王荔枝
雙曲線是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何模型.它在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圓錐曲線橢圓的基礎(chǔ)上,運(yùn)用類比的方法研究雙曲線,使學(xué)生體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn).在雙曲線的學(xué)習(xí)中,學(xué)生要熟練掌握探究定義、推導(dǎo)方程的思想方法,為解析幾何的學(xué)習(xí)起到承上啟下、完善建構(gòu)、拓展提高的作用.
一、學(xué)情分析及教學(xué)重難點(diǎn)
1.學(xué)情分析.學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了解析幾何課程的特征,并且已經(jīng)初步體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,有了研究橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的經(jīng)歷.這些知識(shí)都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).在研究橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),學(xué)生已有動(dòng)手體驗(yàn)和探究興趣,有一定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰σ约耙欢ǖ挠^察分析、猜想判斷及邏輯推理的能力.學(xué)生剛剛升入高二,分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算能力還有待提高,對(duì)于復(fù)雜問題的解決還需教師的啟發(fā)、引導(dǎo)、示范.
2.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).重點(diǎn)是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.難點(diǎn)是對(duì)雙曲線定義的剖析和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的化簡(jiǎn).
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能.通過實(shí)驗(yàn),抽象出雙曲線的定義;通過類比橢圓,推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.過程與方法.讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線的形成過程,建構(gòu)模型,抽象概括定義.運(yùn)用自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式.通過類比橢圓,學(xué)習(xí)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.
3.情感態(tài)度價(jià)值觀.通過查找實(shí)例資料和動(dòng)手實(shí)踐,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又作用于實(shí)踐,生活中處處有數(shù)學(xué).讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).
三、教學(xué)過程
1.問題導(dǎo)引,進(jìn)入新課(進(jìn)入定義研究).問題1:同學(xué)們,圓錐曲線的家族有幾個(gè)成員?(容易回答:3個(gè).)問題2:我們認(rèn)識(shí)了幾個(gè)?都是誰?(容易回答:1個(gè),橢圓.)問題3:我們是如何學(xué)習(xí)橢圓的?(容易回答:先學(xué)習(xí)定義,再探究方程,最后研究性質(zhì).)設(shè)計(jì)意圖:回顧橢圓定義為引出雙曲線的定義作好鋪墊.問題4:我們今天要研究第二個(gè)成員雙曲線,如何研究呢?(容易回答:類比橢圓,按照相同的順序和方法研究.)問題5:橢圓的是如何定義的呢?如何畫出來的?(容易回答:闡述定義,并敘述實(shí)踐做橢圓的過程.)問題6:我們把橢圓定義中的“和”改為“差”會(huì)如何呢?對(duì)于這個(gè)問題課前已以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式布置給學(xué)生(讓學(xué)生以小組形式完成),學(xué)生可以通過上網(wǎng)搜索、查閱資料等方式探究平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.
2.學(xué)生實(shí)踐,感知曲線.各小組學(xué)生根據(jù)自己組的設(shè)計(jì)(自制拉鏈或筆筒教具),完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).設(shè)計(jì)意圖:動(dòng)手操作,直觀感知,提高學(xué)合作意識(shí)和合作能力,激發(fā)學(xué)生興趣.
3.動(dòng)態(tài)演示,分析曲線.問題7:根據(jù)你們的作圖,誰能給出雙曲線的定義?教師借助幾何畫板展示與學(xué)生一道抽象出雙曲線定義.問題8:形成雙曲線的動(dòng)點(diǎn)滿足什么幾何條件?絕對(duì)值問題:左右兩支上的點(diǎn)分別滿足的幾何條件.參數(shù)限制問題:參數(shù)2a可以是任意數(shù)嗎?
4.小組展示,實(shí)際應(yīng)用.各小組利用PPT展示雙曲線的實(shí)際應(yīng)用,如冷卻塔,埃菲爾鐵塔,北京交通規(guī)劃圖等圖片.設(shè)計(jì)意圖:(1)讓學(xué)生了解雙曲線在科研、生產(chǎn)、實(shí)際生活的作用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活,以數(shù)學(xué)模型為素材.(2)從具體到抽象,將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型,有利于認(rèn)識(shí)事物.問題9:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢?該如何探究?
5.設(shè)計(jì)方案,獨(dú)立完成(推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程).問題10:根據(jù)橢圓的研究方法,我們應(yīng)該如何探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?(學(xué)生類比橢圓的研究過程,說出研究方案,然后獨(dú)立完成.)問題11:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式?雙曲線呢?(容易產(chǎn)生另一種形式的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步鞏固類比的方法.)
6.學(xué)以致用,鞏固提高.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
四、教學(xué)反思
在本節(jié)課的教學(xué)中,重點(diǎn)放在定義的形成和標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握,符合高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求,引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)有機(jī)融合,掌握知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).運(yùn)用多媒體輔助教學(xué),既能直觀地展示點(diǎn)的軌跡,又能體現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系,對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生既起到了激發(fā)興趣的作用,又能從數(shù)與形的關(guān)系中找到解決問題的切入點(diǎn).endprint