關(guān)于區(qū)分命題的條件和結(jié)論的調(diào)查及思考*

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(寧波大學附屬學校,浙江 寧波 315033)

1 背景介紹

學生學習的數(shù)學命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》對區(qū)分命題的條件和結(jié)論的教學要求是“結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論”[1].事實上，學生區(qū)分命題條件和結(jié)論不是一件容易的事，特別是對區(qū)分含有多個幾何條件的約略命題的條件和結(jié)論更有困難.為了解教師對命題條件和結(jié)論的理解情況，筆者借助教師培訓活動對48位教師進行了有目的的調(diào)查.

2 調(diào)查方法

首先，筆者用多媒體呈現(xiàn)下列問題及教學參考書提供的答案.

問題1 命題“三角形的兩邊之和大于第三邊”的條件和結(jié)論分別是什么？

教學參考書提供的答案是：條件是“三角形的兩條邊之和”；結(jié)論是“大于第三邊”[2].

問題2 命題“三角形3個內(nèi)角的和等于180°”的條件和結(jié)論分別是什么？

教學參考書提供的答案是：條件是“3個角是一個三角形的內(nèi)角”；結(jié)論是“這3個角的和等于180°”[2].

其次，筆者要求教師用書面的方式獨立回答下列問題：

1)對于問題1，教學參考書提供的答案正確嗎？如果不正確，應(yīng)該怎樣修改？

2)上述兩個命題的結(jié)構(gòu)完全相同，為何問題1教學參考書是從數(shù)量關(guān)系的角度來表述命題的條件，而問題2教學參考書是從位置關(guān)系的角度來表述命題的條件？

3)對含有多個幾何條件的約略命題是否可用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系這兩種形式來表述命題的條件？如果你認為可以的話，請舉例說明.

3 調(diào)查結(jié)果及分析

3.1 調(diào)查結(jié)果

對于問題1)，統(tǒng)計結(jié)果是：有16人表示教學參考書提供的答案是正確的；有18人表示教學參考書提供的答案不夠具體，應(yīng)改為：條件是“一條線段是三角形兩條邊之和”，結(jié)論是“這條線段大于三角形的第三邊(線段)”；有14人沒有具體的態(tài)度.對于問題2)，統(tǒng)計結(jié)果是：所有被調(diào)查的教師沒有作出正確的回答.對于問題3)，統(tǒng)計結(jié)果是：有38人認為可以用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系來表述命題的條件，但舉例說明的只有2人，例如，問題1中的條件可以是“兩條線段是三角形的兩條邊”，結(jié)論可以是“這兩條線段(邊)的和大于三角形的第三邊(線段)”；有10人表示不明確.

3.2 原因分析

事實上，問題1中教學參考書提供的答案是約略的說法，顯然不規(guī)范.因為命題的條件和結(jié)論應(yīng)該是有判斷的陳述句，但這里的條件不是有判斷的陳述句，結(jié)論的判斷也不完整，不知道什么大于第三邊.之所以部分教師不能正確地回答問題1)，是因為教師不明確這部分命題的條件和結(jié)論的基本要求.事實上，教學參考書對問題1和問題2只提供一種答案是不完整的.例如，問題2還有一種答案是：條件是“一個角的度數(shù)是三角形3個內(nèi)角的和”，結(jié)論是“這個角的度數(shù)等于180°”.之所以部分教師不能正確地回答問題2)，是因為這部分教師往往把教學參考書提供的答案作為標準答案，而自己對這類問題缺乏深入的思考.事實上，對含有多個幾何條件的約略命題可用位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這兩種形式來表述命題的條件.之所以部分教師不能正確地回答問題3)，是因為這部分教師缺乏對這類問題的研究，不敢提出與教學參考書不同的表述形式.

4 結(jié)論及建議

4.1 結(jié)論

盡管在浙教版《數(shù)學》八年級上冊第1.2節(jié)“定義與命題”中有這樣的陳述：判斷某一件事情的句子叫做命題，在數(shù)學上學習的命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項得到的事項.這樣的命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開始的部分是條件，“那么”后面的部分是結(jié)論.但對48位教師的調(diào)查結(jié)果可以估計教師對命題條件和結(jié)論的理解存在偏差的現(xiàn)象具有普遍性，特別是不明確對含有多個幾何條件的約略命題可用數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系這兩種形式來表述命題的條件.

4.2 建議

1)教材應(yīng)顯化命題的條件和結(jié)論的基本要求——命題的條件應(yīng)該是有判斷的陳述句(命題的子命題)，命題的結(jié)論也應(yīng)該是有判斷的陳述句(命題的子命題).這樣就不會出現(xiàn)上述教學參考書中提供的不完整的說法.

2)教學參考書應(yīng)提供完整的答案.教學參考書在區(qū)分含有多個幾何條件的約略命題的條件和結(jié)論時，只提供了通俗說法，應(yīng)提供完整的答案，以幫助教師明確可用位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這兩種形式來表述命題的條件.例如，區(qū)分下列命題的條件和結(jié)論都有兩種答案.

例1說出命題“等腰三角形的兩個底角相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“一個三角形是等腰三角形”；結(jié)論是“這個三角形的兩個底角相等”.

答案2條件是“兩個角是等腰三角形的底角”；結(jié)論是“這兩個角相等”.

例2說出命題“等角的余角相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“兩個角相等”；結(jié)論是“這兩個角的余角相等”.

答案2條件是“兩個角是等角的余角”；結(jié)論是“這兩個角相等”.

例3說出命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的條件和結(jié)論.

答案1條件是“一個點在線段的垂直平分線上”；結(jié)論是“這個點到線段兩端的距離相等”.

答案2條件是“兩條線段的長度分別是線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離”；結(jié)論是“這兩條線段相等”.

3)教材要修改不正確的表述.例如，浙教版《數(shù)學》八年級上冊第2.5節(jié)中例1的表述需要修改.例1是說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.事實上，這個命題有以下兩個逆命題：

逆命題1 如果一個點到線段兩端的距離相等，那么這個點在線段的垂直平分線上.

逆命題2如果兩條線段相等，那么這兩條線段的長度是線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離.

顯然，逆命題1是真命題，而逆命題2是假命題.因此，教材的這個例題應(yīng)修改成：請說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題.這樣涉及了兩種情況并且兩種情況都能證明(或舉反例說明).在此基礎(chǔ)上，把真命題凸顯出來——作為定理使用，這樣顯得更順理成章.

總之，區(qū)分命題的條件和結(jié)論，教材應(yīng)給出具體的標準，以避免教師混淆.否則教師都感到困惑，學生就達不到“結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論”的要求.