例說數(shù)學(xué)推理要防止發(fā)生邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤

北京市人大附中分校(100080) 高三4班 馬錦赫 指導(dǎo)老師 秦慶堯

例1(2010年自主招生,北大、港大、北航三校聯(lián)考題)已知0＜x＜,求證:sinx＜x＜tanx.

這個(gè)不等式的證明,還是要像微積分教材上那樣,利用幾何法和三角函數(shù)定義證明較妥.

證明 (命題人給出的證明是用三角函數(shù)導(dǎo)數(shù))在上,f′(x)=-xsinx ≤ 0,所以,f(x)是減函數(shù),所以,f(x)≤f(0)=0.

所以,這個(gè)證明同樣犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

這個(gè)證明同例1所犯的錯(cuò)誤類似.我們知道,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是由重要極限推導(dǎo)出來的,而證明這個(gè)重要極限就是證明數(shù)列單調(diào)遞增有上界,現(xiàn)在我們證明這個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增,卻利用了對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這就犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

例4 證明勾股定理:在 △ABC 中,∠C=90?,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則a2+b2=c2.

證明 以直線CA為x軸,直線CB為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(b,0),B(0,a).由兩點(diǎn)間的距離公式得:

即a2+b2=c2.

這個(gè)所謂的證明是很荒唐的,實(shí)際上就是利用勾股定理證明勾股定理.在解析幾何中,兩點(diǎn)間的距離公式是由勾股定理推導(dǎo)出來的,所以,證明勾股定理是不能利用兩點(diǎn)間的距離公式的.勾股定理是建立解析幾何的理論基礎(chǔ),理論上坐標(biāo)法可以證明所有幾何定理,唯獨(dú)不能證明勾股定理.

例5用有理數(shù)項(xiàng)的數(shù)列的極限定義無理數(shù).

就像利用整數(shù)定義分?jǐn)?shù)一樣,用有理數(shù)定義無理數(shù)是一件很自然的事情,但不能使用極限概念,因?yàn)闃O限概念是建立在實(shí)數(shù)概念的基礎(chǔ)之上的.

下面我們對數(shù)列極限的定義作一分析:

定義 對于數(shù)列{an},若存在常數(shù)A,對于?ε＞0,?N,當(dāng)n＞N 時(shí),|an-A|＜ε,則稱數(shù)列{an}的極限是A.

在這個(gè)定義中,常數(shù)A是一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)定義使用了不等式,而不等式是實(shí)數(shù)的性質(zhì),也就是說,極限概念是利用實(shí)數(shù)概念定義的,所以,我們不能再利用極限概念定義實(shí)數(shù)概念,否則,兩個(gè)概念相互定義,就犯了邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤,這就是為什么戴德金用有理數(shù)集的“分割”這種極不自然的方法定義無理數(shù)的原因.

指導(dǎo)教師點(diǎn)評 邏輯循環(huán)是數(shù)學(xué)推理中極易發(fā)生的錯(cuò)誤,本文的五個(gè)實(shí)例很有意思.關(guān)于例5,歷史上,直到柯西,都還沒有意識到用極限定義無理數(shù)是不允許的,真正正確定義了無理數(shù)的人是魏爾斯特拉斯、戴德金和康托.關(guān)于無理數(shù)定義的這段歷史,可以閱讀美國人卡爾.B.波耶寫的《微積分概念發(fā)展史》第7章.