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    微線段齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

    2018-02-10 02:55:12康,
    振動(dòng)與沖擊 2018年2期
    關(guān)鍵詞:漸開(kāi)線線段幅值

    黃 康, 汪 濤

    (合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 合肥 230009)

    齒輪作為最廣泛的傳動(dòng)形式之一,其振動(dòng)與噪聲一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者普遍關(guān)注的問(wèn)題。漸開(kāi)線齒輪的動(dòng)力學(xué)特性已有大量研究,李潤(rùn)方等[1]系統(tǒng)的總結(jié)了漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Parker等[2]建立了兩自由度齒輪動(dòng)力學(xué)模型,分析了齒輪在不同轉(zhuǎn)動(dòng)頻率下的傳動(dòng)誤差的跳躍性;Vaishya等[3]建立了一對(duì)直齒輪的動(dòng)力學(xué)模型,研究了時(shí)變摩擦力對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的影響;陳思雨等[4]研究了修形對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)的特性的影響;李發(fā)家等[5]研究了高與低重合度對(duì)齒輪分叉與跳躍特性的影響;常樂(lè)浩等[6]提出了齒輪綜合嚙合誤差的計(jì)算方法并分析了嚙合誤差對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

    微線段齒輪[7]作為一種特殊齒形的齒輪,其通過(guò)齒形設(shè)計(jì)來(lái)達(dá)到凸凹嚙合,相比漸開(kāi)線齒輪其承載能力、耐磨性、傳動(dòng)效率均有所提高[8-12]。目前,對(duì)于微線段齒輪的研究主要集中于成形原理、參數(shù)選擇、強(qiáng)度分析等,但缺乏其動(dòng)力學(xué)特性研究。而本文針對(duì)微線段齒輪的特點(diǎn),利用有限單元法求解了微線段齒輪的時(shí)變嚙合剛度,并通過(guò)等效嚙合線法建立了微線段齒的動(dòng)力學(xué)模型求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),分析對(duì)比了兩種齒輪在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、全局幅頻響應(yīng)以及混沌分叉特性,為微線段齒輪的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。

    1 微線段齒輪參數(shù)

    由微線段齒輪的成型原理可知,微線段齒輪齒形主要取決于初始?jí)毫?、壓力角增量與初始基圓半徑,其成型由標(biāo)準(zhǔn)微線段齒條為基準(zhǔn),初始?jí)毫呛苄?,故選取很大的基圓半徑來(lái)保證較小的初始?jí)毫?。齒輪幾何參數(shù)及材料屬性見(jiàn)表1,其齒廓與漸開(kāi)線對(duì)比如圖1。

    表1 齒輪幾何參數(shù)及材料屬性

    圖1 微線段齒輪與漸開(kāi)線齒輪齒廓Fig.1 Tooth profile of micro-segment gear and involute gear

    2 動(dòng)力學(xué)模型

    2.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

    由于微線段齒廓的特殊性,傳統(tǒng)的漸開(kāi)線模型不能適應(yīng)于微線段齒輪。微線段齒輪具有多壓力角嚙合傳動(dòng)的特點(diǎn),其嚙合線為近似正弦曲線,且初始嚙合點(diǎn)以及曲線的幅值與齒輪的初始設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)。其嚙合線如圖2所示。

    圖2 微線段齒輪嚙合線Fig.2 Themeshing line ofmicro-segment gear

    用三階傅里葉變換擬合曲線,則等效側(cè)隙可表述為:

    建立一對(duì)微線段直齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型,假設(shè)傳動(dòng)軸和軸承均為剛性,考慮齒輪的綜合誤差,其模型簡(jiǎn)圖如圖4所示。

    圖3 微線段與漸開(kāi)線齒輪等效側(cè)隙Fig.3 Equivalent lateral clearance of micro-segment and involute gear

    圖4 直齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.4 Torsional vibration model of spur gear pair

    則根據(jù)牛頓第二定律,主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為:

    (1)

    2.2 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

    齒輪的時(shí)變嚙合剛度是影響齒輪動(dòng)力學(xué)特性的主要因素之一,本文通過(guò)有限元法,建立微線段與漸開(kāi)線齒輪的多齒嚙合模型,保留整個(gè)齒圈,并通過(guò)接觸分析求解得到齒輪的節(jié)點(diǎn)位移。微線段齒輪的嚙合有限元模型,如圖5。

    圖5 微線段齒輪有限元模型Fig.5 Finite element model of micro-segment gear

    齒輪1(左)為主動(dòng)輪,在主從動(dòng)輪中心建立參考點(diǎn),主從動(dòng)輪內(nèi)圈分別耦合參考點(diǎn)建立剛性連接。僅保留主動(dòng)輪周向旋轉(zhuǎn)自由度,從動(dòng)輪全約束,并設(shè)置多齒接觸對(duì)。在主動(dòng)輪參考點(diǎn)上施加扭矩Ta,求解有限元模型,計(jì)算主動(dòng)輪的相對(duì)轉(zhuǎn)角θ,則此嚙合位置下的齒輪嚙合剛度k與轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系可表示為:

    kRaθ=Ta/Ra

    (2)

    將嚙合過(guò)程離散化,通過(guò)旋轉(zhuǎn)主從動(dòng)輪使得主從動(dòng)輪處于不同的嚙合位置,分別求解有限元模型,得到嚙合過(guò)程中不同位置下的嚙合剛度,擬合得其剛度曲線如圖6。

    圖6 微線段與漸開(kāi)線齒輪時(shí)變嚙合剛度Fig.6 Time-varying meshing stiffness of micro-segment and involute gear

    由于微線段齒輪為凹凸接觸,且齒根較寬,其接觸彎曲接觸強(qiáng)度高,但重合對(duì)相比漸開(kāi)線有所降低。微線段齒輪剛度取決于其初始參數(shù)的選取,通過(guò)選取不同參數(shù)能夠得到不同的剛度特性。將兩種齒輪剛度曲線通過(guò)傅里葉擬合后代入動(dòng)力學(xué)方程中求解。

    2.3 方程的無(wú)量綱化

    (3)

    將齒輪綜合傳動(dòng)誤差表示為:

    (4)

    對(duì)方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱化,則無(wú)量綱化后的方程為:

    (5)

    3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

    3.1 不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)響應(yīng)

    取b=100μm,ζ=0.1,分別取Ω=0.2、0.8、1.6、2,T=200 N·M、600 N·M、1 000 N·M、1 000 N·M,利用變步長(zhǎng)4階龍格庫(kù)塔 (Runge-Kutta)法求解動(dòng)力學(xué)方程,分析系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖7所示。

    由圖7可知,Ω=0.2時(shí),兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng),微線段齒輪振動(dòng)幅值較大;當(dāng)Ω增大到0.8時(shí),從相圖中可以看出兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng),微線段齒輪的振動(dòng)均值與幅值均明顯小于漸開(kāi)線;當(dāng)Ω為1.6時(shí),兩種齒輪均出現(xiàn)了超諧與次諧響應(yīng),由相圖可知,此時(shí)漸開(kāi)線齒輪為四周期運(yùn)動(dòng),微線段齒輪為雙周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)Ω為2.2時(shí),兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng),且微線段齒輪的振動(dòng)均值與幅值均明顯小于漸開(kāi)線。

    綜合四種頻率的系統(tǒng)響應(yīng)可知,由于微線段齒輪剛度較大,重合度較低,在輕載時(shí)更容易發(fā)生脫齒與沖擊,在中高速重載傳動(dòng)時(shí),具有良好的動(dòng)力學(xué)特性,且相比漸開(kāi)線齒輪有較好的穩(wěn)定性。

    3.2 系統(tǒng)的全局響應(yīng)與分叉特性

    為了對(duì)比分析微線段齒輪與漸開(kāi)線齒輪的特性,研究不同參數(shù)下系統(tǒng)的全局幅值響應(yīng)與分叉特性。選取b=100 μm,取ζ=0.05時(shí),兩種齒輪的幅值曲線,如圖8。

    圖8中xmax、xm分別代表系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大值與均值。由圖8可知,兩種系統(tǒng)均產(chǎn)生了亞諧波共振(Ω=0.5)。微線段齒輪的共振峰值與均值相比漸開(kāi)線齒輪偏小。當(dāng)取Ω=0.68、1.258時(shí),兩種齒輪幅頻曲線均有跳躍現(xiàn)象,且伴隨有脫齒現(xiàn)象。由于跳躍和系統(tǒng)運(yùn)行的周期穩(wěn)定相關(guān),因此,需要對(duì)該情況下的運(yùn)行多值性和跳躍現(xiàn)象進(jìn)行研究。

    在本文設(shè)置的微線段參數(shù)下,相比漸開(kāi)線齒輪,微線段齒輪在大部分轉(zhuǎn)速區(qū)域穩(wěn)態(tài)均值與幅值均低于漸開(kāi)線,且在中高速轉(zhuǎn)速區(qū)域更加明顯。

    Ω=0.2,T=200 N·M

    Ω=0.8,T=600 N·M

    Ω=1.6,T=1 000 N·M

    Ω=2.2,T=1 000 N·M圖7 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of gear system

    圖8 幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude frequency response curve

    由于傳動(dòng)誤差以及間隙的存在,隨著轉(zhuǎn)速的增加系統(tǒng)響應(yīng)周期發(fā)生相應(yīng)的變化。利用數(shù)值仿真研究其分叉特性,其響應(yīng)周期隨頻率比的分叉如圖9所示。

    圖9 微線段與漸開(kāi)線齒輪分叉特性Fig.9 Bifurcation properties of micro-segment and involute gear

    由圖9可知,系統(tǒng)響應(yīng)周期隨著Ω增大而發(fā)生變化。當(dāng)Ω增大到1.02時(shí),兩種齒輪系統(tǒng)均由單周期響應(yīng)分叉為雙周期響應(yīng),當(dāng)Ω增大到1.36時(shí),微線段齒輪系統(tǒng)再次發(fā)生周期倍化分叉,漸開(kāi)線齒輪保持單周期響應(yīng);當(dāng)Ω增大到1.43時(shí),漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)進(jìn)入混沌響應(yīng)狀態(tài),至Ω=1.95時(shí)系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過(guò)倒分岔進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最終通過(guò)穩(wěn)定吸引子鎖相為單周期運(yùn)動(dòng)。而微線段齒輪在Ω增大到1.6后發(fā)生短暫混沌響應(yīng),并較漸開(kāi)線齒輪提前結(jié)束多周期響應(yīng)進(jìn)入單周期穩(wěn)定狀態(tài)。

    由于微線段齒輪齒廓的特殊性,其嚙合線的非直線性在一定程度上降低了加工誤差等對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的影響。而誤差激勵(lì)對(duì)漸開(kāi)線齒輪在較大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生較大影響,齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍較微線段齒輪要大的多,因此微線段齒輪對(duì)轉(zhuǎn)速的周期穩(wěn)定性要優(yōu)于普通漸開(kāi)線齒輪。由于混沌運(yùn)動(dòng)加劇齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲,相對(duì)漸開(kāi)線齒輪,微線段齒輪可以有效降低齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲。

    4 結(jié) 論

    (1)利用ANSYS建立了微線段齒輪的有限元模型,并通過(guò)接觸分析得到了微線段齒輪的時(shí)變剛度曲線??紤]了微線段齒輪齒廓的特殊性,建立了適用于微線段齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,并通過(guò)數(shù)值法來(lái)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

    (2)分析對(duì)比了不同轉(zhuǎn)速下微線段以及漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的差別,并通過(guò)全局分析指出了系統(tǒng)的亞諧共振和系統(tǒng)的幅值階躍現(xiàn)象。結(jié)果表明,微線段齒輪在中高速重載時(shí)相比漸開(kāi)線齒輪有更好的動(dòng)力學(xué)性能。

    (3)通過(guò)系統(tǒng)的全局分叉研究,在本文參數(shù)下的微線段齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍相比漸開(kāi)線齒輪要小,系統(tǒng)更加穩(wěn)定。

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