球機械能守恒嗎?

問題3. 下滑的整個過程中A球機械能守恒嗎?

問題4. 小球A和B從靜止開始一起下滑到水平面的過程中機械能守恒嗎?

圖2

討論結(jié)果:A、B兩球都在光滑斜面或水平面上滑動的過程,可以用假設(shè)法判斷桿中彈力為0,A球機械能守恒,若A球在斜面上下滑,B球在水平地面上滑動的過程中,桿的彈力不為0,且桿的彈力對A球做負功、對B球做正功,故單獨對A或B來說,此過程機械能不守恒.判斷方法等同于圖2所示的常規(guī)題中輕桿對A、B球的做功情況,結(jié)論如出一轍,都是桿對下面的球做正功.

解題指導(dǎo):第一,力學(xué)選擇題的作答同樣需要受力分析和運動過程分析,這是一種習(xí)慣,切不可跟著感覺來個“大概”“差不多”;第二,對平時所學(xué)思維方法如本題中的“假設(shè)法”“類比法”“整體法”等要善于歸納總結(jié),做到準確遷移,靈活應(yīng)用,再難的問題也會迎刃而解,技高才能膽大.

2 球被限制在豎直軌道上運動

圖3

例題2.如圖3所示,滑塊A、B的質(zhì)量均為m,A套在固定豎直桿上,A、B通過轉(zhuǎn)軸用長度為L的剛性輕桿連接,B放在水平面上并靠著豎直桿,A、B均靜止.由于微小的擾動,B開始沿水平面向右運動.不計一切摩擦,滑塊A、B可視為質(zhì)點.在A下滑的過程中,下列說法中正確的是

(A)A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒.

(B) 在A落地之前輕桿對B一直做正功.

(D)當A的機械能最小時,B對水平面的壓力大小為mg.

圖4

變式.如圖4所示,A、B兩小球用輕桿連接,豎直放置．由于微小的擾動,A球沿豎直光滑槽運動,B球沿水平光滑槽運動.則在A球到達底端前

(A)A球做勻加速直線運動.

(B) 輕桿對A球做負功,對B球做正功.

(C)A球到達豎直槽底部時B球的速度為0.

(D)A球的機械能最小時輕桿對B球的作用力為0.

3 球被限制在光滑圓形軌道上運動

圖5

例題3.如圖5所示,半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi),O是圓心,虛線OC水平,D是圓環(huán)最低點.兩個質(zhì)量均為m的小球A、B套在圓環(huán)上,兩球之間用輕桿相連,從圖示位置由靜止釋放,則

(A)B球運動至最低點D時,A、B系統(tǒng)重力勢能最小.

(B)A、B系統(tǒng)在運動過程中機械能守恒.

(C)A球從C點運動至D點過程中受到的合外力做正功.

(D) 當桿水平時,A、B球速度達到最大.

分析:對(A)選項的判斷可以用極值法:重力勢能的大小就看重心位置的高低,當桿子處于水平時,A、B系統(tǒng)重心最低,兩者的重力勢能最小,故(A)選項錯誤;對(B)選項的判斷可以用整體法:以A、B整體為研究對象,桿對A、B的作用力是內(nèi)力,環(huán)對球的彈力始終不做功,只有重力做功,所以A、B系統(tǒng)在運動過程中機械能守恒,故(B)選項正確;當A運動到B開始的位置即桿處于水平時,系統(tǒng)重力勢能最小,動能最大,所以球A由C運動到D的過程中,動能先增大后減小,以A球為研究對象,由動能定理可知,合外力對其先做正功后做負功,且正負功數(shù)值相等,故(C)選項錯誤;由(A)選項和(B)選項可知(D)選項正確.

4 球限制在直線與圓形組合軌道上運動

圖6

例題4.光滑的長軌道形狀如圖6所示,其底部為半圓形,半徑為R,固定在豎直平面內(nèi).A、B為兩質(zhì)量相同的小環(huán),用長為R的輕桿連接在一起,套在軌道上.將A、B兩環(huán)從圖示位置靜止釋放,A環(huán)與底部相距2R.不考慮輕桿和軌道的接觸,即忽略系統(tǒng)機械能的損失.

(1) 求A、B兩環(huán)都未進入半圓形軌道前,桿上的作用力;

(2)A環(huán)到達最低點時,兩環(huán)的速度大小分別為多少?

(3) 在A環(huán)下滑至軌道最低點的過程中時,桿對B所做的功WB.

分析:這一道題實質(zhì)上是桿球在豎直軌道和圓形軌道上運動的組合題;當B環(huán)在豎直軌道上而A環(huán)在圓軌道上運動過程則等同于圖1中一球在斜面上,一球在水平面上運動的問題.有了這樣的認識和前面幾個問題的討論,即使像本例這樣的難題也不成為問題.

具體分析如下: (1) 兩環(huán)都未進入半圓形軌道前可通過假設(shè)法分析桿上作用力.假設(shè)桿有作用力,不管方向如何,可以得到A、B環(huán)的加速度不同,故假設(shè)錯誤,也就是桿上的作用力為0.

圖7

(2) 當A環(huán)到達軌道最低點時,B環(huán)也已進入半圓軌道(如圖7所示),關(guān)鍵是能分析出此時A、B環(huán)的速度大小相等:因為在圓環(huán)里桿繞圓心做圓周運動,同一時刻桿上每一點的角速度相同,桿兩端的圓周運動半徑又相同,根據(jù)v=ωr,可知vA=vB,設(shè)為v,由機械能守恒定律得

解得

(3) 此問研究過程已經(jīng)確定,以B環(huán)為研究對象,當A環(huán)從起始位置到A環(huán)下滑至軌道最低點的過程中,B受重力、桿的彈力及圓軌道的支持力,支持力不做功,由動能定理得

分析:這是一道臨界問題,當A環(huán)“上升到最大高度時環(huán)的速度為0”這一臨界條件都是知道的.可是此位置在哪里是學(xué)生的難點所在,為了使學(xué)生能自主突破,可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個問題:

(1) 圓弧中最長弦是多少?它與桿的長度比較誰長?

(2) 畫出桿球運動過程中幾個典型的位置圖.

圖8

圖9

5 轉(zhuǎn)動的桿球倚靠在光滑立方體上運動

例題5.如圖10所示,在光滑的水平地面上有一個表面光滑的立方體M,一輕桿L與水平地面成α角,輕桿的下端用光滑鉸鏈連接于O點,O點固定于地面上,輕桿的上端連接著一個小球m,小球靠在立方體左側(cè),立方體右側(cè)受到水平向左推力F的作用,整個裝置處于靜止狀態(tài).若現(xiàn)在撤去水平推力F,則下列說法中正確的是

圖10

(A) 在小球和立方體分離前,若輕桿L與水平地面成β角,小球的速度大小為v1,立方體的速度大小為v2,則有v1=v2sinβ.

(B) 小球在落地的瞬間和立方體分離.

(C) 小球和立方體分離時小球只受重力.

(D) 小球和立方體分離前小球的機械能不守恒.

圖11

分析:小球繞O做圓周運動,速度垂直于棒,其兩個分運動是:隨著立方體向右運動的同時沿著立方體豎直向下運動,將小球的速度沿著水平方向和豎直方向正交分解(如圖11),得到v2=v1sinβ,故(A)選項錯誤;對于(B)、(C)、(D)選項的判斷,關(guān)鍵是小球與立方體何時分離,這是學(xué)生感到棘手的問題,其實方法很多,比如特殊位置法、極限分析法、臨界值法.

特殊位置法:以球為研究對象,開始靜止,球在水平方向速度當然為0,當桿落地時球水平速度為0,可知球在水平方向先加速后減速,桿對球的作用是先撐后拉,先做正功后做負功,分離點即為轉(zhuǎn)折點,此時桿的彈力為0.可見分離點應(yīng)在小球落地前,故(B)選項錯誤, (D)選項正確.

對于(C)選項,可以用臨界值法:兩接觸物體剛分離時彈力為0.由立方體受力可知,其加速度必為0,則小球剛分離時加速度的水平分量也為0,則桿的彈力必為0,故小球只受重力,(C)選項正確.所以本題應(yīng)選(C)、(D).

圖12

變式.在光滑的水平面上放一質(zhì)量為M、邊長為b的立方體木塊,木塊上擱有一根長L的輕質(zhì)桿,桿端固定一質(zhì)量為m的均質(zhì)小球,另一端鉸接于O如圖12所示,設(shè)桿從與水平面間夾角α1無初速度地推動木塊右滑,求桿與水平面間夾角變?yōu)棣?(α1>α2) 時木塊的速度.

6 桿球限制在電場中平直光滑槽上運動

圖13

例題6.如圖13所示,沿水平方向放置一條平直光滑槽,它垂直穿過開有小孔的兩平行薄板,板相距3.5L.槽內(nèi)有兩個質(zhì)量均為m的小球A和B,球A帶電荷量為+2q,球B帶電荷量為-3q,兩球由長為2L的輕桿相連,組成一帶電系統(tǒng).最初A和B分別靜止于左板的兩側(cè),離板的距離均為L.若視小球為質(zhì)點,不計輕桿的質(zhì)量,在兩板間加上與槽平行向右的勻強電場E后(設(shè)槽和輕桿由特殊絕緣材料制成,不影響電場的分布),求:

(1) 球B剛進入電場時,帶電系統(tǒng)的速度大小.

(2) 帶電系統(tǒng)從開始運動到速度第一次為0所需時間及球A相對右板的位置.

實際上,桿球連接體的題目遠不止上述幾道,但從以上幾道題目的分析求解應(yīng)該領(lǐng)略到,解決復(fù)雜問題不是無道可尋,也不是高不可攀,關(guān)鍵是分析問題的習(xí)慣和科學(xué)思維方法的應(yīng)用.對力學(xué)題目必須養(yǎng)成受力分析和運動過程分析的良好習(xí)慣;靈活運用如整體隔離法、臨界值法、特殊位置法,極限分析法等常用研究方法,巧妙利用物體間的速度關(guān)聯(lián)、加速度關(guān)聯(lián)、位移關(guān)聯(lián)等是技巧,問題的順利破解將不成問題.研究解決這類問題對提高分析問題和解決問題的能力,對思維方法的訓(xùn)練很有幫助.我們在高考復(fù)習(xí)時切不可陷入題海,應(yīng)該在夯實基礎(chǔ),提煉方法,發(fā)展能力上做文章才是根本,否則只能是事倍功半的低效復(fù)習(xí).