基于3D Curvelet變換的頻率域高效地震數(shù)據(jù)插值方法研究

王本鋒,陸文凱,陳小宏,王志凱

(1.同濟(jì)大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院,上海200092;2.清華大學(xué)自動化系,智能技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100084;3.中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京102249)

地震數(shù)據(jù)采集中,受障礙物、禁采區(qū)、海上拖纜羽狀漂移以及經(jīng)濟(jì)因素的制約,觀測的地震數(shù)據(jù)往往在空間方向具有不規(guī)則性,影響了后續(xù)自由表面多次波壓制(SRME)、全波形反演以及逆時偏移成像精度。另外,處理階段對廢炮、廢道的剔除也是造成數(shù)據(jù)不規(guī)則的重要因素之一。為了提高地震數(shù)據(jù)的橫向連續(xù)性,進(jìn)而提高后續(xù)多道處理以及精細(xì)油氣藏描述的精度,有必要進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的插值重建[1-7]。

地震數(shù)據(jù)插值重建方法根據(jù)實(shí)現(xiàn)方式可以分為:基于數(shù)學(xué)變換的插值方法[4-5,8-10]、基于預(yù)測濾波的插值方法[11]、基于波動方程的插值方法[12-13]以及近幾年來發(fā)展起來的基于降秩的插值方法[14-17]。其中基于數(shù)學(xué)變換的插值方法相對簡單且容易實(shí)現(xiàn),隨著壓縮感知理論的發(fā)展得到了廣泛應(yīng)用。常用的稀疏變換包括Fourier變換、Curvelet變換、Dreamlet變換以及Seislet變換等[18-22]。其中Curvelet變換是一種新興的稀疏變換,其相對于小波變換增加了角度的信息,更加適用于曲線奇異性的表征,在地震數(shù)據(jù)插值重建以及去噪處理中得到了廣泛的應(yīng)用?；谙∈枳儞Q建立目標(biāo)泛函,借助優(yōu)化方法求解泛函,最終得到插值重建結(jié)果。在眾多優(yōu)化求解方法中,最流行的是凸集投影方法(projection onto convex sets,POCS),因?yàn)樗哂腥菀桌斫?、方便?shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。POCS方法實(shí)際上是一種兩步法:首先利用迭代硬閾值方法得到變換域的解,再將其投影到觀測平面上[9-10,23]。由于Curvelet變換的冗余度較大(當(dāng)最細(xì)尺度為Curvelet時,2D Curvelet變換的冗余度為8～10,3D Curvelet變換的冗余度為24～32)[22],計(jì)算效率較低,因此目前僅在2D地震資料處理中得到應(yīng)用。張華等[24]及王本鋒等[1]采用2D Curvelet變換對每一時間切片或頻率切片進(jìn)行插值,最終實(shí)現(xiàn)了3D地震數(shù)據(jù)的插值重建,但是該方法沒有利用時間或頻率的連續(xù)性約束?；?D Curvelet變換的插值重建方法可以充分利用3D數(shù)據(jù)各個方向的連續(xù)性約束,但是計(jì)算量較大,必須有效提高計(jì)算效率?；诘卣鹦盘栴l譜的共軛對稱性,僅對有效頻率數(shù)據(jù)體進(jìn)行插值重建,計(jì)算效率可提高一倍以上[5]。實(shí)際上,影響插值重建計(jì)算效率的因素很多,例如稀疏變換種類[4,25-26]、插值重建方法[27]、迭代誤差設(shè)計(jì)[23]以及數(shù)據(jù)體的合理表征[5]等。本文主要關(guān)注數(shù)據(jù)體的合理表征,采用規(guī)模較小的數(shù)據(jù)體表征原數(shù)據(jù),通過對規(guī)模較小的數(shù)據(jù)體進(jìn)行插值重建,有效提高插值重建的計(jì)算效率。

1 方法原理

1.1 3D Curvelet變換

3D Curvelet變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[22]:

(1)

1.2 3D地震數(shù)據(jù)插值重建方法

不規(guī)則數(shù)據(jù)體與規(guī)則完整數(shù)據(jù)體的關(guān)系可由公式(2)近似表征:

(2)

式中:dobs為觀測的3D不規(guī)則數(shù)據(jù)體,R為設(shè)計(jì)的采樣算子,d0為規(guī)則的完整3D數(shù)據(jù)體。地震數(shù)據(jù)插值重建的目的是從觀測數(shù)據(jù)以及采樣算子中恢復(fù)規(guī)則完整數(shù)據(jù)體。受觀測數(shù)據(jù)頻帶有限等因素的影響,方程(2)的求解是不適定的?？紤]到完整數(shù)據(jù)體d0在Curvelet變換域的稀疏性,基于壓縮感知理論,采用稀疏促進(jìn)策略,構(gòu)建目標(biāo)泛函Φ(·)如下:

(3)

式中:C為3D Curvelet變換,CT為3D Curvelet逆變換;λ為正則化因子,用以權(quán)衡擬合殘差以及Curvelet系數(shù)稀疏性。公式(3)可由POCS優(yōu)化方法[4,5,8-10]迭代求解:

(4)

式中:dk是第k步的更新解;I為與采樣算子R同維數(shù)的單位矩陣;Tλk是硬閾值函數(shù)[28-29],λk是閾值,可由改進(jìn)的指數(shù)閾值模型[1]確定。

(5)

式中:λmax,λmin為設(shè)置的最大、最小閾值;N為最大迭代次數(shù);k為當(dāng)前迭代次數(shù)?；诘?4),迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定最大迭代次數(shù)后,便可以得到插值重建后的地震數(shù)據(jù)。

由于觀測的地震信號為時間信號,對時間信號進(jìn)行一維Fourier變換得到的頻譜具有共軛對稱性質(zhì),因此負(fù)頻率成分可以由正頻率成分進(jìn)行精確估計(jì)。此外,由于觀測信號的頻帶有限,利用有效頻帶內(nèi)的頻率成分即可對原始信號進(jìn)行高精度的表征。該策略已在2D地震數(shù)據(jù)的插值重建中得到應(yīng)用[5],本文將該策略推廣應(yīng)用到3D地震數(shù)據(jù)的插值重建中。

(6)

(7)

2 數(shù)值算例

2.1 模擬數(shù)據(jù)

用模擬得到的3D數(shù)據(jù)對上述方法進(jìn)行了測試,該數(shù)據(jù)共有128炮,每炮128道,每道128個時間采樣點(diǎn);炮間距以及道間距均為24m,時間采樣率為8ms。圖1a為某一固定排列的三維數(shù)據(jù)體的平面展示(圖中①為等時間切片,②為共炮點(diǎn)道集,③為共檢

波點(diǎn)道集),其隨機(jī)缺失50%的地震道集如圖1b所示,可以看出,地震數(shù)據(jù)的橫向連續(xù)性遭到破壞,這將影響后續(xù)多道處理的精度。

對不規(guī)則缺失數(shù)據(jù)體進(jìn)行頻譜分析后,選取最大有效頻率為奈奎斯特頻率,即fmax=fN=62.5Hz,利用本文提出的有效頻率域POCS方法以及常用的時間域POCS方法對不規(guī)則數(shù)據(jù)體進(jìn)行插值重建。設(shè)最大迭代次數(shù)為50,重建結(jié)果以及重構(gòu)誤差如圖2所示。由圖2a和圖2c可以看出,兩種方法均可以對缺失地震數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的重建,且重構(gòu)誤差(圖2b,圖2d)在允許的誤差范圍內(nèi)。通過重構(gòu)信噪比進(jìn)一步比較了兩種方法的異同。圖3為兩種方法重構(gòu)信噪比曲線,可見隨著迭代次數(shù)的增加,兩種方法均趨于收斂,收斂時的信噪比分別為24.0dB和26.3dB,有效頻率域POCS方法精度略低。將重建后的有效頻率數(shù)據(jù)體轉(zhuǎn)換到時間域,最終的重構(gòu)信噪比為22.1dB。有效頻率域POCS方法的精度相對時間域POCS方法的精度稍低的原因之一是時間采樣率較大,當(dāng)時間采樣率較小時,有效頻率域POCS方法與時間域POCS方法的精度相當(dāng),甚至略好[5],具體的影響因素及其量化分析留作后續(xù)研究。在計(jì)算效率上,時間域POCS方法所用時間為2918s,有效頻率域POCS方法所用時間為1512s,計(jì)算效率提高近一倍,驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖1 模擬數(shù)據(jù)a 完整數(shù)據(jù)體; b 不規(guī)則缺失數(shù)據(jù)體(缺失50%)

2.2 實(shí)際地震數(shù)據(jù)

從實(shí)際海洋拖纜數(shù)據(jù)中截取一小塊3D數(shù)據(jù)體對本文方法的有效性進(jìn)行了測試。該數(shù)據(jù)體共120炮,每炮120道,每道151個時間采樣點(diǎn);炮間距及道間距均為25m,時間采樣率為8ms。圖4a為該數(shù)據(jù)體平面展示圖(圖中①為等時間切片,②為共炮點(diǎn)道集,③為共檢波點(diǎn)道集),其隨機(jī)缺失50%的地震道集如圖4b所示,可以看出,缺失后地震數(shù)據(jù)的橫向連續(xù)性變差。

圖2 模擬數(shù)據(jù)測試結(jié)果a,b 有效頻率域POCS方法重建結(jié)果及重構(gòu)誤差; c,d 時間域POCS方法重建結(jié)果及重構(gòu)誤差

圖3 模擬算例重構(gòu)信噪比曲線

對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析,根據(jù)有效頻帶分布范圍,選擇fmax=fN=62.5Hz,利用本文提出的有效頻率域POCS方法及時間域POCS方法對圖4b中不規(guī)則數(shù)據(jù)體進(jìn)行插值重建,最大迭代次數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置為50。圖5a為本文方法重建結(jié)果,圖5b為時間域POCS方法重建結(jié)果,兩種方法重建結(jié)果與完整數(shù)據(jù)體的一致性均較好。圖6展示了兩種方法重構(gòu)信噪比曲線,可見隨著迭代次數(shù)的增加,兩種方法均趨于收斂。將重建后的有效頻率數(shù)據(jù)體轉(zhuǎn)換到時間域,最終的重構(gòu)信噪比為17.0dB,與時間域方法的重構(gòu)信噪比17.3dB相近。但是,有效頻率域POCS方法所用時間為1719s,時間域POCS方法所用時間為3396s,即有效頻率域POCS方法的計(jì)算效率相對時間域POCS方法提高了近一倍,與理論分析結(jié)果一致,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的有效性。當(dāng)減小最大有效頻率時,得到的有效頻率數(shù)據(jù)體規(guī)模將減小,可以提高插值重建的計(jì)算效率,但是以犧牲插值重建精度為代價,具體的量化分析將留作后續(xù)研究。

圖4 實(shí)際資料a 完整數(shù)據(jù)體; b 不規(guī)則缺失數(shù)據(jù)體(缺失50%)

圖5 實(shí)際資料重建結(jié)果a 有效頻率域POCS方法; b 時間域POCS方法

圖6 實(shí)際資料重構(gòu)信噪比曲線

3 結(jié)論與認(rèn)識

本文基于3D Curvelet稀疏變換,利用頻率域地震數(shù)據(jù)的共軛對稱性質(zhì),得到規(guī)模減半的有效頻率數(shù)據(jù)體,應(yīng)用凸集投影(POCS)方法,研究了高效的3D地震數(shù)據(jù)插值重建方法。研究結(jié)果表明:有效頻率域POCS方法是一種有效的插值重建手段;對規(guī)模減半的有效頻率數(shù)據(jù)體進(jìn)行插值重建,能在保證插值精度的同時,提高約一倍的計(jì)算效率。

本文僅僅圍繞地震數(shù)據(jù)插值重建問題展開研究,關(guān)于插值去噪一體化以及考慮衰減信息的插值重建,將是我們下一步的研究計(jì)劃。由于Curvelet變換的計(jì)算效率較低,因此高效的稀疏變換以及稀疏字典的研究是我們另一個研究方向。

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