數(shù)學(xué)課堂的靈魂：培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科精神

蔣曉云

【摘要】本文闡述數(shù)學(xué)課堂的靈魂是培養(yǎng)求真、理性精神，論述教師在教學(xué)中啟蒙和培養(yǎng)學(xué)生的理性精神的途徑，提出給學(xué)生“說理”，用理性的力量去震撼學(xué)生，讓學(xué)生用理性的思維去思考問題，用理性的精神激勵學(xué)生的做法，讓學(xué)生的思維從“顯然正確，不用驗(yàn)證”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺缟欣硇?，?shù)學(xué)證明”。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂靈魂 理性思維 理性精神

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）11A-0034-04

一、數(shù)學(xué)課堂的靈魂

2005年3月初，姜伯駒院士在全國政協(xié)會議上的提案對數(shù)學(xué)課改提出了尖銳的意見：中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)淡化了數(shù)學(xué)中的邏輯推理、理性思維，代之以“貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，使生活和數(shù)學(xué)融為一體”;一些很基本的結(jié)論不要求說理，有的教材就代之以“合情推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律”，讓學(xué)生用測量、計(jì)算等方法進(jìn)行驗(yàn)證，甚至連很多教師也不會說理了，“數(shù)學(xué)”很難培養(yǎng)學(xué)生分析問題與邏輯推理等方面的能力，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力;教育的效果是滯后的，當(dāng)這一代中小學(xué)生長大成人后理性思維能力不強(qiáng)，就悔之晚矣。他還特別強(qiáng)調(diào)：不鼓勵學(xué)生問為什么，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。

數(shù)學(xué)課堂的靈魂就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科精神。數(shù)學(xué)學(xué)科的“科學(xué)精神”是什么？筆者給出的答案是：求真、理性。

求真精神是一種“推演的精神、邏輯的精神”，是一種理性精神。僅靠幾條公理推導(dǎo)出幾百個結(jié)論的《幾何原本》，是一部以邏輯演繹為主的經(jīng)典著作，影響西方理性文明長達(dá)兩千多年，并且其影響力還將絲毫不減地持續(xù)下去。它使人們了解到理性的力量，正如愛因斯坦曾贊嘆道：“數(shù)學(xué)推理的這種可贊嘆的勝利，使人類的智慧獲得了為取得以后成就所必須的信心?！?/p>

針對數(shù)學(xué)的理性精神，齊民友先生進(jìn)行了如下精辟的論述：“每個論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之以理，除邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)以外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令，還是流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎——宇宙和人類的真面目是什么？——是人類文化發(fā)展到高度的標(biāo)志。這個偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過來也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績之一?！?/p>

筆者認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂理性精神是：理性思辨，不感情用事;實(shí)事求是，不盲從權(quán)威;尊重?cái)?shù)據(jù)，不弄虛作假;科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不隨欲而為。發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化教育功能，就應(yīng)積極地培育理性精神、演繹理性的力量。

二、理性精神的啟蒙

數(shù)學(xué)教育理性精神的啟蒙與養(yǎng)成，主要是指學(xué)生形成概念、判斷、推理等數(shù)學(xué)思維形式和利用這些思維形式對現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行思考的能力。克萊因曾說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，它使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的地步?！边@句話翻譯過來是說，“數(shù)學(xué)讓你做事的時候長腦子了”。

（一）數(shù)學(xué)理性讓我們識別“運(yùn)動達(dá)人”

前幾天筆者一同事在“微信運(yùn)動”“曬”行走步數(shù)，一天走了98800步。筆者看到一愣，趕緊問他：“你今天走了多少步？”他說道：“98800步，怎么啦？”筆者驚訝地問他：“你在練競走？”“不是啊?！惫P者堅(jiān)定地說：“你的步數(shù)是作弊得到的！”后來，該同事承認(rèn)他的行走步數(shù)是用軟件“刷”的，從此微信多了一個假的“運(yùn)動達(dá)人”。面對 這件事情，我們只要數(shù)學(xué)的理性思維“在線”，稍加思索就能發(fā)現(xiàn)真相。假設(shè)一個人1秒鐘能走2步，1個小時能走7200步，走夠98800步需要約14個小時，一個人要一天之內(nèi)連續(xù)走約14個小時，這真的可能做得到嗎？

除了在微信“刷”行走步數(shù)，還有人“曬”讀書數(shù)量，一年五六千本書……故事遠(yuǎn)不止這些。難道是我們?nèi)狈ΤＷR去辨別真?zhèn)螁幔坎皇堑?，只是?shù)學(xué)的理性思維常常被我們擱置在一邊。

（二）直覺有時候會誤導(dǎo)我們

在一次鄉(xiāng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)活動中，筆者與參訓(xùn)教師交流了一道題：一輛汽車從甲地開往乙地，平均速度每小時40千米;從乙地返回甲地，平均速度每小時60千米，問汽車往返甲、乙兩地的平均速度是多少。大多參訓(xùn)教師的答案是：（40+60）÷2=50（千米/小時）。

事實(shí)上，這個答案是錯誤的。平均速度=總路程÷總時間，如果甲地與乙地相距s千米，從甲地開到乙地的時間為[s40]小時，從乙地回到甲地的時間為[s60]小時，汽車往返甲乙兩地的總時間為[s40+s60]小時，總路程為2s千米，汽車往返甲、乙兩地的平均速度是：[2ss40+s60]=48（千米/小時）。這些思考過程并不復(fù)雜，但偏偏在這一刻，感性的“直覺”代替了理性的“計(jì)算”。

有些數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然在現(xiàn)實(shí)生活中沒有太大的實(shí)際用處，但它也許是“思維的體操”“理性的精神”——可以提升思維水平，培養(yǎng)理性思維，鍛煉聰明頭腦。數(shù)學(xué)能讓我們做事的時候帶著腦子。

（三）眼見未必為實(shí)

圖1展示的是流傳甚廣的“消失的正方形”：兩個13×5的多邊形都不是三角形，但是我們用肉眼觀察時會得到“將上面的三角形切成四部分之后再重新拼圖，少了一塊小正方形”的錯誤結(jié)論。

由此例我們可以感受到僅憑觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是不夠的，還需要依靠演繹推理去證明。

（四）費(fèi)馬的錯誤

1640年，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對形如 [2][2][[n]]+1的數(shù)進(jìn)行計(jì)算時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=0，1，2，3，4時對應(yīng)的數(shù)分別是3，5，17，257，65537，它們都是素?cái)?shù)。于是，他歸納出一個猜想：“所有形如 [2][2][[n]]+1（n=0，1，2，3，4……）的數(shù)都是素?cái)?shù)?！?/p>

直至近百年后的1732年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn) [2][2][[5]]+1=641×6700417不是素?cái)?shù)，從而否定了這個猜想。

事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。歸納可以為我們提出論斷的猜想提供基礎(chǔ)與依據(jù)。它是一種重要的思維方法，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一個重要方法。但我們一定要意識到：歸納推理所得的結(jié)論并不可靠。

（五）類比不靠譜

兩個人從一個高大的煙囪里爬出來，其中一人的臉上滿是煙灰，而另一人的臉卻很干凈，那么誰會洗臉呢？我們都脫口而出：“當(dāng)然是那個弄臟了臉的人！”

然而事實(shí)上，臉很干凈的那人看不到自己的臉，但他可以看到滿臉灰塵的同伴的臉。于是，他可能有這樣的推理過程。前提1（類似）：我們都是從煙囪出來的;前提2：他滿臉灰塵;結(jié)論：我也滿臉灰塵。于是臉很干凈的人去洗臉了。而滿臉煙灰的人看著沒被弄臟臉的人，會推理得出“我臉上一定也是干凈的”的結(jié)論，所以他不會去洗臉。

我們都知道類比推理的規(guī)則是：A和B既然已經(jīng)在一些方面很相似了，那么A和B在另一些方面也會很相似。類比推理是非常實(shí)用的推理，屬于合情推理，符合情理，但不一定符合邏輯，得到的結(jié)論不一定正確。我們在日常生活中，如果只用類比推理來為結(jié)論提供支持，那么這個支持的力度通常會非常弱。

類比推理，其實(shí)更多時候是起到說明的作用，讓大家更容易理解我們想表達(dá)的結(jié)論。我們可以用類比推理啟發(fā)自己的思考、向他人通俗易懂地說明自己的想法，但最好不要用類比推理來支持自己的結(jié)論。

數(shù)學(xué)的邏輯演繹推理方式和科學(xué)的實(shí)證方式是人類迄今為止所找到和掌握的最可靠的認(rèn)識論，沒有任何一種其他的認(rèn)識論的可靠性可以與此二者相提并論。在這樣一個“偽知”盛行的資訊時代，強(qiáng)調(diào)認(rèn)識方法論的可靠性有著特別的現(xiàn)實(shí)意義。因?yàn)椴唤?jīng)過可靠的方法論檢驗(yàn)，“偽知”極易乘虛而入，所以進(jìn)入我們大腦的知識，寧可少點(diǎn)，也要好點(diǎn)，更不能將“偽方法”運(yùn)用到教育中。

整個義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)教師都應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和理性精神，包括實(shí)驗(yàn)歸納、觀察歸納、類比、直覺等合情推理。但是要意識到，合情推理的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要依靠演繹推理去證明。針對演繹推理，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確要求：在第一學(xué)段和第二學(xué)段，可以逐漸滲透給學(xué)生知道，在第三學(xué)段則應(yīng)該明確地告訴學(xué)生，讓學(xué)生對此有清醒的認(rèn)識。

三、理性思維的培養(yǎng)

人們認(rèn)識宇宙、認(rèn)識人類社會都要經(jīng)歷從感性發(fā)展到理性、在實(shí)際應(yīng)用中深化的過程。任何科學(xué)知識的形成都需要積累感性經(jīng)驗(yàn)，還需要?dú)w納、提煉、概括，使之條理化、嚴(yán)密化，實(shí)現(xiàn)從感性階段到理性階段的發(fā)展。在這個過程中，數(shù)學(xué)是最強(qiáng)大的思維工具，促進(jìn)了理性精神的形成。

（一）崇尚理性進(jìn)行數(shù)學(xué)證明

2005年3月初，姜伯駒院士在全國政協(xié)會議上的提案中指出，“三角形內(nèi)角和等于180°”這樣的基本定理，只讓學(xué)生用測量、計(jì)算、拼接實(shí)驗(yàn)的方法“歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（結(jié)論）”，不說理、不證明，數(shù)學(xué)課就失去了理性的精神。反思這十多年的小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)淡化了數(shù)學(xué)中的邏輯推理及理性思維。

教師在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“三角形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容時，主要環(huán)節(jié)包含：創(chuàng)設(shè)情境、提供素材、操作驗(yàn)證、得出結(jié)論，其中的操作驗(yàn)證，分別是“量一量”“算一算”和“拼一拼”。某教師在完成了“量一量”“拼一拼”“折一折”的實(shí)驗(yàn)后總結(jié)出：我們用了這么多種方法來驗(yàn)證，現(xiàn)在完全可以肯定地說：“三角形的內(nèi)角和是180°。”

事實(shí)上，“從特殊到一般”的“歸納”并不完全、“眼見并不一定為實(shí)”的例子告訴我們：實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果不一定靠譜。合情推理得出的結(jié)論可能是對的，也可能是錯的。只用“量一量”“拼一拼”“折一折”的實(shí)驗(yàn)歸納還不能完全肯定“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°”。

因此，我們在人教版、北師大版等小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，增加了“演繹推理論證”的方法。這一學(xué)習(xí)過程初步培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理意識，啟蒙理性精神，幫助學(xué)生從理性的角度研究三角形的內(nèi)角和。

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“三角形內(nèi)角和定理”推理論證的教學(xué)安排

[對象 特殊直角

三角形 一般直角三角形 銳角三角形 鈍角

三角形 方法 測量求和 借助全等直角三角形與長方形的內(nèi)角關(guān)系 利用直角三角形的兩個銳角的和 模仿前面的做法 非直角的兩角和：30°+60°=90°

三個角的和：30°+60°+90°=180° 長方形四個內(nèi)角均為90°，其內(nèi)角和為360°且是直角三角形內(nèi)角和的2倍。因此，任意的直角三角形內(nèi)角和為：360°÷2=180°。非直角的兩角和為90° ∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2+∠C=90°+90°=180° 略 ]

（二）滲透理性思維，感受理性力量

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊《鴿巢問題》“模型化”的過程中，借助實(shí)際操作，把“4支鉛筆放到3個鉛筆盒中”，得出“總有1個筆盒里至少有2支鉛筆”的結(jié)論，這對學(xué)生來說很容易理解。但教材中“6只鴿子飛進(jìn)5個籠子，總有1個籠子里至少有2只鴿子”的結(jié)論，不能借助實(shí)際操作驗(yàn)證，學(xué)生找不到切入點(diǎn)，缺少思考的方向，感到非常困難。其實(shí)我們可以通過逆向思維思考實(shí)際問題：“假如每個籠子中的鴿子數(shù)都沒達(dá)到2只（即0只或1只），所有的籠子中最多共有多少只鴿子？”追問：“籠子中應(yīng)該共有多少只鴿子？”這樣的過程滲透“反證法”的邏輯推理規(guī)則，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。培養(yǎng)“邏輯推理”核心素養(yǎng)是課標(biāo)的要求，也是本課的編排意圖和價值取向。

（三）感受數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性

“負(fù)負(fù)得正”是一種規(guī)定，不是“證明”?！柏?fù)負(fù)得正”的教學(xué)往往是“從規(guī)定到規(guī)定”，因而顯得簡單、直接，但不夠自然。

中國雜交水稻育種專家、雜交水稻之父、中國工程院院士、首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主袁隆平在中學(xué)時，曾問他的老師“為什么‘負(fù)負(fù)得正”這個問題，老師也講不清楚，只告訴他：“記得就行了?！敝?，袁隆平經(jīng)常遇到一些老師也無法回答清楚的問題，于是他得出“數(shù)學(xué)不講道理”這一結(jié)論，從此放棄了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這個事例告訴我們，只要求學(xué)生記住“規(guī)定”是不夠的，必須讓學(xué)生感受“規(guī)定”的必要性和合理性。

為了解釋“為什么‘負(fù)負(fù)得正”這個問題，首先應(yīng)明確乘法的意義，如2×3表示3個2相加，即2+2+2=6，所以2×3=6。

在這個自然數(shù)加法和乘法運(yùn)算意義下，我們得到了加法和乘法運(yùn)算的基本性質(zhì)：加法交換律、結(jié)合律;乘法交換律，結(jié)合律;乘法對加法的分配律。

如式子（-2）×0=0的意義是很“自然”的，因?yàn)?個（-2）就是0。（-2）×3可以理解為3個（-2）相加，即（-2）+（-2）+（-2），所以（-2）×3=-6，這個運(yùn)算式子在數(shù)軸上還能直觀表示，學(xué)生理解起來沒有困難。

（-2）×（-3）又該怎樣理解呢？而根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活模型或?qū)W生已有的認(rèn)知水平是很難理解它的意義的。這時，數(shù)學(xué)面臨一個挑戰(zhàn)：如何讓學(xué)生從情感上和理性上都能接受（-2）×（-3）的意義呢？過程如下。

有學(xué)生覺得（-2）×（-3）=-6才比較合理，如果真是這樣，那么有：（-2）×（-3）+（-2）×3=（-6）+（-6）=-12? ? ? ?（*）

擴(kuò)充的“運(yùn)算規(guī)定”與原有的小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“正有理數(shù)的加法、乘法運(yùn)算的基本性質(zhì)”必須相容、和諧，意味著擴(kuò)充的“運(yùn)算規(guī)定”必須滿足加法交換律和結(jié)合律，乘法交換律和結(jié)合律以及乘法對加法的分配律等。

（-2）×（-3）+（-2）×3=（-2）+[（-3）+3]=（-2）×0 =0（**）

式子（*）和（**）矛盾，（-2）×（-3）=-6的規(guī)定與原有的運(yùn)算基本性質(zhì)不相容。

受式子（**）的啟發(fā)，（-a）×（-b）+（-a）×b=（-a）×[（-b）+b]=（-a）×0=0，從而，（-a）×（-b）與（-a）×b應(yīng)該互為相反數(shù)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感受“負(fù)負(fù)得正”規(guī)定的合理性。

學(xué)生學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”經(jīng)歷了如下過程：面對挑戰(zhàn)—提出“規(guī)定”—質(zhì)疑或感受“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗(yàn)證“規(guī)定”與原有知識是否相容—有理數(shù)的乘法運(yùn)算得到擴(kuò)充。這樣的過程，有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)如何在自身的矛盾運(yùn)動中不斷得到發(fā)展。事實(shí)上，學(xué)生借助學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”所獲得的經(jīng)驗(yàn)，不難自己嘗試對零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。

（四）明確數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，不盲從

圖2來自人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)教材，劉徽首創(chuàng)的“割圓術(shù)”方法與無限細(xì)分逐步逼近的極限思想，不僅為圓周率的計(jì)算提供了思想方法和理論依據(jù)，也對中國古代數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了很大的影響。學(xué)生通過對“割圓術(shù)”的了解，在感嘆中國數(shù)學(xué)文化博大精深的同時，也感受到數(shù)學(xué)極限思想的奇妙。

圖2

圖3來自美國小學(xué)數(shù)學(xué)課本，非常類似劉徽的“割圓術(shù)”：先畫個圓的外接正方形，然后按圖示把正方形轉(zhuǎn)化成“外圍”的多邊形，也就是正方形無限折，直到最后，正方形的周長就和圓的周長相等了。

結(jié)果求得π=4。這是怎么回事呢？在圖3中，無論怎么分解，“外圍”的多邊形的周長是不變的，即等于圓外接正方形的周長。它不能無限逼近圓的周長，這就是錯誤的本質(zhì)所在，它與割圓術(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別。

四、教育行動研究

我們通過課例研究的方式，開始了“發(fā)展理性思維，培養(yǎng)理性精神”的行動研究。將高校教師、師范生、中小學(xué)教師融入到同一個教育與研究環(huán)境中，由高校教師做專業(yè)引領(lǐng)，將高等教育的優(yōu)質(zhì)教育資源、小學(xué)一線教師豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、師范生“三新（新理念、新知識、新技術(shù)）知識”相融合，形成共同培植和發(fā)展的模式。我們已經(jīng)成功舉辦了以“文化視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課例研究”為主題的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研討和展示平臺“七星課堂”，以“關(guān)注邏輯推理，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)”為主題的“寶賢課堂”。在“七星課堂”和“寶賢課堂”這兩個教師專業(yè)發(fā)展共同體上，展示了一批課例研究成果，如小學(xué)數(shù)學(xué)《三角形內(nèi)角和》《圓內(nèi)線段直徑最長》;初中數(shù)學(xué)《三角形穩(wěn)定性的再認(rèn)識》《三角形內(nèi)角和定理的證明》等。

數(shù)學(xué)理性追求的是永恒的、確定的、可靠的知識，即數(shù)學(xué)知識的邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅教生活中的數(shù)學(xué)，更重要的是給學(xué)生“說理”，用理性的力量去震撼學(xué)生，讓學(xué)生用理性的思維去思考問題，用理性的精神激勵學(xué)生，讓學(xué)生從“顯然正確，不用驗(yàn)證”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺缟欣硇?，?shù)學(xué)證明”，在數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)歷一次思想上的飛躍。

高校教師、專家的講座，師范生與在職中小學(xué)教師同臺展示、同課異構(gòu)、討論交流，融理論、實(shí)踐于一體的教育范式，是我們這些年來的奮斗目標(biāo)。師范生與中小學(xué)教師一起在這樣的“教師專業(yè)發(fā)展共同體”受益，實(shí)現(xiàn)真正意義上的教師專業(yè)成長。

（責(zé)編 劉小瑗）