經(jīng)歷公式推導(dǎo)過程 聚焦核心素養(yǎng)培養(yǎng)
——以“平行四邊形的面積”教學(xué)導(dǎo)入為例

福建泉州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)洛江校區(qū)（362000）

圖形面積公式的推導(dǎo)是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的重點(diǎn)內(nèi)容之一。公式是刻板的，而公式的再創(chuàng)造過程卻是鮮活、生動(dòng)、有趣的。怎樣讓學(xué)生理解平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，與斜邊無關(guān)，是“平行四邊形的面積”一課的教學(xué)難點(diǎn)。探究平行四邊形的面積計(jì)算公式是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。初次教學(xué)，筆者這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

【教學(xué)片段一】

師（出示鋪平行四邊形草坪的情境圖，引導(dǎo)學(xué)生解讀信息）：怎么求這個(gè)平行四邊形草坪的面積？

生1：底乘高。（因?yàn)樵O(shè)置了預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，所以學(xué)生能輕易回答）

師：是嗎？那為什么平行四邊形的面積大小與斜邊無關(guān)呢?

生1：……（看來生1是知其然而不知所以然）

師（出示可活動(dòng)的平行四邊形）：拉動(dòng)平行四邊形的對(duì)角，大家仔細(xì)觀察，什么不變，什么變了。（讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到底不變，斜邊不變，可高變了，面積的大小也隨之改變）

【反思】鋪草坪的情境雖來源于生活，卻不是源于學(xué)生的內(nèi)心需求。上課伊始就提出用“底乘高”計(jì)算平行四邊形面積，雖然學(xué)生已了解平行四邊形的面積計(jì)算公式，但他們還處于懵懂的記憶狀態(tài)，當(dāng)面對(duì)“平行四邊形的面積大小為什么與斜邊無關(guān)”的問題時(shí)就會(huì)手足無措，不知從何入手。接著借助可活動(dòng)的平行四邊形，拉動(dòng)平行四邊形的對(duì)角，讓學(xué)生觀察什么不變，什么變了的學(xué)習(xí)過程，從表面上看，學(xué)生似乎掌握了平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，與斜邊無關(guān)，然而這樣的設(shè)計(jì)卻無法將學(xué)生的想法展現(xiàn)出來。仔細(xì)分析，上述教學(xué)應(yīng)做如下改進(jìn)。

1.情境創(chuàng)設(shè)除關(guān)注“生活味”外更應(yīng)關(guān)注“數(shù)學(xué)味”，引發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2.問題設(shè)計(jì)應(yīng)講究開放且立意深遠(yuǎn)，避免學(xué)生沿著套路走或?qū)W(xué)生的思維逼進(jìn)死胡同。

3.應(yīng)處理好數(shù)學(xué)直觀與抽象思維的關(guān)系。

在一次教研活動(dòng)中，富有創(chuàng)新精神的周老師提出了一個(gè)全新的教學(xué)設(shè)計(jì)，并與大家分享,他設(shè)計(jì)的探索活動(dòng)很有創(chuàng)意且有研究?jī)r(jià)值，令人耳目一新。具體如下。

【教學(xué)片段二】

（課前要求學(xué)生剪一個(gè)等底等高的平行四邊形，并帶到課堂上來。課堂上，先組織學(xué)生觀察各個(gè)平行四邊形的形狀，再引導(dǎo)學(xué)生討論問題）

師：等底等高的平行四邊形的形狀為什么各不相同？

生1：因?yàn)樾边厓A斜度不同，所以平行四邊形有的胖，有的瘦。

師：比較“胖的”平行四邊形面積與“瘦的”的平行四邊形面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生小組討論、研究，很快發(fā)現(xiàn)它們的面積相等）

師：你們是怎么知道它們面積相等的？

組1：我們利用剪拼法。先把1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)平行四邊形沿底邊對(duì)齊，找出兩個(gè)圖形的重疊部分。將2號(hào)圖形與1號(hào)圖形不重疊的部分剪下，發(fā)現(xiàn)它與1號(hào)圖形的多出部分完全重合。

組2：我們的方法與組1類似，只是我們沒有剪拼，而是折出2號(hào)圖形的多出部分，再與1號(hào)圖形的多出部分重疊，也是完全重合。

……

師：看來不管斜邊如何變化，這些等底等高的平行四邊形面積都相等。平行四邊形的面積與斜邊無關(guān)，那與什么有關(guān)呢？

生2：底和高。

師：怎么計(jì)算平行四邊形的面積？

（學(xué)生嘗試剪拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，進(jìn)而求出其面積）

【反思】周老師讓學(xué)生帶來課前制作好的指定底和高的平行四邊形是點(diǎn)睛之筆。情境創(chuàng)設(shè)關(guān)注“等底等高的平行四邊形的形狀是可以不同的”。這個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)比筆者的課前預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)更有利于讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突——等底等高的平行四邊形面積一樣嗎？其次，教師通過“比較‘胖的’平行四邊形面積與‘瘦的’的平行四邊形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？”這一問題引導(dǎo)學(xué)生利用“出入相補(bǔ)”原理動(dòng)手操作探究，使學(xué)生在推導(dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)對(duì)其面積大小與斜邊無關(guān)這一關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)印象深刻。

【收獲】綜合上述兩個(gè)教學(xué)片段，筆者有了以下點(diǎn)滴收獲。

一、創(chuàng)設(shè)“裸情境”，引發(fā)認(rèn)知沖突

對(duì)比兩個(gè)情境創(chuàng)設(shè)，教學(xué)片段一創(chuàng)設(shè)鋪草坪的生活情境，抽象出求平行四邊形的面積問題。情境立足生活問題，但缺乏學(xué)生內(nèi)心需求的驅(qū)動(dòng)力，無法有效激發(fā)學(xué)生探究的欲望。教學(xué)片段二創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的直擊探究問題的“裸情境”：通過讓學(xué)生制作等底等高的平行四邊形，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突——等底等高的平行四邊形的形狀可能不同，這些平行四邊形的面積一樣嗎？這個(gè)有價(jià)值的“裸情境”，直逼數(shù)學(xué)本質(zhì)，可有效激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲望。

二、設(shè)計(jì)“大問題”，引領(lǐng)深度探究

眾所周知，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，根據(jù)長方形的面積公式可有效推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式?？扇绾卧O(shè)計(jì)才能引導(dǎo)學(xué)生深入思考核心問題，為學(xué)生繼續(xù)探究三角形、梯形、圓的面積公式奠定基礎(chǔ)呢？

教學(xué)片段一中，教師的問題設(shè)計(jì)牽引的痕跡太明顯，學(xué)生只能跟著教師的思維走。教學(xué)片段二圍繞“等底等高的平行四邊形的形狀為什么各不相同？”“怎么計(jì)算平行四邊形的面積？”問題安排學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，與教學(xué)片段一的學(xué)生活動(dòng)相比，顯然更重視動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流。教學(xué)片段二中兩個(gè)基于學(xué)生真實(shí)問題開展的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生能夠經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗(yàn)證的深度學(xué)習(xí)過程，從而積累探究經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

三、把握核心內(nèi)容，溝通整體聯(lián)系

平行四邊形的面積公式推導(dǎo)，緣于“怎樣將一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形？”。怎樣讓學(xué)生觀察平行四邊形底邊、斜邊、高的變與不變并與平行四邊形面積的變化關(guān)聯(lián)起來，產(chǎn)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的念頭，是本節(jié)課的重難點(diǎn)所在。結(jié)合兩個(gè)教學(xué)片段，筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)可這樣改進(jìn)：1.制作等底等高的平行四邊形若干個(gè)，引導(dǎo)學(xué)生比較其面積大?。?.利用方格紙觀察可活動(dòng)的平行四邊形的面積變化；3.嘗試探究計(jì)算平行四邊形的面積。

這樣的教學(xué)思路能引導(dǎo)學(xué)生溝通圖形面積知識(shí)（思維）的整體聯(lián)系。首先，驗(yàn)證等底等高的平行四邊形面積大小一樣，積累割補(bǔ)法活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。利用直觀操作解決平行四邊形面積大小與斜邊長度無關(guān)，與底和高有關(guān)的問題。接著，利用方格紙引導(dǎo)學(xué)生觀察“底邊、斜邊不變，高變化，平行四邊形的面積也隨之變化”，學(xué)生再次驗(yàn)證猜想。第三，在探究平行四邊形面積的計(jì)算方法時(shí)，有了前面割補(bǔ)法（數(shù)方格）的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生便會(huì)產(chǎn)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的念頭。這樣改進(jìn)，可讓學(xué)生利用經(jīng)驗(yàn)遷移，經(jīng)歷平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由數(shù)學(xué)直觀認(rèn)識(shí)到幾何思維發(fā)展的轉(zhuǎn)化，在圖形轉(zhuǎn)化中體會(huì)等積變換思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。