認(rèn)知負(fù)荷理論下的“平面向量基本定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

馮玉琴

【摘要】認(rèn)知負(fù)荷理論為研究教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一種新的理論框架.以平面向量基本定理為例，基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)原理，進(jìn)行課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì);基于交互作用原理，提出提前訓(xùn)練——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷、部分整體——降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、變異任務(wù)——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷三個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)教學(xué)過程.

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知負(fù)荷理論;平面向量基本定理;認(rèn)知結(jié)構(gòu);交互作用;課堂教學(xué)目標(biāo);教學(xué)過程設(shè)計(jì)

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的和基礎(chǔ)的概念之一[1]，而平面向量基本定理又是向量知識(shí)模塊中的核心內(nèi)容.課本中關(guān)于平面向量基本定理的表述充分彰顯了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，但冗長的文字、抽象的公式、陌生的數(shù)學(xué)符號(hào)、鄰近的交互概念增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)荷.研究表明，在平面向量基本定理概念形成的過程中，教師通常以強(qiáng)化定理的應(yīng)用技巧替代對(duì)定理的本質(zhì)理解[2]，導(dǎo)致學(xué)生的主體參與感被剝奪.近年來，認(rèn)知負(fù)荷理論特別關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)[3]，強(qiáng)調(diào)工作記憶原理[3]，并從交互性角度[4]重新定義認(rèn)知負(fù)荷概念.這里應(yīng)用認(rèn)知負(fù)荷理論對(duì)平面向量基本定理課堂教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)過程進(jìn)行設(shè)計(jì).

1 認(rèn)知負(fù)荷理論基本觀點(diǎn)

認(rèn)知負(fù)荷理論是基于人類認(rèn)知結(jié)構(gòu)與外界信息的交互作用而提出的一種有效管理教學(xué)設(shè)計(jì)的理論[5].該理論認(rèn)為，工作記憶與長時(shí)記憶之間是一個(gè)從具體到抽象的連續(xù)體.起初，由于持續(xù)時(shí)間有限（沒有經(jīng)過排練組合的工作記憶會(huì)在30秒內(nèi)丟失）和處理容量有限（工作記憶一次只能處理4±1個(gè)元素）[3]，工作記憶在初始轉(zhuǎn)態(tài)中只能獲取最簡(jiǎn)單的信息;隨后，伴隨認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的同化和順應(yīng)，工作記憶開啟模塊化程序（通過釋放單個(gè)信息元素所需要的儲(chǔ)存空間，編碼形成信息單元）和自動(dòng)化程序（在實(shí)踐過程中投入大量的認(rèn)知努力后自動(dòng)發(fā)展到需要對(duì)其操作進(jìn)行最少思考的程度）改善和繞過限制[4];最后，工作記憶以圖式（可以用來解釋人類為什么能很快地解決問題[4]）的形式融入到長時(shí)記憶中去.

認(rèn)知負(fù)荷理論關(guān)注高元素交互性的學(xué)習(xí)材料[3]，將元素交互性作為定義性特征融入認(rèn)知負(fù)荷的概念界定中，強(qiáng)調(diào)教學(xué)設(shè)計(jì)必須有效管理三種認(rèn)知負(fù)荷：內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷以及相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是指工作記憶對(duì)認(rèn)知任務(wù)本身所包含的信息元素的數(shù)量及其交互性進(jìn)行認(rèn)知加工活動(dòng)所產(chǎn)生的負(fù)荷[3];外在認(rèn)知負(fù)荷被認(rèn)為是由對(duì)當(dāng)前任務(wù)不重要的元素交互作用引起的負(fù)荷[3];相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷由用于處理有助于學(xué)習(xí)的元素交互性的工作記憶資源組成[3].從教學(xué)設(shè)計(jì)的整體角度來看，總的認(rèn)知負(fù)荷是至少兩個(gè)完全不同因素的混合體.這里將有效管理認(rèn)知負(fù)荷貫穿于平面向量基本定理課堂教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)過程設(shè)計(jì)之中.

2 “平面向量基本定理”課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)及目標(biāo)解析

2.1課堂教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義;

2.經(jīng)歷平面向量基本定理的形成過程，感受知識(shí)建構(gòu)過程中的改造與重組;

3.感受數(shù)形結(jié)合思想.

2.2目標(biāo)解析

認(rèn)知負(fù)荷理論認(rèn)為工作記憶是進(jìn)入長時(shí)記憶必不可少的環(huán)節(jié).雖然工作記憶在初始狀態(tài)會(huì)受到持續(xù)時(shí)間和處理容量的限制，但是這種限制是必要的，因?yàn)樵谔幚硇略貢r(shí)，完備的知識(shí)是不可用的，在解決問題的過程中，有限的元素不會(huì)導(dǎo)致組合爆炸[3]，所以工作記憶的初始狀態(tài)是無法替代的.與工作記憶的初始狀態(tài)相同，課堂教學(xué)目標(biāo)是微觀目標(biāo)，雖然受到課堂時(shí)間和教學(xué)內(nèi)容的限制，但課堂教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)是必要而且合理的.應(yīng)在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的指導(dǎo)下，綜合考慮單元教學(xué)目標(biāo)、當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，制定出“具體的”、“可操作”、“可檢查的”的課堂教學(xué)目標(biāo)[6].這里致力于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是宏觀目標(biāo)，包含著多方面的、更為具體的目標(biāo)），設(shè)定讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)[7];致力于單元教學(xué)目標(biāo)（單元教學(xué)目標(biāo)屬于中觀目標(biāo)，需要付出大量的時(shí)間和精力），設(shè)定經(jīng)歷平面向量基本定理的形成過程，感受知識(shí)建構(gòu)過程中的改造與重組的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)[8][9][10].致力于當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)（平面向量基本定理用“基本”命名[11]，主要因?yàn)椋簝蓚€(gè)不共線向量，能夠構(gòu)造出平面內(nèi)的所有向量;構(gòu)造平面內(nèi)的任意向量，至少需要兩個(gè)不共線向量;平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一[12]）設(shè)定理解平面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義為課堂教學(xué)目標(biāo).

3 “平面向量基本定理”教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1提前訓(xùn)練——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷

復(fù)習(xí)向量加法的三角形法則（圖1）和平行四邊形法則（圖2），刻畫平面向量基本定理的幾何模型（圖3）;比較向量加法的平行四邊形法則與基底異同，揭示不共線向量基底的概念.

設(shè)計(jì)意圖：基底是“二維向量”——平面向量的代表，在平面向量基本定理中發(fā)揮著基礎(chǔ)性作用，因此對(duì)其進(jìn)行解讀是必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié).教材中，基底最早以幾何表征的形式出現(xiàn)在向量加法的平行四邊形法則中，而后在平面向量基本定理中以核心“符號(hào)”的形式亮相，因而學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有基底的概念，直接解讀基底不免過于生硬.通過復(fù)習(xí)向量加法的三角形法則（以兩個(gè)向量首尾相連為基本法則）和向量加法的平行四邊形法則（以兩個(gè)向量起點(diǎn)在同一個(gè)點(diǎn)為運(yùn)算基礎(chǔ)），有助于幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量加法的平行四邊形法則為平面向量基本定理的基底搭建幾何模型.向量加法的平行四邊形法則是平面向量基本定理基底的雛形，但兩者又有區(qū)別，向量加法的平行四邊形法則以共線向量自由移動(dòng)為基礎(chǔ)，而平面向量基本定理的基底則以不共線向量為前提，二者之間的差異便是新知識(shí)構(gòu)建的起點(diǎn)和基本定理認(rèn)識(shí)的起步.

通過復(fù)習(xí)已有相關(guān)知識(shí)、辨析新舊交互知識(shí)間接引入基底，這種引入方式有助于增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是由用于處理有助于學(xué)習(xí)的元素交互性的工作記憶資源組成，它是產(chǎn)生有意義學(xué)習(xí)的認(rèn)知活動(dòng)的使然，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該適當(dāng)增加它.認(rèn)知負(fù)荷理論提倡采用提前訓(xùn)練[13]的方法（通過適當(dāng)增加內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，從而適當(dāng)增加工作記憶資源的方法，增加了與之相關(guān)的認(rèn)知負(fù)荷），即在原有相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)即將進(jìn)行的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行辨析（聯(lián)系和區(qū)分），從而幫助實(shí)現(xiàn)在新舊知識(shí)之間建立實(shí)質(zhì)性的非人為的聯(lián)系[13].

3.2部分整體——降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

分割平面向量基本定理，剖析關(guān)鍵詞“有且僅有”，運(yùn)用幾何刻畫（圖4）和代數(shù)證明（圖5）兩種方法解讀實(shí)數(shù)λ1、λ2的存在性和唯一性.

3.3變異任務(wù)——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷

探究平行四邊形內(nèi)（圖6）任意給定的向量a，可以對(duì)應(yīng)多少組不同的基底，深刻解讀基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2的不唯一性;刻畫直角三角形中（圖7）基底的建立過程，解讀基底的恰當(dāng)選取原則.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于平面向量基本定理的內(nèi)容，往往容易忽略對(duì)同一平面可以有不同的基底的解讀，即基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2不唯一性的解讀.從幾何意義看，就是給定平行四邊形的一條對(duì)角線，可以做無數(shù)個(gè)與之對(duì)應(yīng)的平行四邊形[8]，這個(gè)過程調(diào)動(dòng)了學(xué)生認(rèn)知中關(guān)于平行四邊形不穩(wěn)定性的知識(shí);既然基底的選擇不唯一[8]，那么該如何恰當(dāng)選取基底進(jìn)行運(yùn)算呢？平行四邊形的不穩(wěn)定性質(zhì)讓我們自然而然地聯(lián)想到三角形穩(wěn)定性的知識(shí).選取一組相互垂直的基底，通過建立平面直角坐標(biāo)系的形式，建立與x軸、y軸方向相同的單位向量[WTHX]i ，j[WTBX]作為基底，讓向量的分解在一個(gè)穩(wěn)定的直角三角形中進(jìn)行.為了方便研究，引出了平面直角坐標(biāo)系以及單位向量的概念，從而為進(jìn)入到下一節(jié)內(nèi)容“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”的學(xué)習(xí)做鋪墊.通過有意義的、實(shí)質(zhì)性的認(rèn)知操作，簡(jiǎn)化平面向量基本定理的理解難度.認(rèn)知負(fù)荷理論的形式效應(yīng)告訴我們：工作記憶在某些形式下可以拓展[15]，為了更深刻地理解相關(guān)知識(shí)，有時(shí)候呈現(xiàn)一些“冗余”信息，反而幫助降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.認(rèn)知負(fù)荷理論提倡任務(wù)變異設(shè)計(jì)，即在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，變化任務(wù)本身（表面內(nèi)容的變異與深層結(jié)構(gòu)的變異）和呈現(xiàn)方式，一方面促使學(xué)習(xí)者對(duì)相似或相關(guān)特征與無關(guān)特征進(jìn)行區(qū)分，從而利于問題圖式的構(gòu)建;另一方面，為學(xué)習(xí)者提供辨認(rèn)相似特征的機(jī)會(huì)，擴(kuò)展樣例試用范圍，利于圖式的發(fā)展和遷移[16]，從而適度增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.

眾所周知，平面向量基本定理是有關(guān)向量分解的一個(gè)重要定理，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和變換美[7].在教學(xué)中，如何讓學(xué)生理解平面向量基本定理，并且對(duì)平面向量基本定理的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，這些問題都值得我們深思.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面以章建躍教學(xué)目標(biāo)體系為指導(dǎo)，從優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度設(shè)計(jì)了課堂教學(xué)目標(biāo);另一方面，為了有效管理認(rèn)知負(fù)荷，提出溫故知新——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷、部分整體——降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、變異任務(wù)——增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷三個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)教學(xué)過程.以上教學(xué)設(shè)計(jì)仍有很多不足之處，如未從降低外在認(rèn)知負(fù)荷的角度整合教學(xué)過程，未從整體性角度優(yōu)化三種認(rèn)知負(fù)荷.此外，關(guān)于平面向量基本定理的教學(xué)，還可以與為什么兩條相交直線確定一個(gè)平面、兩平面平行的判定以及空間向量基本定理等相關(guān)知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，這里尚未涉及，因而需要進(jìn)一步研究改進(jìn).

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