基于非線性能量俘獲機(jī)制的直驅(qū)浮子式波浪能發(fā)電裝置研究

肖曉龍， 肖龍飛,2， 李 揚(yáng)

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心, 上海 200240)

在眾多波浪能發(fā)電裝置中，振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置是目前發(fā)展較好的裝置[1]，而采用直線發(fā)電機(jī)的振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置減少了能量轉(zhuǎn)換的中間環(huán)節(jié)，發(fā)電效率更高， 同時(shí)降低了裝置的復(fù)雜性，且便于維護(hù)[2]。當(dāng)前對(duì)直驅(qū)振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置能量俘獲機(jī)制的研究主要集中在線性領(lǐng)域[3-5]，把能量輸出系統(tǒng)簡化為一個(gè)直線發(fā)電機(jī)和一個(gè)連接彈簧，浮子隨著波浪起伏上下運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)直線發(fā)電機(jī)的動(dòng)子切割磁感線產(chǎn)生電流，實(shí)現(xiàn)將波浪能轉(zhuǎn)化為電能。對(duì)于帶有線性能量俘獲機(jī)制的直驅(qū)振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置，只有當(dāng)入射波頻率與裝置固有頻率相等時(shí)，俘獲的能量最多，當(dāng)入射波頻率偏離裝置固有頻率時(shí)，俘獲的能量就大幅度降低，特別是波浪響應(yīng)譜比較窄的情況[6]。

為改善能量俘獲特性，可考慮將非線性能量俘獲機(jī)制應(yīng)用于直驅(qū)浮子式波浪能發(fā)電裝置。非線性能量俘獲機(jī)制最先應(yīng)用在機(jī)械振動(dòng)領(lǐng)域而不是波浪能發(fā)電方面,Mann等[7]提出一種振動(dòng)能量俘獲機(jī)制，即在一個(gè)中心磁鐵的上下和四周放置周圍磁鐵，磁鐵間的作用力使系統(tǒng)形成負(fù)剛度，且勢能位移圖呈現(xiàn)雙阱特性，理論和實(shí)驗(yàn)都表明雙阱間全局運(yùn)動(dòng)能顯著提高低頻振動(dòng)能量的俘獲。鑒于海上可利用波浪頻率通常較低，本文將該非線性能量俘獲機(jī)制改進(jìn)后應(yīng)用在直驅(qū)振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置上，以改善發(fā)電裝置的能量俘獲特性，提高能量俘獲效率，拓寬能量俘獲頻譜帶寬。

1 物理模型

線性直驅(qū)振蕩浮子式波浪能發(fā)電裝置，以及所提出的非線性裝置的示意圖分別如圖1(a)和(b)。直驅(qū)浮子式波浪能發(fā)電裝置由浮子、能量輸出系統(tǒng)、垂蕩板和錨泊線組成。線性能量輸出系統(tǒng)包含直線發(fā)電機(jī)和連接彈簧，直線發(fā)電機(jī)由定子和動(dòng)子構(gòu)成，定子上有感應(yīng)線圈繞組，動(dòng)子是一根裹著永磁體的軸。非線性能量輸出系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相似，但在直線發(fā)電機(jī)的周圍增加了周圍磁鐵，文中周圍磁鐵數(shù)取N=4。由于垂蕩板運(yùn)動(dòng)很小，假定其靜止水中[8]，因此垂蕩板和錨泊線使能量輸出系統(tǒng)穩(wěn)定在水中，直線發(fā)電機(jī)完全由振蕩浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，浮子帶動(dòng)發(fā)電機(jī)的動(dòng)子上下運(yùn)動(dòng)，永磁動(dòng)子運(yùn)動(dòng)時(shí)磁場將切割定子中繞組，從而在繞組中感應(yīng)出電流。

圖1 線性和非線性波浪能發(fā)電裝置示意圖Fig.1 Schematic of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

直線發(fā)電機(jī)的動(dòng)子和定子相互感應(yīng)，由法拉第電磁感應(yīng)定律可推導(dǎo)出定子線圈中的感應(yīng)電流公式：

(1)

Fc=γI

(2)

(3)

(4)

(5)

依據(jù)方程式(4)和式(5)將直線發(fā)電機(jī)用阻尼替代，建立線性和非線性直驅(qū)發(fā)電裝置簡化物理模型，分別如圖2(a)和(b)所示。圖中：m為浮子質(zhì)量；K為能量輸出系統(tǒng)彈簧剛度；Fm為周圍磁鐵對(duì)中心磁鐵的作用力：

(6)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Mc為中心磁鐵磁化強(qiáng)度；Vc為中心磁鐵體積；Mo為周圍磁鐵磁化強(qiáng)度；Vo為周圍磁鐵體積；r0為中心磁鐵到周圍磁鐵距離；z為動(dòng)子上下運(yùn)動(dòng)，也是浮子垂蕩運(yùn)動(dòng)。

圖2 線性和非線性波浪能發(fā)電裝置簡化物理模型Fig. 2 Physical models of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

2 參數(shù)選取

在40～100 m水深范圍內(nèi)，波浪的幅值較大，是布置波浪能發(fā)電裝置的理想水深范圍，水深太淺波浪衰減過快，水深太深不利于裝置的安裝[10]。本文取水深為h=50 m。圓柱形振蕩浮子直徑D=1 m，吃水d=5 m，用三維勢流軟件SESAM計(jì)算浮子的垂蕩水動(dòng)力參數(shù)。

為對(duì)比分析非線性裝置的效果，最佳剛度系數(shù)和發(fā)電機(jī)阻尼參數(shù)的選取依據(jù)讓線性裝置獲得最大俘獲能量來確定，并用于之后線性和非線性裝置的計(jì)算。要使發(fā)電裝置從波浪能中俘獲的功率P達(dá)到最大，最佳阻尼和彈簧剛度系數(shù)必須滿足[11]:

(7)

由式(7)得出最佳剛度為負(fù)數(shù)，與實(shí)際不符合。彈簧剛度系數(shù)的選取與能量俘獲效率及浮子的穩(wěn)定性有關(guān)，根據(jù)Vicente等[12]研究，將彈簧剛度系數(shù)取為浮子靜水恢復(fù)力系數(shù)的10%左右，即K=0.1rgS。由式(7)可得最佳發(fā)電機(jī)阻尼為:

(8)

式中：ρ為水的密度；g為重力加速度；S為浮子截面面積；A(ω)為浮子附加質(zhì)量；ω為波浪頻率。根據(jù)式(8)可計(jì)算出不同波浪頻率下的最佳發(fā)電機(jī)阻尼，如表1。

表1 不同波浪頻率下的最佳發(fā)電機(jī)阻尼

3 非線性能量俘獲機(jī)制

非線性能量俘獲機(jī)制示意圖如圖3所示，圖3(a)顯示了不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，圖3(b)和(c)分別顯示彈簧壓縮和拉伸時(shí)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

圖3 非線性能量俘獲機(jī)制示意圖Fig.3 Schematic of the bistable impulsive mechanism.

彈簧和磁力在垂向上的合力為：

(9)

令F=0, 可得到三個(gè)臨界平衡位置ze1=-ze3及ze2=0。其中,ze1是負(fù)的穩(wěn)定平衡位置,ze3是正的穩(wěn)定平衡位置，ze2是不穩(wěn)定平衡位置。將中心磁鐵至周圍磁鐵的距離取為r0=ze3，磁鐵參數(shù)可由ze3和K決定:

(10)

將方程式(10)代入方程式(9)，可得：

(11)

對(duì)方程(11)求導(dǎo)可得到能量輸出系統(tǒng)的等效剛度為：

(12)

圖4給出了線性裝置和具有不同穩(wěn)定平衡位置的非線性裝置的能量輸出系統(tǒng)垂向力F與垂蕩位移z的關(guān)系，以及能量輸出系統(tǒng)等效剛度KPTO與垂蕩位移z的關(guān)系?？梢?，對(duì)線性能量輸出系統(tǒng)，其等效剛度恒為正值，即彈簧恢復(fù)力與垂蕩的方向相反；但對(duì)非線性的能量輸出系統(tǒng)，在兩個(gè)穩(wěn)定平衡位置ze1、ze3之間存在一個(gè)位移區(qū)，使得彈簧力與磁鐵力的合力與垂蕩運(yùn)動(dòng)方向相同，即產(chǎn)生負(fù)剛度，且穩(wěn)定位置ze3越大，能量輸出系統(tǒng)產(chǎn)生負(fù)剛度區(qū)域的范圍越大。

圖4 線性裝置和不同穩(wěn)定平衡位置的非線性裝置Fig.4 F as a function of z and KPTO as a function offor linear and nonlinear WECs with different values of ze3.

能量輸出系統(tǒng)勢能與垂蕩位移的關(guān)系為

(13)

圖5給出了線性裝置和不同穩(wěn)定平衡位置的非線性裝置的能量輸出系統(tǒng)勢能位移圖。相比于線性裝置位移勢能圖的單阱，非線性能量俘獲機(jī)制的勢能圖具有雙阱特性。在三個(gè)臨界平衡位置中，ze1和ze3是穩(wěn)定的，ze2是不穩(wěn)定的，因此該系統(tǒng)可能有兩種形式的運(yùn)動(dòng)：阱內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)和阱間全局運(yùn)動(dòng)。阱內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)是由于外界激勵(lì)太小，導(dǎo)致系統(tǒng)無法跨越勢能屏障，當(dāng)外界激勵(lì)大到足夠跨越勢能屏障，振動(dòng)從一個(gè)穩(wěn)定平衡位置可以跨越到另一個(gè)穩(wěn)定平衡位置，阱間全局運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。Tang等[13]研究表明，全局運(yùn)動(dòng)可以顯著改善對(duì)振動(dòng)能量的俘獲。

圖5 線性裝置和不同穩(wěn)定平衡位置的非線性裝置-關(guān)系圖Fig.5 Ep as a function of z for linear and nonlinear WECs with different values of ze3

4 不規(guī)則波響應(yīng)

采用第17屆ITTC會(huì)議推薦JONSWAP譜來生成隨機(jī)不規(guī)則波時(shí)歷，譜的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(14)

式中：H1/3為有義波高；Tp為譜峰周期；γ為譜峰因子, 文中取3.3；σ為譜峰形狀參數(shù)，當(dāng)ω≤ωp時(shí)σ=0.07，當(dāng)ω>ωp時(shí)σ=0.09，其中譜峰頻率ωp=2π/Tp。

(15)

對(duì)圓柱形振蕩浮子等軸對(duì)稱浮體，幅值響應(yīng)函數(shù)可寫為：

(16)

式中：

(17)

式中：k為波數(shù)；Bz(ω)為輻射阻尼，φi為波浪激勵(lì)力的相位，θi為區(qū)間(0,2π)之間的隨機(jī)數(shù)。

線性波浪能發(fā)電裝置在不規(guī)則波中垂蕩運(yùn)動(dòng)的時(shí)域方程為：

(18)

式中：A(∞)為ω→∞時(shí)的附加質(zhì)量；Fe為波浪激勵(lì)力；卷積項(xiàng)代表流體的記憶效應(yīng)，kz被稱為延遲函數(shù)，其表達(dá)式為：

(19)

將[0,t]劃分為n份，t=nΔτ，方程(18)中卷積項(xiàng)可利用梯形法進(jìn)行離散[14]求解：

(20)

非線性波浪能發(fā)電裝置在不規(guī)則波中的垂蕩運(yùn)動(dòng)方程為：

(21)

將方程式(6)和式(20)代入時(shí)域方程(21)，得：

(22)

(23)

或：

(24)

該方程作為一階微分方程組，可以用四階龍格庫塔法數(shù)值求解,從而得到發(fā)電裝置的垂蕩運(yùn)動(dòng)和速度。

由方程式(5)，在[0,t]時(shí)間內(nèi)波浪能發(fā)電裝置俘獲波浪能的平均功率為：

(25)

5 結(jié)果與分析

不規(guī)則波計(jì)算時(shí)長為2 000 s，平均俘獲功率的計(jì)算時(shí)間取后1 000 s，不規(guī)則波的有義波高取H1/3=1 m。不同譜峰頻率時(shí)，發(fā)電機(jī)阻尼依據(jù)表1選取。針對(duì)不同的譜峰頻率ωp和穩(wěn)定平衡位置ze3(分別取值0.1 m, 0.4 m, 0.7 m, 1.0 m, 1.3 m, 1.6 m)，得到線性和非線性波浪能發(fā)電裝置的平均能量俘獲頻譜，如圖6(a)，以及非線性裝置與線性裝置的俘獲能量比，如圖6(b)。

圖6 非線性和線性裝置在不規(guī)則波中Fig.6 Power obtained by nonlinear and linear WEC

由圖6(a)可見，對(duì)線性波浪能發(fā)電裝置，當(dāng)不規(guī)則波譜峰頻率接近裝置的固有頻率(1.42 rad/s)時(shí)，平均俘獲波浪功率最大，偏離裝置固有頻率時(shí)，俘獲功率減??；對(duì)非線性裝置，隨著穩(wěn)定平衡位置的增大，最大平均能量俘獲(平均能量俘獲頻譜最高點(diǎn))對(duì)應(yīng)的譜峰頻率逐漸減小，且都低于裝置固有頻率。由圖6(a)及(b)可見，當(dāng)穩(wěn)定平衡位置ze3=1 m時(shí)，即負(fù)剛度區(qū)域較小，周圍磁鐵影響較弱，非線性裝置平均能量俘獲與線性裝置差別不大。隨著穩(wěn)定平衡位置的增大，非線性裝置在不規(guī)則波譜峰頻率比較低時(shí)，能量俘獲比線性裝置大很多，但當(dāng)不規(guī)則波譜峰頻率大于裝置固有頻率以后，非線性裝置的能量俘獲比線性裝置小。當(dāng)穩(wěn)定平衡位置繼續(xù)增大，非線性裝置的能量俘獲開始減小，但是在低頻階段仍然比線性裝置的俘獲能量大。

為進(jìn)一步分析線性和非線性裝置能量俘獲差異的機(jī)理，以線性裝置和穩(wěn)定平衡位置ze3=1.0 m的非線性裝置為例,考慮譜峰頻率分別為ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不規(guī)則波，即分別對(duì)應(yīng)圖6(a)中A，B，C，D四點(diǎn)，求解其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和瞬時(shí)功率。圖7給出了線性和非線性裝置在不規(guī)則波中的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和瞬時(shí)功率時(shí)歷。

圖7 線性和非線性裝置在不規(guī)則波中的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和瞬時(shí)功率(自上而下分別為位移、速度、相位和瞬時(shí)功率時(shí)歷圖，其中藍(lán)色直線代表平均功率)
Fig.7 Motion response and instantaneous power (Displacement-time response, velocity-time response, phase portrait and instantaneous power from upper to lower of the figure，the blue line represents the corresponding averaged power)for.

由圖7(a)和(c)可見，由于線性裝置勢能位移圖是單阱的，只有一個(gè)穩(wěn)定平衡位置z=0 m，因此無論外界能量大或者小，線性裝置位移均在z=0 m附近振動(dòng)。由圖7(b)可見，當(dāng)ωp=0.75 rad/s時(shí)，非線性裝置運(yùn)動(dòng)為全局運(yùn)動(dòng)，此時(shí)能量較大足以跨越勢能屏障，振動(dòng)從一個(gè)勢能阱跳躍到另一個(gè)阱，因此俘獲的能量較大；而圖7(d)可見，當(dāng)ωp=2.0 rad/s時(shí)，非線性裝置運(yùn)動(dòng)為局部運(yùn)動(dòng)，此時(shí)外界能量激勵(lì)使振動(dòng)不足以跨越勢能屏障，振動(dòng)僅在某一阱內(nèi)，俘獲能量較小。由圖7可知，對(duì)非線性裝置，當(dāng)外界能量足以跨越勢能屏障，其能量俘獲將顯著優(yōu)于線性裝置，當(dāng)外界能量較小不足以跨越勢能屏障，其能量俘獲要比線性裝置差。由于波浪譜峰頻率較低時(shí)，波浪激勵(lì)力和能量均較大，易使非線性裝置產(chǎn)生全局運(yùn)動(dòng)，所以低頻時(shí)非線性裝置能量俘獲要顯著優(yōu)于線性裝置，而高頻則相反。這同樣可以解釋圖6中，隨著穩(wěn)定平衡位置的持續(xù)增加，能量俘獲開始減小，且高頻時(shí)顯著小于線性裝置的現(xiàn)象。穩(wěn)定平衡位置較高，勢能屏障較高，外界能量難以跨越產(chǎn)生全局運(yùn)動(dòng)，所以穩(wěn)定平衡位置的選取也具有最優(yōu)區(qū)間，太高太低都不利于能量俘獲。

為研究浮子速度響應(yīng)的頻域特性，對(duì)線性裝置和穩(wěn)定平衡位置的非線性裝置ze3=1.0 m，在不規(guī)則波中速度響應(yīng)的時(shí)歷進(jìn)行了傅里葉變換。圖8給出了在譜峰頻率分別為ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不規(guī)則波中，線性和非線性裝置傅里葉變換后得到的速度響應(yīng)頻譜。由圖8(a)可見，ωp=0.75 rad/s時(shí)，速度響應(yīng)頻譜的主要響應(yīng)峰值對(duì)應(yīng)不規(guī)則波的譜峰頻率(ωp=1.0 rad/s)。非線性裝置的速度響應(yīng)在低頻和波浪譜峰頻率附近要優(yōu)于線性裝置，且速度響應(yīng)頻譜帶寬更寬。由方程(5)可知，速度響應(yīng)與瞬時(shí)俘獲功率成正相關(guān)，可知此時(shí)非線性裝置的瞬時(shí)能量俘獲要優(yōu)于線性裝置，且瞬時(shí)能量頻譜帶寬更寬。由圖8(b)可見，ωp=2.0 rad/s時(shí)，速度響應(yīng)頻譜有多個(gè)響應(yīng)峰值，線性裝置速度響應(yīng)整體優(yōu)于非線性裝置，故在不規(guī)則波譜峰頻率較高時(shí)，非線性裝置能量俘獲不如線性裝置。

(a) ωp=0.75 rad/s

(b) ωp=2.0 rad/s

考慮到實(shí)際海況波浪譜峰頻率較低，通常遠(yuǎn)低于波浪能發(fā)電裝置的固有頻率，如中國渤海一年一遇的海浪譜峰頻率為0.79 rad/s[15]，因此在實(shí)際可利用海況中，非線性裝置可以俘獲更多的波浪能量。

6 結(jié) 論

(1) 在不規(guī)則波譜峰頻率較低時(shí)，基于非線性能量俘獲機(jī)制的直驅(qū)裝置比線性直驅(qū)裝置可以俘獲更多的平均能量，且瞬時(shí)能量俘獲頻譜帶寬也更寬，因此更有利于實(shí)際波浪能量的俘獲，但譜峰頻率較高時(shí)，俘獲能量較低。

(2) 基于線性機(jī)制的直驅(qū)裝置平均能量俘獲頻譜最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率與裝置固有頻率一致，而基于非線性機(jī)制的直驅(qū)裝置最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率小于裝置固有頻率，且隨著穩(wěn)定平衡位置的增大，最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率逐漸減小。

(3) 基于非線性機(jī)制的直驅(qū)裝置的穩(wěn)定平衡位置對(duì)能量俘獲性能有很大影響。穩(wěn)定平衡位置較低時(shí)，非線性裝置平均能量俘獲與線性裝置相似；穩(wěn)定平衡位置較高時(shí)，勢能障礙難以越過，平均俘獲能量較低，因此穩(wěn)定平衡位置的選取根據(jù)譜峰頻率的不同具有一個(gè)最優(yōu)區(qū)間。

[ 1 ] 訚耀保.海洋波浪能綜合利用[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013: 227-228,231-232.

[ 2 ] MUELLER M A. Electrical generators for direct drive wave energy converters[J]. IEE Proceedings-Generation, Transmission and Distribution, 2002, 149(4): 446-456.

[ 3 ] ERIKSSON M, ISBERG J, LEIJON M. Hydrodynamic modelling of a direct drive wave energy converter[J].International Journal of Engineering Science, 2005, 43(17): 1377-1387.

[ 4 ] ELOOD D, YIM S C, PRUDELL J, et al. Design, construction, and ocean testing of a taut-moored dual-body wave energy converter with a linear generator power take-off[J]. Renewable Energy, 2010, 35(2): 348-354.

[ 5 ] LEJERSKOG E, BOSTR?M C, HAI L, et al. Experimental results on power absorption from a wave energy converter at the Lysekil wave energy research site[J]. Renewable Energy, 2015, 77: 9-14.

[ 6 ] FALNES J. Ocean waves and oscillating systems: linear interactions including wave-energy extraction[M]. London: Cambridge University Press, 2002: 45-46.

[ 7 ] MANN B P, OWENS B A. Investigations of a nonlinear energy harvester with a bistable potential well[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(9): 1215-1226.

[ 8 ] HAME R L, SCHOEMAKER M E, DUSSAULT B E, et al. Wave heave energy conversion using modular multistability[J]. Applied Energy, 2014, 130: 148-156.

[ 9 ] PREUMONT A. Mechatronics: dynamics of electromechanical and piezoelectric systems[M]. Springer Science & Business Media, 2006: 87-89.

[10] SCRUGGS J, JACOB P. Harvesting ocean wave energy[J]. Science, 2009, 323(5918): 1176-1178.

[11] 覃嶺,吳必軍.復(fù)雜圓柱型波能裝置振動(dòng)特性研究[J].振動(dòng)與擊,2010,29(4): 188-192.

QIN Ling, WU Bijun. Oscillating property of a complex cylinder as a wave energy conversion device[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(4): 188-192.

[12] VICENTE P C, FALCO A F O, JUSTINO P A P. Nonlinear dynamics of a tightly moored point-absorber wave energy converter[J]. Ocean Engineering, 2013, 59: 20-36.

[13] TANG L, YANG Y, SOH C K. Toward broadband vibration-based energy harvesting[J]. J. Intell. Mater. Syst. Struct, 2010: 21(18), 1867-1897.

[14] 張顯濤. 振蕩浮體式波能發(fā)電裝置的水動(dòng)力研究[D].上海：上海交通大學(xué),2015： 55-57.

[15] 肖龍飛,楊建民,范模. 160kDWT FPSO在極淺水中運(yùn)動(dòng)安全性研究[J]. 船舶力學(xué),2006,10(1): 7-14.

XIAO Longfei, YANG Jianmin, FAN Mo, et al. Research on motions and safety performance of a 160kDWT FPSO in ultra-shallow water[J]. Journal of Ship Mechanics, 2006, 10(1): 7-14.