用相對性原理理解電場和磁場

曾永志 黃碧華

(福州大學(xué)物理與信息工程學(xué)院， 福建 福州 350108)

我們從小就被教育如何使用“發(fā)明”和“發(fā)現(xiàn)”這兩個詞匯。比如，我們說：牛頓“發(fā)現(xiàn)”了萬有引力定理，法拉第“發(fā)現(xiàn)”了電磁感應(yīng)定律，等等，也就是說，“發(fā)現(xiàn)”主要用在描述“科學(xué)”的范疇，因為科學(xué)規(guī)律本來就存在，只是以前的人們沒有發(fā)現(xiàn)而已。“發(fā)明”這個詞匯的用途就不同了，比如，瓦特“發(fā)明”了蒸汽機，愛迪生“發(fā)明”了電燈，等等，也就是說，“發(fā)明”主要應(yīng)用在描述“技術(shù)”的范疇，被“發(fā)明”的東西以前是不存在。

但是，從更深的層次考慮，科學(xué)定理也應(yīng)該用“發(fā)明”這個詞匯。比如，牛頓“發(fā)明”了一套“萬有引力”的解釋系統(tǒng)，用來解釋兩個物體相互環(huán)繞的現(xiàn)象，也就是說，萬有引力是被牛頓發(fā)明出來的，用這樣的方法能夠非常簡明地解釋物體之間的相互作用。同樣的問題，愛因斯坦就不認(rèn)為物體之間存在著引力，而是采用質(zhì)量引起空間彎曲的方法，同樣能夠解釋物體之間相互環(huán)繞的現(xiàn)象。

現(xiàn)在，我們從不同的角度來看看電場和磁場的問題。

1 電磁場的相關(guān)性

我們知道，靜止的電荷產(chǎn)生電場，而運動的電荷產(chǎn)生磁場，可以用下面的公式表示[1]：

(1)

其中,r為電荷與觀測點的距離;為電荷運動的速度。

但是這兩個公式與相對性原理存在著矛盾，所謂的相對性原理，就是“任何物理定律在任何參考系中都具有相同的形式”。換一句比較通俗的話，就是在任何人的眼中，物理現(xiàn)象大致相同。仔細考量一下式(1)，就可以發(fā)現(xiàn)與相對性原理矛盾的地方。比如，我們測量一個和我們相對靜止的電荷，此時，我們只能測量到電場，而沒有磁場。但是，如果我們一邊跑，一邊進行測量，這時，對于我們來說，這個電荷具有運動速度，此時我們不僅能測量到電場，同時也能測量到磁場。這就是說，“站立的我”和“奔跑的我”對于同一個電荷進行測量，產(chǎn)生了不同的結(jié)果，也就是說“站立的我”和“奔跑的我”看到了兩個不同的世界。

電場、磁場是不是一種不依賴于我們主觀意識的客觀實在？還是僅僅只是我們的心理圖像？那么，哪些物理量在不同參照系中是不變的；哪些僅僅是我們?yōu)榱嗣枋龅姆奖愣氲膮⒘?，這些參量在不同的參照系中，有不同的表現(xiàn)。

相對性原理認(rèn)為：物理規(guī)律在慣性系下具有不變性，也就是說，在不同參照系上的人都會在同樣“物理輸入”的情況下，得到同樣的“物理輸出”。比如，“物理輸入”為一個帶電粒子相對于某個參照系以速度勻速運動，“物理輸出”為該粒子的運動軌跡。在不同參照系的觀察者應(yīng)該在粒子運動軌跡上取得一致意見，而至于如何解釋粒子的運動軌跡，也就是粒子受到作用力的來源可以各不相同，粒子受到的可以是電場力，也可以認(rèn)為是磁場力。

為了更清楚看清這一點，我們考慮一個例子。一個電子沿著平行于直導(dǎo)線勻速向右運動，導(dǎo)體中的電流方向向左，如圖1所示。為了方便討論，我們做兩點假設(shè)：①導(dǎo)體中的電子與導(dǎo)體外的電子具有同樣向右的運動速度；②在以導(dǎo)體為參照系(該參照系設(shè)為Σ)中，導(dǎo)體處于電中性，也就是，導(dǎo)體中的正離子密度和電子密度相等，即λ+=λ-。

在Σ中，在導(dǎo)體外面，磁場的方向如圖1(a)所示。導(dǎo)體外的電子受到方向指向?qū)w磁場力的作用，電子將作類似平拋運動，電子與導(dǎo)體之間的距離將減小。如果我們以電子為參照系(設(shè)為Σ′)，這時，根據(jù)我們假設(shè)①，導(dǎo)體中的電子處于靜止?fàn)顟B(tài)，而正離子以速度v向右運動，導(dǎo)體中同樣出現(xiàn)了向右流動的電流，在導(dǎo)體周圍產(chǎn)生的磁場，如圖1(b)所示，由于導(dǎo)體外的電子處于靜止?fàn)顟B(tài)(v′=0)，并沒有受到磁場力的作用，電子在垂直于導(dǎo)線方向沒有加速度。但是，根據(jù)相對性原理，我們還應(yīng)該看到電子與導(dǎo)體的距離應(yīng)該變小，電子作類似平拋運動，也即導(dǎo)體外電子同樣應(yīng)該受到指向?qū)Ь€的作用力。那么，電子是否受到垂直于導(dǎo)體方向的力呢？

圖1 無限長載流直導(dǎo)線與電荷之間相互作用(a) 以導(dǎo)體為參照系； (b)以電子為參照系

由于帶電粒子只可能受到兩種力：電場力和磁場力。既然沒有受到磁場力，我們可以預(yù)測在Σ′系中，可能還會出現(xiàn)電場，電子會受到指向?qū)w的電場力作用，從而作類平拋運動。

為了理解這一點，我們從相對論的一些結(jié)論出發(fā)。在狹義相對論中，由于物體運動會在運動方向引起長度收縮，也就是洛倫茲收縮

(2)

可以發(fā)現(xiàn)，不同參照系的觀察者在電場強度和磁場強度方面無法取得一致的意見，對于帶電粒子是受到電場力還是磁場力也有不同的看法，也即，電場和磁場就像硬幣的兩個面，在一個參照系中表現(xiàn)為純磁場，而在另一個參照系中，卻變成電場和磁場的混合體。但是，他們一致同意導(dǎo)體將產(chǎn)生某種場(電磁場)，這種場使得導(dǎo)體外電子受到指向?qū)Ь€的作用力，這樣的作用效果與參照系無關(guān)的。這樣，電磁場基本理論就和相對性原理自洽了。

在電磁場中，一個帶電粒子的受力可以用洛倫茲公式來計算：

Fem=Fe+Fm=q(E+×B)

(3)

2 電磁場變換

在不同的參照系中，電磁場的變換公式為[3]

(4)

我們利用這組公式來計算幾個非常熟悉的問題。計算步驟為：

(1) 計算Σ系的電磁場(利用電磁學(xué)的公式)；

(2) 計算Σ′系的電磁場(利用電磁學(xué)的公式)；

(3) 利用式(4)，驗證上面兩個步驟得到的電磁場自洽。

例1 速度選擇器，這是我們從中學(xué)開始就非常熟悉的例子。在一個矩形箱子中同時存在電場和磁場，求當(dāng)帶電粒子q的速度v滿足什么條件時，粒子可以直線穿過矩形區(qū)域。

圖2 速度選擇器

解 設(shè)矩形區(qū)域為Σ系，要使得帶電粒子沿直線穿過矩形區(qū)域，必須電場力等于磁場力，即Fe=Fm，可以得到

在帶電粒子參照系(Σ′系)中，根據(jù)相對性原理，q也應(yīng)該不受到電磁力的作用。因為在Σ′系中，q的速度為零，沒有磁場力，因此，q受到的電場力也應(yīng)該為零，因此電場強度E′=0。

現(xiàn)在應(yīng)用式(4)驗證以上的結(jié)果：

在Σ系：

E=(0,E,0),B=(0, 0,E/v)

根據(jù)式(4)，容易得到Σ′系中的電場強度

E′=(0,0,0)

可以發(fā)現(xiàn)，與直接用電磁場得到的結(jié)果一致。當(dāng)然，根據(jù)式(4)也能得到Σ′系的磁場強度

因此，在Σ中，同時存在電場和磁場的混合體系，在Σ′系中，變成了純磁場體系了。

例2 一根導(dǎo)體棒在均勻磁場中向上作勻速運動，如圖3所示，分析其受力情況。

圖3 磁場中運動的導(dǎo)體棒(a) 以實驗室為參照系； (b) 以導(dǎo)體為參照系

解 在實驗室的參照系(Σ系)當(dāng)導(dǎo)體棒開始運動時，導(dǎo)體中的電子受到向右的磁場力，大小為

Fm=evB

電子將向右運動，使得導(dǎo)體棒右邊形成負(fù)電荷的積累，同時導(dǎo)體棒左邊出現(xiàn)正電荷。到達平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電荷受到的電場力與磁場力相等，即

eE=Fe=Fm=evB?E=vB

電場方向沿著z軸正方向。電場可以寫為E=(0,0,vB)，磁場B=(0,-B,0)。

如果采用導(dǎo)體的參照系(Σ′系)，當(dāng)導(dǎo)體棒開始運動時，導(dǎo)體棒中的電子始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，受到的磁場力為零。那么，是什么力驅(qū)使電子向右運動？利用式(4)，可以得到

即，E′=(0,0,0)，利用式(4)容易得到導(dǎo)體內(nèi)部的磁場強度

可以發(fā)現(xiàn)，在Σ中為電場、磁場混合體系，而在Σ′系中卻變成純磁場體系了。在兩個不同的參照系中，盡管觀察者對場的性質(zhì)有不同意見，對引起電子運動的原因卻有著完全不同的解釋，Σ系的觀察者認(rèn)為電子受到了磁場力的作用，而Σ′系的觀察者卻認(rèn)為電子受到了電場力的作用。但是他們都同意：電子向右運動，從而引起導(dǎo)體棒右端出現(xiàn)負(fù)電荷，同時在左端出現(xiàn)正電荷。這個例子再次說明了物理規(guī)律是與參照系無關(guān)的，至于如何解釋物理現(xiàn)象倒是與選擇的參照系相關(guān)。

例3 有一個均勻帶電無限大的平板，與實驗室處在相對靜止的狀態(tài)(Σ系)，其面電荷密度為σ0，在另一個沿著x方向以速度v勻速運動的參照系(Σ′系)。分別在這兩個參照系中計算各自的電場強度和磁場強度，并用式(4)進行驗證。

解Σ系中，根據(jù)對稱性分析，電場強度E=(0,Ey,0)為[1]

在Σ系，電荷處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，磁場強度為零，即B=0。

Σ′系中，相當(dāng)于平板向-x方向運動，如圖4(b)。此時，在x方向?qū)⒊霈F(xiàn)洛倫茲收縮，從而引起面電荷密度的增加，面電荷密度變?yōu)棣摇?γσ0。

圖4 均勻帶電平板(a) 以實驗室為參照系； (b) 以導(dǎo)體為參照系

由于平板的運動，出現(xiàn)了沿-x方向的面電流，面電流密度大小為α′=σ′v=γσ0v。

其中用到ε0μ0=1/c2，當(dāng)y<0時，取正號；y>0時，取負(fù)號。

下面利用式(4)驗證以上的結(jié)果。電場部分為

磁場部分為

可以看到，用電磁學(xué)的方法和用相對論變換的方法得到的電場和磁場關(guān)系的表達式相同。

3 電磁場的不變量

在人們探索自然界中，有兩條不同途徑構(gòu)建了整個物理學(xué)的大廈。第一，尋找不同物理量之間的關(guān)系，比如，牛頓第二定律、洛倫茲力公式、麥克斯韋方程組等。第二，尋找在同一個物理過程不同階段的“守恒量”、一個物理過程的“最小量”、同一個物理過程在不同參照系中的“不變量”，比如，能量守恒定律、動量守恒定律、最小作用量原理，電荷不變等，在變幻莫測的現(xiàn)象中，追求一個不變的規(guī)律，正是人們最原始的沖動。

根據(jù)相對論，電場和磁場可以構(gòu)成兩個洛倫茲不變量[3]

我們用這兩個不變量去驗算一下前面的3個

例子：

4 結(jié)語

通過上面的討論我們發(fā)現(xiàn)，只有將電場、磁場看成一個整體才能夠完整地描述電荷的相互作用，電場和磁場在不同的參照系中有不一樣的比例。因此，可以認(rèn)為電場、磁場互為相對論效應(yīng)，只有這樣，才能使得電場和磁場的計算方法與相對性原理自洽。

[1]ZHAOKaiHua,CHENXimo.Electromagnetics[M]. 3rded.Beijing：HigherEducationPress，2011.

[2]FEYNMAN.LecturesonPhysics,VolumeⅡ[M].Beijing：Addison-WesleyPublishingCompany，2009.

[3]GUOShuohong．Electrodynamics[M]．Beijing：HigherEducationPress， 2009.