從一道高考題談基本不等式求最值問題

李慧娟

（江蘇省六合高級(jí)中學(xué)，江蘇 南京）

一、一道高考試題

（2018年江蘇高考第13題）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為 a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC 的平分線交 AC 于 D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

這是考查基本不等式求最值的一道題目，目標(biāo)函數(shù)是二元函數(shù)，首先需要建立關(guān)于a與c的關(guān)系式,通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)；再構(gòu)造出基本不等式結(jié)構(gòu).值得說明的是，建立關(guān)于a與c關(guān)系式這一步驟的的方法很多，筆者僅提供一個(gè)比較簡明直接的方法——“等面積法”：由S△ABC=S△BCD+S△BCD可得a+c=ac.

那么在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，會(huì)有哪些結(jié)構(gòu)類型的函數(shù)可以運(yùn)用基本不等式求最值呢？我們又有哪些方法策略去應(yīng)對(duì)呢？

二、舉一反三、觸類旁通

（一）一元問題

注：此題求和式，“積定”的條件很明顯，直接使用基本不等式即可.

注：此題稍作配湊即可構(gòu)造出“積定”的形式.

注：這些題本質(zhì)上都是“二次比一次”類型的函數(shù)求最值問題.我們稱之型（或可轉(zhuǎn)化為此類型），其中變3要通過換元或配湊的方式并借助分離常數(shù)的手段轉(zhuǎn)化.而以上題中的“t”都是一次函數(shù)類型，當(dāng)然，“t”可以構(gòu)造成二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等等.如形式上可以千變?nèi)f化，這就需要拆掉“包裝”，抓住本質(zhì)特征，多思考，靈活地處理問題.

（二）多元問題

變2：已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，求的最小值.

由“1”的代換可解得m+n最小值為4，所以x+y的最小值為

變 4：若不等式 x2+2xy≤a（x2+y2）對(duì)于一切正數(shù) x，y 恒成立，求a的最小值.

變5：若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，求x+y的最小值.

注：本題采取消元的變形方式，減少變量，將目標(biāo)函數(shù)降為一元函數(shù)求最值.

三、總結(jié)升華

運(yùn)用基本不等式求最值的常見類型及解決策略如下：

2.變形方法：配湊、換元、消元、“1”的代換等.

3.對(duì)于多變量的處理上，可以從結(jié)構(gòu)上整體把握，當(dāng)然，通過消元減少變量，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解最值是非常重要且行之有效的方法.