導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用

林郁松

（廣西平南縣中學(xué)，廣西 貴港）

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，他是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁和紐帶。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能夠有效解決數(shù)學(xué)問題，是證明不等式、研究函數(shù)性質(zhì)、研究函數(shù)極值最值問題、求曲線斜率和解決物理問題的有力工具?？梢越柚鷮?dǎo)數(shù)建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，解決函數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題。

導(dǎo)數(shù)教學(xué)大綱主要是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)極值最值問題進(jìn)行研究，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且知道可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得導(dǎo)數(shù)的充分必要條件，會(huì)解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題。導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)主要是充分利用導(dǎo)數(shù)這一工具解決恒成立問題，讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)轉(zhuǎn)化，分類討論的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解題能力。

下面我們可以通過一些熱身練習(xí)和典型例題了解導(dǎo)數(shù)在解決不等式恒成立中求參數(shù)取值范圍的問題以及含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論思想。

一、熱身練習(xí)

設(shè)函數(shù)f（x）=ax^3-3x+1（x屬于R），對(duì)于任意x屬于［-1，1］，都有f（x）＞=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍？

解：這里的函數(shù)是f（m），m是變量，t^2和t代表兩個(gè)常數(shù)，這是關(guān)于m的一元一次函數(shù)，m的定義域是［-1，1］。

（1）由f（-1）＞0，所以有t^2+2t＞0，t（t+2）＞0，①t＞0②t＜-2。

（2）由f（1）＞0，得t^2-2t＞0，t（t-2）＞0，①t＞2，②t＜0求（1）（2）的交集：得出 t＞2 和 t＜-2（這里寫“和”，不能寫“或”）。

二、典型例題

已知函數(shù)f（x）=-x^3+bx（b為常數(shù)）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，且方程f（x）=0的根都在［-2，2］內(nèi)，則b的取值范圍是？

第一個(gè)條件：求導(dǎo)之后，容易分析出導(dǎo)數(shù)值在（0，1）上大于等于0恒成立，利用根的分布，作出二次函數(shù)圖像列出關(guān)于不等式，再求解，求其交集。

第二個(gè)條件：講f（x）因式分解知道一個(gè)根為0（明顯在所規(guī)定的區(qū)間內(nèi)），另外兩個(gè)為正負(fù)根號(hào)b（當(dāng)B大于等于0時(shí)成立），結(jié)合第一個(gè)條件所得不等式討論：當(dāng)b大于等于0時(shí)和B小于0時(shí)，再分別與第一條件所得的含B的不等式求交集。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到恒成立問題時(shí)，學(xué)生往往有很好的技巧去解決此類問題。恒成立問題，包括換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想方法及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和性質(zhì)，恒成立問題解決能夠培養(yǎng)學(xué)生的靈活性創(chuàng)造性思維，有利于提高學(xué)生的綜合解題能力。探討導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問題中的應(yīng)用，通過恒等變形如果不能直接解除參數(shù)，那么可以將參數(shù)分離出來，構(gòu)造新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)求解。

當(dāng)0＜y＜1時(shí)；F′（Y）＞0；當(dāng)y＞1時(shí)，F(xiàn)′（y）＜0；所以F（y）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù) F（y）在 y=1處取得極大值。

因?yàn)閥≥1，所以h′（y）≥0，

所以 h（y）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以［h（y）］min=h（1）=2＞0，從而g′（y）＞0。

解題規(guī)律:要使得 F（y）≥c（或 F（y）≤c）（c 為常數(shù)）在某個(gè)區(qū)間［a，b］恒成立，先求出 F（y）在該區(qū)間上的最小值 F（y）min（或最大值 F（y）may）并且 F（y）min≥c（或 F（y）may≤c）即可解決問題。

例2.已知函數(shù)f（x）=-x+alnx。

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明

當(dāng)a≤2則f′（x）≤0當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)f′（x）=0所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

（2）由（1）知，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2。

由于f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè) x1＜x2，

則x2＞1。由于

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中以及高考試題中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)的最值、極值、不等式問題，導(dǎo)數(shù)還可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交叉處設(shè)計(jì)問題，在學(xué)生高考中占有重要地位。因此，我們必須重視導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的重要作用，作為教師要突出對(duì)于導(dǎo)數(shù)恒成立問題應(yīng)用中的探討，探索能夠有效解決數(shù)學(xué)問題的解題規(guī)律和技巧，向?qū)W生講授導(dǎo)數(shù)的獨(dú)特運(yùn)用方法，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主的解決恒成立問題。