分類討論思想的應(yīng)用

文/朱廣科

分類討論可以把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題拆分成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)解決各個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而解決這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題.請(qǐng)看下面的例子.

一、方程中的分類討論

A.k=0. B．k≥-1或k≠0. C．k≥-1. D．k＞-1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有字母系數(shù)的方程，要根據(jù)字母系數(shù)的不同取值進(jìn)行討論.

二、函數(shù)中的分類討論

例2 已知二次函數(shù)y=x2－2mx（m為常數(shù)），當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為-2，則m的值是（ ）

解：y=x2－2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，當(dāng)x=-1時(shí)，y取最小值，即y=1+2m=-2，解得

②若m＞2，當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值，即y=4-4m=-2，解得

③若-1≤m≤2，當(dāng)x=m時(shí)，y取最小值，y=-m2=-2，解得

點(diǎn)評(píng)：由于不明確頂點(diǎn)橫坐標(biāo)m的取值，須根據(jù)二次函數(shù)的增減性就m的取值進(jìn)行分類討論．

三、三角形中的分類討論

圖1

圖2

解：①如圖1，作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，

②如圖2，作AD⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

點(diǎn)評(píng)：沒(méi)明確是銳角三角形還是鈍角三角形，要分高AD在三角形內(nèi)部和外部討論.

四、四邊形中的分類討論

例4如圖3，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形，則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是______．

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

如圖4所示，四邊形ACBD是矩形，對(duì)角線長(zhǎng)為10.

圖3

圖4

圖5

圖6

如圖5所示，AD=8，連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

如圖6所示，BD=6，由題意可得AE=6，EC=2BC=16，

點(diǎn)評(píng)：因直角三角形的三條邊都可以是平行四邊形的對(duì)角線，所以分三種情況討論.

五、相似形中的分類討論

例 5 在△ABC中，AB=6，AC=5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE=______時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：在相似三角形中，因?yàn)閷?duì)應(yīng)頂點(diǎn)或?qū)?yīng)邊的不確定性，須要討論.

六、圓中的分類討論

例6在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-5），以P為圓心的圓與x軸相切，⊙P的弦AB（B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)）垂直于y軸，且AB=8，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則k=______．

解：設(shè)弦AB交y軸于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方時(shí)，連接PB，如圖7，

∵⊙P與x軸相切，且P（0，-5），∴PB=PO=5，

∴OC=OP-PC=2，∴B（4，-2），

∵ 反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴k=4×（-2）=-8；

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P下方時(shí)，同理可求得PC=3，則OC=OP+PC=8，

∴B（4，-8），∴k=4×（-8）=-32. 填-8或-32．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)C可在圓心P的上方，也可在圓心P的下方，分兩種情況討論.

圖7