數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中解決最值問(wèn)題的應(yīng)用

杜 剛

（四川省廣元市利州區(qū)大東英才學(xué)校，四川 廣元）

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，與具體的位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題在認(rèn)識(shí)和理解的實(shí)踐過(guò)程中，更加形象化和生動(dòng)化，因而能夠有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。同時(shí)在具體的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的有效運(yùn)用能夠使教學(xué)過(guò)程化繁雜抽象的學(xué)習(xí)實(shí)踐過(guò)程為簡(jiǎn)單具體形象的生動(dòng)認(rèn)識(shí)體驗(yàn)過(guò)程，在有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和思維體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勗诰唧w的教學(xué)實(shí)踐中如何將最值問(wèn)題與數(shù)形結(jié)合思想有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而更加有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

一、以數(shù)化形，數(shù)形結(jié)合，豐富認(rèn)識(shí)

在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，有些數(shù)量關(guān)系比較抽象，通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析和講解，學(xué)生在具體的認(rèn)識(shí)實(shí)踐過(guò)程中很難形成對(duì)問(wèn)題的有效理解和認(rèn)識(shí)體驗(yàn)過(guò)程，以數(shù)化形，將抽象的數(shù)量化為直觀明晰的“形”，學(xué)生通過(guò)視覺(jué)體驗(yàn)的刺激帶動(dòng)大腦思維的體驗(yàn)認(rèn)識(shí)過(guò)程，在頭腦中構(gòu)建出形象具體的畫(huà)面感知過(guò)程，在有效的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，形成對(duì)數(shù)量關(guān)系形象的認(rèn)識(shí)體驗(yàn)過(guò)程，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

例如在“一次函數(shù)的增減性”問(wèn)題的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，一般一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，其所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)系圖象是一條直線，因而該問(wèn)題不存在最大值或最小值的問(wèn)題，但是在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，往往會(huì)將問(wèn)題集中在圖象的某一個(gè)部分或某一小段，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷其增減性，如例題“請(qǐng)分析下列函數(shù)的最值情況：y=2x+5（x≥3）

在具體的分析實(shí)踐中，我們?nèi)羰峭ㄟ^(guò)單純地講解讓學(xué)生去理解y隨著x的增大而增大，很難使學(xué)生在具體的認(rèn)識(shí)實(shí)踐中形成對(duì)問(wèn)題形象生動(dòng)的理解認(rèn)識(shí)實(shí)踐過(guò)程，教師傳授式的教學(xué)過(guò)程給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大的壓力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐的過(guò)程中難以有效地調(diào)動(dòng)自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將思路集中到問(wèn)題的思考體驗(yàn)過(guò)程中去，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣難以得到有效的調(diào)動(dòng)。這時(shí)候，我們以數(shù)化形，將單調(diào)、枯燥的數(shù)字化為生動(dòng)形象的圖象分析過(guò)程，讓學(xué)生在形象化的認(rèn)識(shí)體驗(yàn)過(guò)程中，形成對(duì)圖象直觀性、具體性的認(rèn)識(shí)實(shí)踐過(guò)程，在圖象的效果引導(dǎo)下，學(xué)生能夠自覺(jué)地感知到函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，y=2x+5，y隨著x的增大而增大，在題干中給出了x的取值范圍x≥3，因此，y的值隨著x的增大而無(wú)限增大，沒(méi)有最大值，但是x的最小值給出了定位，只要在圖象的基礎(chǔ)上稍加分析，就能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐的過(guò)程中形成對(duì)問(wèn)題的有效認(rèn)識(shí)和理解過(guò)程，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到有效提高。

二、以形換數(shù)，數(shù)形結(jié)合，豐富體驗(yàn)

圖形具有直觀性、形象性等優(yōu)勢(shì)，但是光有圖形，沒(méi)有涉及定量，我們很難在具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐中將問(wèn)題有效解決。特別是較為復(fù)雜的“形”，我們?cè)诰唧w的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中不但要把圖形數(shù)字化，同時(shí)還要認(rèn)真地分析題目中的隱含條件，挖掘題目背后的意義，使“形”能夠在具體的認(rèn)識(shí)實(shí)踐過(guò)程中得到有效的展現(xiàn)。

例如，在學(xué)習(xí)“平面幾何中的最值問(wèn)題”的實(shí)踐中，給出具體的圖示，一個(gè)半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的長(zhǎng)是8米，怎么才能得出最大面積，使窗戶的透光最好，根據(jù)圖形分析題意，使透光效果最好的做法就是使開(kāi)口面積最大化，我們通過(guò)題干能夠找到相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系2x+2y+πx=8，由此列出相應(yīng)的函數(shù)式y(tǒng)=8-πx-2x

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，由關(guān)系式畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，找到最大值，使學(xué)生在系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析實(shí)踐中形成對(duì)最值問(wèn)題的有效理解過(guò)程。

三、數(shù)形結(jié)合，數(shù)形互變，強(qiáng)化體驗(yàn)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，利用數(shù)學(xué)圖象的直觀性、生動(dòng)性等特點(diǎn)能夠有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生在學(xué)習(xí)體驗(yàn)過(guò)程中的積極性和主動(dòng)性，數(shù)字具有嚴(yán)密性和系統(tǒng)性，在具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，我們利用數(shù)形結(jié)合，以數(shù)換形，數(shù)形互變，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程更具形象性，使學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐過(guò)程中更加注重對(duì)數(shù)形的有效分析和理解實(shí)踐的過(guò)程，因而能夠使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形的思維能力得到有效的發(fā)展和提升。

例如，在解答實(shí)數(shù)、代數(shù)、不等式、不等式組等純數(shù)類(lèi)的知識(shí)實(shí)踐中，或者是在解答平面幾何、立體幾何等問(wèn)題的實(shí)踐中，將兩者之間在具體的問(wèn)題條件的基礎(chǔ)上，展開(kāi)具體的圖形互變過(guò)程，能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中參與豐富的理解體驗(yàn)的過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到有效的強(qiáng)化。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，利用數(shù)形結(jié)合思想，在解決函數(shù)問(wèn)題、實(shí)數(shù)問(wèn)題以及幾何問(wèn)題等問(wèn)題的學(xué)習(xí)實(shí)踐中將之有效地結(jié)合起來(lái)，能夠有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的問(wèn)題分析能力，使學(xué)生在具體學(xué)習(xí)情境的帶動(dòng)下，學(xué)習(xí)效果得到有效的提高。