基于均值逼近算法的光纖陀螺溫度補償方法①

石 雪, 胡宗福， 傅長松

(1.同濟大學電子與信息工程學院，上海 201804；2.上海航天控制技術研究所慣導部，上海 201109)

0 引 言

光纖陀螺憑借著啟動快，動態(tài)范圍大等優(yōu)點，在慣導系統(tǒng)中具有至關重要的作用。然而，光纖陀螺的零偏漂移對溫度的變化非常敏感，這一特點大大地降低了系統(tǒng)性能[1]。目前，在工程實踐中，尤其在溫度不斷變化的環(huán)境中仍然要求高精度的情況下，溫度變化引起的零偏漂移成為非常重要的問題之一。而在工程實踐中，通常有兩種方法來降低溫度依賴性：第一種方法是利用溫控設備來縮小溫度的變化范圍，但是引進溫控設備會增加項目資金的投入[2]；第二種方法是通過數學建模，找出環(huán)境溫度與光纖陀螺零偏輸出的關系，建立溫度模型，進行溫度補償，降低溫度依賴性[3]。在各類溫度補償方法的理論基礎上，基于高斯分布的均值逼近算法，更好地提高了光纖陀螺的輸出精度。

1 現(xiàn)有補償方法

光纖陀螺的零偏誤差，又稱Shupe效應誤差，主要是由于溫度變化，在光纖線圈內相向傳播的兩束光波所經歷的光程不一致造成的[4]。對于四極柱形繞法繞制的光纖線圈，如圖1所示，光纖線圈上的零偏漂移為：

(1)

圖1 光纖線圈示意圖

由Shupe效應原理以及公式(1)可知，在已知光纖線圈繞法的前提下，光纖陀螺的零漂可通過光纖線圈上每一點的溫度變化率計算得出。目前在理論研究以及實踐應用中，普遍采用兩種方法來獲得光纖線圈上每一點的溫度變化率，第一種是通過分離變量法來計算熱傳導方程，獲得光纖線圈每一點溫度的解析解[5]。由于無限項因子的存在，數值計算只能取有限項，使得計算出的光纖陀螺零漂有較大的誤差。第二種方法是通過有限元法計算熱傳導方程，獲得光纖線圈每一點溫度的離散解。有限元法在尋找最優(yōu)的分割單元時會引入額外的誤差，并且計算量較大[6]。因此，通過計算光纖線圈每一點的溫度變化率來得到光纖陀螺的零偏漂移存在一定的局限性。機器學習算法側重于研究環(huán)境溫度的變化與光纖陀螺零漂的關系，并非光纖線圈中每一點的溫度變化，這大大簡化了計算復雜度，在一定程度上提高了輸出精度。

圖2 機器學習系統(tǒng)框圖

如圖2所示，機器學習方法就是通過對訓練集樣本進行統(tǒng)計分析，依據一定的概率，確定輸入與輸出之間的關系，從而對新的輸入獲取更準確的模型值。目前，很多機器學習方法可以用來降低光纖陀螺的溫度依賴性[7]。多項式回歸實現(xiàn)比較簡單，計算也不復雜，但對非線性數據的擬合效果不佳，高次多項式容易出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象。為了抑制多項式回歸的過擬合現(xiàn)象，光滑樣條將樣本點分段進行低次多項式回歸[8]，但由于分段結點處存在約束條件，計算量較大，光滑參數也會引入新的誤差，降低了擬合精度。相比于多項式回歸算法，神經網絡回歸算法在擬合的準確度上有了很大的提升，另外它還具有并發(fā)能力強，魯棒性和容錯能力強等優(yōu)點[9]。然而，神經網絡算法的缺點是需要大量的參數，比如網絡拓撲結構的權值等，另外，神經網絡算法還需要科學地確定各個閾值的初始值。復雜的結構和較多的參數導致神經網絡方法的學習時間較長，甚至得不到學習的結果。支持向量機使用核函數對高維數據進行降維，簡化了計算復雜度[10]。但是支持向量機中的核函數必須滿足Mercer條件，支持向量的個數也會隨著訓練集的增加而線性增加，增加了學習的時間。相關向量機采用一種全概率框架，引入基于模型權值的先驗概率，并為每一個權值引入一個超參控制。經過迭代，大部分權重會趨近于零，這使得相關向量機回歸模型更加稀疏[11]。當相關向量機與支持向量機的泛化性能相當時，相關向量機會使用更少的核函數[12]。但是相關向量機的缺點是建立回歸模型的時間較長，實時性較差，很難應用于實際應用中。相比于其他回歸算法，基于高斯分布的均值逼近算法在準確度和實時性上都有了一定的提高。

2 均值逼近算法基本原理

均值逼近算法是一種基于預測變量服從高斯分布的情況下，使用極大似然估計得出每一個樣本點服從的高斯分布的均值和方差，進而利用估計出的均值來獲得模型值的方法。光纖陀螺的Shupe零偏輸出近似于服從高斯分布的白噪聲，而根據高斯分布的概率密度公式可知，高斯分布可以通過均值和方差來完全確定，因此均值逼近算法完全適用于研究環(huán)境溫度變化與光纖陀螺Shupe零偏輸出之間的關系。

圖3 環(huán)境溫度隨時間的變化關系

圖4 光纖陀螺零偏輸出隨時間的變化關系

均值逼近算法的基本步驟可以分為以下三步：

第i段陀螺Shupe零偏輸出數據集的似然函數可以表示為：

(2)

為了進行極大似然估計，將公式(2)簡化為以下形式：

(3)

第i段數據集服從的高斯分布的最大似然解為:

(4)

(5)

第二步，將研究窗口(d個樣本點的光纖陀螺零偏輸出)以一個樣本點為單位按時間順序向后移動，再次計算每個研究窗口內的光纖陀螺輸出樣本點的高斯分布的均值和方差。按照上述規(guī)則，進行d次極大似然估計。迭代結束后，每個樣本對應著d個高斯分布的均值和方差。第三步，每個陀螺Shupe零偏輸出樣本點的模型值為對應的d個均值的平均值：

(6)

3 均值逼近算法實驗與仿真

為了研究光纖線圈的零偏輸出對于溫度的依賴性，首先通過溫度實驗采集一系列的Shupe零偏輸出樣本點，然后分別采用各類回歸模型對獲得的樣本點進行統(tǒng)計分析，最終通過對比剩余平方根來獲取最優(yōu)的溫度模型。對光纖陀螺進行溫度補償的步驟主要分為以下三步：數據的預處理，選取補償效果最優(yōu)的溫度模型，以及對光纖陀螺Shupe零偏輸出進行補償。

3.1 數據預處理

本次實驗為循環(huán)溫度實驗，溫度隨時間的變化曲線如圖3所示，溫度變化范圍為-40℃到60℃。如圖4所示，本次實驗可以獲取光纖陀螺零偏輸出隨環(huán)境溫度變化的離散樣本點。為了更好地進行統(tǒng)計分析，零偏輸出可以通過相應的轉換關系將數字量轉換成模擬量。由圖5光纖陀螺零偏輸出的直方圖以及Q-Q圖可知，光纖陀螺的零偏輸出服從高斯分布，這為溫度模型的建立提供了必要的前提。

圖5 光纖陀螺零偏輸出的直方圖以及Q-Q圖

由圖3和圖4可知，溫度是時間的顯函數，光纖陀螺零偏輸出是時間的顯函數，因此，光纖陀螺零偏輸出是溫度的隱函數，本次實驗可以通過研究光纖陀螺零偏輸出隨時間的變化關系，來獲取零偏輸出隨溫度的變化關系，從而建立溫度模型。另外，光纖陀螺零偏輸出的樣本點中有幾個離群的點，根據準則，異常值為測定值中與平均值的偏差超過3倍標準差的值，因此，為了更好地進行均值逼近，應濾掉這些離群的異常值，減小異常值對均值的極大似然估計值的影響。光纖線圈的參數如表1所示。

表1 光纖線圈的參數

圖6 各類回歸模型擬合曲線對比圖(訓練集)

圖7 各類回歸模型擬合曲線對比圖(測試集)

3.2 回歸模型對比

采用隨機采樣的方法將實驗獲取到的樣本點分成訓練集和測試集，兩者樣本數的比例為2:1。根據圖6所示，隨著溫度的變化，光纖陀螺的零偏漂移產生了較大的波動，這說明光纖陀螺的零偏穩(wěn)定性較差。為了驗證均值逼近算法的優(yōu)越性，分別對實驗數據進行了四次多項式回歸、光滑樣條回歸、支持向量機回歸和均值逼近算法擬合的仿真。如圖6和圖7所示，四次多項式回歸模型并不能很好的體現(xiàn)數據的非線性特征，光滑樣條回歸和支持向量機的回歸模型比較相近，均值逼近算法能更好的體現(xiàn)實驗數據的非線性特征。

機器學習算法可以用剩余平方根來評判其模型對數據的適用性，測試集的剩余平方根越小，模型對數據的擬合精度越高。如圖8所示，在仿真實驗中，四次多項式回歸的剩余平方根最大，均值逼近算法的剩余平方根最小，雖然光滑樣條和支持向量機的剩余平方根與均值逼近算法的比較接近，但是兩者的學習過程較長。因此，均值逼近算法具有比較明顯的優(yōu)勢。

圖8 各類回歸模型的剩余平方根對比圖

圖9 各類回歸模型對光纖陀螺零偏輸出補償后數據的對比圖

3.3 補償數據

各類機器學習算法以及均值逼近算法的仿真實驗，得出了光纖線圈的溫度模型。每個樣本點的模型值可以對原始的光纖陀螺輸出數據進行補償，從而減小溫度誤差，提高陀螺的精度。如圖9所示，均值逼近算法對光纖陀螺輸出數據的補償效果最好，使光纖陀螺的零偏穩(wěn)定性減小了95%，光纖陀螺的零偏精度達到0.05°/h。而四次多項式的補償效果使光纖陀螺的零偏穩(wěn)定性只減小了85%，光纖陀螺的零偏精度僅達到0.15°/h，與均值逼近算法的相差了一個數量級。光滑樣條和支持向量機對光纖陀螺零偏輸出進行補償后，光纖陀螺的零偏精度達到了0.10°/h，但是實時性較差。因此，均值逼近算法的有效性和優(yōu)越性得到了充分的驗證。

4 結 語

基于高斯分布的均值逼近算法可以更好地補償光纖陀螺的零偏輸出。通過與其他回歸算法相比，均值逼近算法可以更準確地為光纖陀螺建立溫度模型。實驗結果表明，使用均值逼近算法，光纖陀螺的零偏輸出減小了95%，零偏精度達到了0.05°/h，該算法對于精度的提高優(yōu)于現(xiàn)有的其他方法。因此，均值逼近算法的有效性和優(yōu)越性得到了驗證，光纖陀螺的性能得到了提升。

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