曲線(線段)掃過的圖形的面積問題

浙江省東陽市吳寧一中

王紅鳴 (郵編：638400)

陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系

趙小云 (郵編：230001)

數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)碰到一類求線段或曲線掃過的面積的問題，本文就這類問題作一較系統(tǒng)的分析與討論.

本文對(duì)線段和曲線按級(jí)命名，是基于它們所掃過的圖形面積的計(jì)算中的難易程度來決定的.

圖1 圖2 圖2-1

1 線段的旋轉(zhuǎn)

圖3 圖4 圖5

二級(jí)線段一條線段，繞著延長線上的一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，它就是一條二級(jí)線段.二級(jí)線段掃過的圖形是一個(gè)扇環(huán).圖3中線段AB就是一條二級(jí)線段，其掃過的面積為

三級(jí)線段與四級(jí)線段一條線段，繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)中心不在這條線段及其延長線上，且過旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)線段的垂線時(shí)，垂足在線段的端點(diǎn)或延長線上，那么稱這條線段為三級(jí)線段，否則，就是四級(jí)線段.

如圖4就是由三級(jí)線段AB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的圖形，其面積相當(dāng)于圖5中二級(jí)線段BC掃過的面積.

如圖6中的線段AB，對(duì)旋轉(zhuǎn)中心O來說就是四級(jí)線段，因?yàn)榇棺鉉在線段AB上.它可以看做兩段三級(jí)線段的組合，分別是AC和BC.

由于在旋轉(zhuǎn)過程中線段AB掃過的面積有重疊，所以面積的計(jì)算較復(fù)雜，現(xiàn)作以下分類說明，并對(duì)要用到的一些量作如下設(shè)定：AC、BC、OC、∠BOC=x，均為已知量，AC>BC，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為n.

圖6 圖7

1.3 但隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，又會(huì)出現(xiàn)新的重疊，如圖9，這里的計(jì)算已超出初中生的學(xué)習(xí)目標(biāo)和能力，所以在此不再多費(fèi)筆墨.

圖8 圖9

1.4 特殊的，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為360度時(shí)，AB掃過的面積與AC掃過的面積相等,是π·(OA2-OC2).

2 折線(曲線)的旋轉(zhuǎn)

一級(jí)折線(曲線)和二級(jí)折線(曲線) 一條折線(或曲線)，繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，掃過的部分不會(huì)產(chǎn)生重疊時(shí)，我們稱這條折線(或曲線)對(duì)這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心來說是一級(jí)折線(或曲線).否則就稱它為二級(jí)折線(或曲線).

同一條折線是一級(jí)折線，還是二級(jí)折線，完全取決于旋轉(zhuǎn)中心的位置.如圖10中，折線ABC是點(diǎn)O的一級(jí)折線；而圖11中，我們只是把旋轉(zhuǎn)中心移動(dòng)了一下，它就成了點(diǎn)O的二級(jí)曲線.

圖10 圖11 圖12

定理1一級(jí)折線ABC掃過的圖形面積等于三級(jí)線段CA掃過的圖形面積，又等于二級(jí)線段CA′掃過的圖形面積.如圖12，證明略.

二級(jí)曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的圖形有重疊，情況復(fù)雜，中考也不作要求，這里不討論.

3 半圓是什么類型的曲線？

3.1 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心就是這個(gè)半圓的直徑端點(diǎn)時(shí)，半圓是一級(jí)曲線.

定理2半圓弧是關(guān)于端點(diǎn)的一級(jí)曲線.(如圖13)它掃過的圖形的面積相當(dāng)于直徑(一級(jí)線段)掃過的圖形的面積(如圖14)

圖13 圖14 圖15 圖16

如圖14是它掃過的圖形，為了便于計(jì)算，將它分割成圖15，圖16是S2移到S3，最后將扇形外的弓形移到扇形內(nèi)，這就說明半圓掃過的圖形面積與一級(jí)線段AB掃過的圖形面積是相等的.

3.2 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在這個(gè)半圓的直徑延長線上時(shí)，半圓還是一級(jí)曲線.

定理3半圓弧是關(guān)于直徑延長線上的一點(diǎn)的一級(jí)曲線.它掃過的圖形的面積相當(dāng)于二級(jí)線段直徑掃過的圖形的面積.

3.3 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心不在直徑的端點(diǎn)或直徑的延長線上時(shí)，半圓是二級(jí)曲線，它在旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的圖形也較復(fù)雜，如圖18.但是我們可以將它分割成兩條一級(jí)曲線.

圖17 圖18 圖17-1

如圖17-1，設(shè)直徑AB的中點(diǎn)為E，作射線OE交半圓于點(diǎn)F，則弧AF和弧BF都是關(guān)于點(diǎn)O的一級(jí)曲線.它們掃過的圖形的面積分別可以轉(zhuǎn)化為圖19中的二級(jí)線段FH和二級(jí)線段BM掃過的面積，只要把重疊部分減掉即可.

圖19

在此圖中，由于旋轉(zhuǎn)角不大，重疊部分只是一個(gè)變形三角形，它等于扇形OFF′的面積減去扇形EFG的面積的2倍，再減去四邊形GEOE′的面積.但需要以下已知條件：①旋轉(zhuǎn)角∠BOB′=∠FOF′=n，②OB的長m，③半圓的半徑a，④弧BF所對(duì)的圓心角度數(shù)x，⑤OE的長b，⑥OA的長c.圖中∠α,可先在直角三角形OE′D中求出DE′，然后到三角形GDE′中求α，然后求出∠y.

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角變大時(shí)，與圖8、圖9四級(jí)線段旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的面積非常類似，這里不再論述.

4 結(jié)束語

(1)一級(jí)線段掃過的圖形是扇形或兩個(gè)扇形.

(2)二級(jí)線段掃過的圖形是扇環(huán).

(3)三級(jí)線段掃過的圖形可以轉(zhuǎn)化成二級(jí)線段掃過的圖形.

(4)四級(jí)線段掃過的圖形可以轉(zhuǎn)化成兩條三級(jí)線段掃過的圖形，但有重疊，其面積計(jì)算存在著較大困難，初中生不宜.

(5)一級(jí)曲線掃過的圖形可以轉(zhuǎn)化成三級(jí)線段掃過的圖形，直至二級(jí)線段掃過的圖形.

(6)二級(jí)曲線掃過的圖形可以轉(zhuǎn)化成若干條一級(jí)線段掃過的圖形，但有重疊，其面積計(jì)算存在著較大困難，初中生不宜.

(7)本文討論的只是線段或曲線掃過的圖形面積的計(jì)算，若將曲線的兩個(gè)端點(diǎn)用線段連接，出現(xiàn)一個(gè)封閉的區(qū)域，區(qū)域掃過的圖形與曲線掃過的圖形是不一樣的.