淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（建陽第一中學(xué) 福建南平 354200）

一、導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)

1.導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。以下是幾條重要的概念和定理。

概念1：當(dāng)時(shí)，是一個(gè)確定的數(shù)。當(dāng)x變化時(shí)，便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。的導(dǎo)數(shù)也記作

即

概念2：當(dāng)函數(shù)的自變量x在一點(diǎn)上產(chǎn)生一個(gè)增量時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx→0時(shí)的極限a如果存在，a即為在處的導(dǎo)數(shù)

記作

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為函數(shù)曲線在點(diǎn)的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在可導(dǎo)的前提下，該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

定理1：若曲線在x0點(diǎn)處不連續(xù)或不存在斜率，則改點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)，即在x0處不可導(dǎo)。

定理2：當(dāng)時(shí)，在該點(diǎn)處切線的傾斜角為銳角；當(dāng)時(shí)，在該點(diǎn)處切線的傾斜角為鈍角；當(dāng)時(shí)，在該點(diǎn)處切線與x軸垂直。

二、導(dǎo)數(shù)在解析幾何的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)性質(zhì)

在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，特別是研究高次函數(shù)、超越函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、奇偶性、極值最值等重要性質(zhì)時(shí)，通過從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)，把研究較難的函數(shù)問題巧妙地轉(zhuǎn)化到研究較簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)的問題上，使人們對(duì)一些較復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)得到更充分的認(rèn)識(shí)，拓寬了人們對(duì)函數(shù)性質(zhì)認(rèn)識(shí)和發(fā)展的途徑，為我們解決函數(shù)難題帶來重要的方法基礎(chǔ)。

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，將為導(dǎo)數(shù)在研究幾何問題中的應(yīng)用，特別是在解析幾何的問題中提供有力的思想方法。在求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如果僅從函數(shù)的單調(diào)性的定義出發(fā)來解決是十分困難的，這時(shí)通過導(dǎo)數(shù)的連接工具，將問題迅速解決。

利用導(dǎo)數(shù)的方法還可畫一些超越函數(shù)的圖像。在畫的圖像時(shí)，如果僅從函數(shù)一些基本性質(zhì)上的定義出發(fā)，解決此題是麻煩和困難的，如果能引進(jìn)導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)的圖像問題升華為研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和特點(diǎn)的問題，將求函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)、凹凸性、連續(xù)性的問題化為研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性、零點(diǎn)、單調(diào)性、存在連續(xù)性的問題，做到用導(dǎo)數(shù)工具描繪函數(shù)圖像，函數(shù)思想化歸導(dǎo)數(shù)思想。

2.利用導(dǎo)數(shù)解決切線、切點(diǎn)問題

切點(diǎn)切線的問題在幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)中是基礎(chǔ)而重要的問題，以導(dǎo)數(shù)為研究工具正是解決切線切點(diǎn)問題的有力方法。面對(duì)解決函數(shù)中有關(guān)切線、切點(diǎn)等問題時(shí)，通過結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，巧妙地將一些繁雜的解析幾何問題以導(dǎo)數(shù)的幾何意義來說明并巧妙地解決，這樣對(duì)于一些本來需要更加復(fù)雜的幾何證明思路或思想化為簡(jiǎn)單的從導(dǎo)數(shù)的幾何思維出發(fā)，降低了難度的門檻。為人們?cè)谀承┨囟ǘ邢薜臈l件下探索一些幾何性質(zhì)的過程提供了一種方便、快捷的方法。

下面用兩個(gè)例題展開論述。

例1：求函數(shù)過點(diǎn)（2，1）的切線方程及切點(diǎn)

例2：若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，求b

分析：以上兩題通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并從導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)，求出切線的斜率，并列出方程，從而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)及切線斜率，是一種快捷、有效的方法。體現(xiàn)了從導(dǎo)數(shù)幾何意義出發(fā)，求解有關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)單的切線切點(diǎn)問題。

對(duì)于切線問題也可通過設(shè)切線方程，結(jié)合判別式等于零解決也是一種方法。但相比于導(dǎo)數(shù)而言，有時(shí)計(jì)算量更加的繁雜 ，且局限性更大，而導(dǎo)數(shù)使問題更加具體化、簡(jiǎn)便化、易懂化。

在解析幾何中切線、切點(diǎn)的問題是幾何中基本的和重要的組成部分，往往許多問題要通過切線切點(diǎn)問題加以展開，通過導(dǎo)數(shù)的思想加以解決。鮮明體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解決幾何基本問題時(shí)的重要優(yōu)勢(shì)，為解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展提供了重要的方法基礎(chǔ)。

3.利用導(dǎo)數(shù)解決幾何中的最值問題

在數(shù)學(xué)中幾何的最值問題是一個(gè)重點(diǎn)，特別是在解析幾何中求一些曲線、直線距離圍成面積的最值時(shí)，不僅要有力地結(jié)合到函數(shù)，更要以導(dǎo)數(shù)作為根本方法快速巧妙地解決解析幾何中簡(jiǎn)單和復(fù)雜的問題。下面僅以解析幾何中簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用作為鮮明例子展開論述。

例3：已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，試在拋物線弧AOB上求一點(diǎn)P，使ΔAOB的面積最大。

分析：

本題如果僅從定義出發(fā)使用三角形面積公式：底×高， A B為定長(zhǎng)，關(guān)鍵在于求P 到A B距離的最大值，可求出最大面積。但根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算的繁瑣和難度來看，用這樣的方法較麻煩，在計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò)，走了許多彎路。

如果能在拋物線上取一點(diǎn)P，使P為與直線A B平行的切線與拋物線的切點(diǎn)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，輕松的算出切線的斜率，巧妙運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想解決幾何中距離、面積的問題。將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于幾何中時(shí)期更加鮮明化、特色化、應(yīng)用化、具體化，更加彰顯導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具的巨大作用。

例4：設(shè)直線x=t與曲線的圖像分別交于M、N，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)，t為多少。

分析：

本題如果單單畫出兩個(gè)曲線的大致圖像，僅靠觀察和意識(shí)的淺層理解是不準(zhǔn)確的，也是錯(cuò)誤的方法。像這樣以函數(shù)為背景解決曲線直線等幾何圖形的最值問題時(shí)，如果僅從定義出發(fā)是難以判斷和解決問題的。面對(duì)這種問題時(shí)要大膽地運(yùn)用數(shù)學(xué)的重要工具--導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的思想和函數(shù)的背景。將上方的曲線解析式減去下方曲線解析式，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)的思想求出該函數(shù)的最值。尋根溯源，最終方法就是要依靠導(dǎo)數(shù)作為根本方法，展開以函數(shù)的背景解決實(shí)際中幾何的最值問題。

三、導(dǎo)數(shù)在參數(shù)問題中的應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題

例5：已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

分析：

本題看上去雖是簡(jiǎn)單，但是其中所包含的思想是豐富的。如果僅從零點(diǎn)的定義角度去解決理解這一題，思路是僵化的且沒有方向性的。面對(duì)本題是一個(gè)超越函數(shù)且含有參數(shù)，所以直接從定義出發(fā)，則難上加難。

如果從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)將函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性求函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，求函數(shù)的極值，將函數(shù)的性質(zhì)研究轉(zhuǎn)移到研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)上來：求導(dǎo)后得到：從而對(duì)a的值進(jìn)行必要的分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)根的分布思想和零點(diǎn)存在定理進(jìn)行綜合分析、數(shù)形結(jié)合得出問題的答案。

導(dǎo)數(shù)有時(shí)候是數(shù)形結(jié)合上巧妙的聯(lián)系點(diǎn)，在一些解決困難的有關(guān)函數(shù)交點(diǎn)、零點(diǎn)等數(shù)形問題時(shí)，通過構(gòu)造函數(shù)，把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出，巧妙地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的最值等觀點(diǎn)解決疑難的數(shù)形結(jié)合問題

2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的問題

例6：證明：當(dāng)x＞0時(shí)，

分析：

此題如果直接比較是非常難得出結(jié)論的，即使是特殊值代入也不能完全的說明問題本質(zhì)。所以要解決問題需要通過連續(xù)構(gòu)造多個(gè)函數(shù)，將函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行深入研究。因此需要巧妙地用到導(dǎo)數(shù)的思想把問題的源頭轉(zhuǎn)移到研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)上來。

追根溯源，面對(duì)大多數(shù)為超越函數(shù)的不等式問題時(shí)，不僅要從表面思考，更要從本質(zhì)出發(fā)，通過構(gòu)造函數(shù)把問題轉(zhuǎn)移到研究導(dǎo)函數(shù)的層面上來。實(shí)現(xiàn)多角度、多層次、抓重點(diǎn)、追根源的思想素養(yǎng)，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中重要的方法地位和應(yīng)用價(jià)值。

3.利用導(dǎo)數(shù)解決存在、恒成立的參數(shù)問題

例7：已知函數(shù)對(duì)不等式恒成立，求a的取值范圍。

分析：

對(duì)于此類在絕對(duì)值下求參數(shù)取值范圍的恒成立問題，需要結(jié)合轉(zhuǎn)化劃歸的思想把題目化為求函數(shù)最值的問題，將導(dǎo)數(shù)的思想滲透于其中，如本題：可等價(jià)為對(duì)求導(dǎo)：用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來研究和求出原函數(shù)的單調(diào)性和最值。

導(dǎo)數(shù)是維系著一些不等式、恒等式、存在性的證明和定義問題，將復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的問題，將無形化為有形。如本題是一個(gè)超越函數(shù)，要直接解決他，是非常困難的。如果通過導(dǎo)數(shù)這一轉(zhuǎn)化化歸，可將恒成立的問題輕松巧妙地轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)最值的問題，通過導(dǎo)數(shù)這一聯(lián)系點(diǎn)解決疑難。

四、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活問題中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展越來越多難而復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題逐漸顯露出來，許多問題，特別是在數(shù)學(xué)的背景一下，需要亟待解決。其中導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用就是其中一個(gè)很重要的基礎(chǔ)。把握好導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)生活相結(jié)合，發(fā)揮出導(dǎo)數(shù)重要的根本方法優(yōu)勢(shì)和巨大的基本工具作用。

例8：某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)K，若存款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去，為使銀行獲得最大收益，則存款利率為多少。

分析：本題要從實(shí)際經(jīng)濟(jì)的角度問題出發(fā)，表示出收益的函數(shù)關(guān)系，通過對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)，求出元函數(shù)的最值，把一到經(jīng)濟(jì)問題具體到導(dǎo)函數(shù)的問題上來，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與實(shí)際生活中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化。這里僅討論導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中簡(jiǎn)單的應(yīng)用而導(dǎo)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用不只這一類例子，還有更多重要的應(yīng)用與思想。

2.導(dǎo)數(shù)在生活中材料優(yōu)化問題的應(yīng)用

在解決實(shí)際問題當(dāng)中的最值問題時(shí)，如求面積、體積、長(zhǎng)度等實(shí)際生活中事物的變化規(guī)律時(shí)，通過結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化思維，把生活中困難的問題升華為研究函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的變化規(guī)律，使實(shí)際問題和數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)思想緊密而巧妙地結(jié)合，做到由抽象到具體的重要數(shù)學(xué)思想。從而簡(jiǎn)化和拓展了人們認(rèn)識(shí)一些事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的途徑。

例9：某市擬在半徑為R的圓形花園中心豎建一高桿頂燈，若地面各點(diǎn)的亮度和光線與地面所成角的正弦值成正比，與該點(diǎn)到燈距離的平方成反比。問高桿頂燈的燈柱設(shè)計(jì)為多高時(shí)，花園周邊小路的亮度最大。

分析：本題是一個(gè)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密的問題，解決該類問題往往通過設(shè)計(jì)和構(gòu)造與提干相關(guān)的函數(shù)，進(jìn)行解決。本題難點(diǎn)在于所設(shè)的變量之多和構(gòu)造的函數(shù)比較復(fù)雜。如果僅從函數(shù)的層面來解決最值問題較困難。要意識(shí)到導(dǎo)數(shù)的重要性，讓函數(shù)問題維系與導(dǎo)數(shù)問題之中，使實(shí)際問題簡(jiǎn)單化、具體化、方法化、嚴(yán)謹(jǐn)化。因此應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是在解決實(shí)際優(yōu)化問題中關(guān)鍵的一步。

結(jié)語

在生活實(shí)踐中，處處離不開導(dǎo)數(shù)，作為基本而有力的工具，導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等各方面領(lǐng)域提供了較為重要而基本的方法之一。導(dǎo)數(shù)在解決一些數(shù)學(xué)問題中常常起到舉足輕重的作用，例如：在解決函數(shù)恒成立、存在、極值、單調(diào)性等問題時(shí)巧妙應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法。實(shí)踐證明，導(dǎo)數(shù)知識(shí)的不斷應(yīng)用和創(chuàng)新是符合客觀規(guī)律的，是引導(dǎo)人們正確認(rèn)識(shí)世界的一種重要工具和基礎(chǔ)方法，為人們不斷開拓各領(lǐng)域研究做出重要的貢獻(xiàn)。只有正確把握好導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，發(fā)揮出其巨大的優(yōu)勢(shì)，不斷認(rèn)識(shí)、理解、創(chuàng)新，才能讓導(dǎo)數(shù)的思想煥發(fā)出更大更強(qiáng)的生命活力。

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)2-2） 2005：5-9.