淺析第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)哲學(xué)的影響

摘 要：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響不僅限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其在哲學(xué)、科學(xué)等領(lǐng)域也有著深刻的影響。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生與解決使得無(wú)窮問題浮出了水面，同時(shí)理性的精神也正式確立，并在此之后在哲學(xué)、數(shù)學(xué)與科學(xué)占據(jù)了統(tǒng)治地位，從而促進(jìn)了它們的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；無(wú)窮問題；理性精神

數(shù)學(xué)與哲學(xué)一樣，都是很古老的學(xué)科，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系也密不可分，其對(duì)哲學(xué)的影響也是極其巨大的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上總共出現(xiàn)了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，無(wú)論是無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、微積分理論的創(chuàng)立還是“羅素悖論”的提出，每一次危機(jī)的出現(xiàn)到解決都是一次人們的觀念從破碎到重塑的過程，一次思想的革命。三次危機(jī)不僅僅被數(shù)學(xué)家們討論，哲學(xué)家們也紛紛各抒己見，對(duì)當(dāng)時(shí)及以后的哲學(xué)產(chǎn)生了重大的影響，本文就以第一次數(shù)學(xué)危機(jī)而論，分析其對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生了怎樣的影響。

1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與解決

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)大約發(fā)生于公元前400年的古希臘，由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯發(fā)現(xiàn)了引發(fā)。

畢達(dá)哥拉斯無(wú)論在數(shù)學(xué)史還是在哲學(xué)史上都是一個(gè)重要的人物?！皵?shù)學(xué)，在證明式的演繹推論的意義上的數(shù)學(xué)，是從他開始的?！盵1]畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）的發(fā)現(xiàn)是畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派最重要的貢獻(xiàn)之一，而這個(gè)發(fā)現(xiàn)又直接引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。當(dāng)希帕索斯將畢達(dá)哥拉斯定理運(yùn)用到求邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線時(shí)，這時(shí)對(duì)角線長(zhǎng)為，這對(duì)于當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和希臘人來(lái)說是一個(gè)不可理解的數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們的普遍共識(shí)是，一切量都是可公度的。用現(xiàn)在的話說，希臘人認(rèn)為所有的數(shù)都可以用有理數(shù)表示，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù)和一個(gè)非零整數(shù)的比（可公度），即整數(shù)與分?jǐn)?shù)；而是一個(gè)無(wú)理數(shù)，不能被表示為兩個(gè)整數(shù)之比（不可公度）?！肮畔ＥD人使用‘有理、‘無(wú)理的術(shù)語(yǔ)，其原意是‘可比的與‘不可比的。”[2]后來(lái)又“派生出‘有理（合乎情理）的與‘無(wú)理的的含義?！盵3]“”的發(fā)現(xiàn)或許是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的另一個(gè)杰出貢獻(xiàn)，然而，對(duì)信仰“萬(wàn)物皆數(shù)”（這里的數(shù)是有理數(shù)）的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來(lái)說這卻是一個(gè)毀滅性的打擊，希帕索斯也被投進(jìn)了大海。不過這個(gè)發(fā)現(xiàn)很快就在社會(huì)上流傳開來(lái)，引起了廣泛的爭(zhēng)論，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)約在公元前370年由歐多克索斯解決，他將“比”定義為量而不是數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，建立了新的比例理論，從而對(duì)無(wú)理數(shù)“避而不談”。也就是說，他將數(shù)和幾何量分開，在數(shù)的領(lǐng)域中仍然認(rèn)為只有有理數(shù)，而在幾何的領(lǐng)域中，不論幾何量是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，都符合他所建立的比例理論。他的這種處理方法，被收錄在《幾何原本》的第五卷（比例）中。然而將數(shù)和幾何量分開的方法仍然沒有解決無(wú)理數(shù)的合法性問題，可以說歐多克索斯的解決是不徹底的，它反而將幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)“割裂”了，直到17世紀(jì)笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)之間的裂痕才逐漸被填上。之后再到19世紀(jì)實(shí)數(shù)理論的建立，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)才被確定下來(lái)，無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)上的合法性才得到承認(rèn)，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)到這里才算真正被解決。

2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)所帶來(lái)的

（一）、理性的勝利

從歷史上看，數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)和生活，主要用來(lái)解決實(shí)際問題。最初數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源主要是人們的觀察和經(jīng)驗(yàn)，正整數(shù)叫做“自然數(shù)”，或許就是從數(shù)數(shù)開始的。而分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，也許是由于平均分配一匹獵物，或者一塊土地的需要。在日常的生產(chǎn)生活中，只需要自然數(shù)與分?jǐn)?shù)就足夠了，因而“數(shù)只有自然數(shù)和分?jǐn)?shù)”這個(gè)觀念隨著時(shí)間的累積也就變得根深蒂固了。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，人們慢慢有了閑暇的時(shí)間，理性也開始慢慢發(fā)芽、生長(zhǎng)，當(dāng)推理和證明慢慢在數(shù)學(xué)中開始應(yīng)用，數(shù)學(xué)逐漸變?yōu)榍笾獣r(shí)，便可能會(huì)開始出現(xiàn)反對(duì)常識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的事實(shí)，無(wú)理數(shù)這個(gè)無(wú)法捉摸的“幽靈”就是其中之一。在一開始人類心中的數(shù)軸上，自然數(shù)與分?jǐn)?shù)便可以將其填滿，但隨著歷史的發(fā)展，人類漸漸發(fā)現(xiàn)數(shù)軸并不像起初設(shè)想的那么完滿，上面應(yīng)該還有無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至還有虛數(shù)。在某種意義上說，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)就是人類的理性與經(jīng)驗(yàn)常識(shí)的一次沖突。當(dāng)然，對(duì)于現(xiàn)在的我們來(lái)說，的存在也已經(jīng)是一個(gè)常識(shí)，但對(duì)于那個(gè)時(shí)代的人來(lái)說，他們的常識(shí)并非如此，這次沖突的影響之巨大是毫無(wú)疑問的。

面對(duì)這次沖突，哲學(xué)家中產(chǎn)生了兩種反應(yīng)，赫拉克利特認(rèn)為存在一個(gè)只能由思想來(lái)發(fā)現(xiàn)的邏各斯，現(xiàn)實(shí)中的萬(wàn)物按照邏各斯的原則處在不斷生成、毀滅的狀態(tài)中；而巴門尼德區(qū)分了意見之路與真理之路，他認(rèn)為感覺的對(duì)象都是幻覺，唯一的真實(shí)存在就是“一”。這個(gè)“一”只能由理智來(lái)認(rèn)識(shí)到。雖然赫拉克利特的“萬(wàn)物流變”與巴門尼德的“不變的存在”針鋒相對(duì)，但這兩種反應(yīng)殊途同歸。從他們二人的觀點(diǎn)中都可以得出，經(jīng)驗(yàn)世界中的事物是靠不住的，并不能帶來(lái)真理，而真理只能由理性來(lái)獲得?！八枷胧亲畲蟮膬?yōu)點(diǎn)，智慧就在于說出真理?！盵4]“別讓習(xí)慣用經(jīng)驗(yàn)的力量把你逼上這條路，只是以茫然的眼睛、轟鳴的耳朵或舌頭為準(zhǔn)繩，而要用你的理智來(lái)解決紛爭(zhēng)的辯論?！盵5]真理只能由理性來(lái)獲得的思想也影響了柏拉圖，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派先前把數(shù)與萬(wàn)物聯(lián)系在一起，而在柏拉圖的理解中，數(shù)已經(jīng)脫離了現(xiàn)實(shí)事物，數(shù)學(xué)知識(shí)是低級(jí)的知識(shí)，介乎意見和理智之間，柏拉圖對(duì)可感世界和理念世界的區(qū)分代表著理性與感性的二元對(duì)立的正式確立。在柏拉圖的《蒂邁歐篇》里，柏拉圖更是認(rèn)為物質(zhì)世界是由神用兩種三角形——等邊三角形和等腰直角三角形來(lái)構(gòu)造的。講求邏輯，推理和證明的數(shù)學(xué)方法——這同時(shí)也是理性的標(biāo)志，在“不懂幾何者不得入內(nèi)”的柏拉圖與創(chuàng)立古典邏輯學(xué)體系的亞里士多德的推崇之下，逐漸也成為了后世大多數(shù)哲學(xué)家們所堅(jiān)持的原則。不久之后《幾何原本》這一幾何學(xué)的“圣經(jīng)”的成書則是古希臘的理性精神所產(chǎn)生的最偉大的結(jié)晶之一。僅從幾個(gè)自明的公理出發(fā)，經(jīng)過演繹的推理便可以得到許多知識(shí)。這個(gè)觀念在此后近兩千年的時(shí)間里一直鼓舞著哲學(xué)家們?nèi)ふ易悦鞯恼胬?，從而搭建起他們自己的哲學(xué)大廈。對(duì)于經(jīng)院哲學(xué)家來(lái)說，這個(gè)自明的真理是上帝存在；對(duì)于笛卡爾來(lái)說，它是“我思故我在”；斯賓諾莎更是直接仿照《幾何原本》的形式來(lái)闡釋自己的哲學(xué)思想。公理系統(tǒng)也刺激了自然科學(xué)的發(fā)展，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》也是按照公理化的模式寫成的。公理化模式讓數(shù)學(xué)成為了最有確定性的科學(xué)，也讓物理學(xué)走上了科學(xué)的道路，然而哲學(xué)或者說形而上學(xué)卻沒有，這讓康德去思考其中的緣由，從而寫下了那本巨著——《純粹理性批判》。理性在第一次數(shù)學(xué)危機(jī)之后獲得了勝利，直到唯理論與經(jīng)驗(yàn)論的爭(zhēng)論之后它的統(tǒng)治地位才開始松動(dòng)，不過它一直到現(xiàn)在也并未崩塌。endprint

（二）、無(wú)窮問題

無(wú)窮問題在第一次數(shù)學(xué)危機(jī)中開始被人們廣泛討論。在希帕索斯發(fā)現(xiàn)之后，等于多少呢？由于它不能被表示為兩個(gè)整數(shù)之比，它的值只能用窮舉法慢慢接近，首先，它一定是個(gè)大于1且小于2的數(shù)，因?yàn)榈钠椒酱笥?的平方且小于2的平方；又因?yàn)榈钠椒皆?/5的平方和3/2的平方之間，所以的值在7/5與3/2之間。如此一直重復(fù)，才能確定小數(shù)點(diǎn)后的值。現(xiàn)在我們知道，無(wú)理數(shù)比如、π，它們的小數(shù)點(diǎn)后都是無(wú)限不循環(huán)的，前面的方法只能無(wú)限地接近它，卻不能窮盡。無(wú)窮問題到了巴門尼德的學(xué)生芝諾那里變得更加突出，芝諾提出的諸多悖論都涉及到了無(wú)窮，他否認(rèn)了運(yùn)動(dòng)的可能性與多的存在。按照數(shù)學(xué)史的說法，芝諾悖論也是引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的另一個(gè)重要因素。前面提到，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是人類的理性與經(jīng)驗(yàn)常識(shí)的一次沖突，芝諾用理性得出的悖論之所以是悖論，就是因?yàn)樗鼈兣c經(jīng)驗(yàn)是沖突的。值得一提的是，犬儒主義者第歐根尼一言不發(fā)地走來(lái)走去來(lái)反駁芝諾的悖論時(shí)，他的弟子拍手稱快卻遭到了第歐根尼的呵斥。希臘人的理性精神在此可見一斑，理性產(chǎn)生的悖論只能由理性來(lái)解決，因而無(wú)窮問題，包括連續(xù)性與間斷性、整體與部分、有限與無(wú)限的問題在此后一直困惑著科學(xué)家、哲學(xué)家們，理性怎樣去理解、把握無(wú)窮？這個(gè)問題在形而上學(xué)、認(rèn)識(shí)論、邏輯學(xué)中產(chǎn)生了無(wú)窮的爭(zhēng)論。萊布尼茨認(rèn)為的理性的“二迷宮”之一就是關(guān)于連續(xù)性與間斷性的問題。作為微積分的創(chuàng)立者之一，對(duì)無(wú)窮的思考也促使萊布尼茨提出了他的單子論。康德的四個(gè)二律背反也涉及到了無(wú)窮問題。康德指出，純粹理性的二律背反的出現(xiàn)是由于人類用只能適用于經(jīng)驗(yàn)的先驗(yàn)形式去對(duì)物自體做出判斷。這在某種程度上表明，無(wú)窮這個(gè)觀念對(duì)于理性來(lái)說是極難把握的，一旦用理性去思考無(wú)窮，很容易就會(huì)陷入兩難之中。

此外，關(guān)于芝諾悖論，亞里士多德劃分了潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮。潛無(wú)窮指的是，無(wú)窮是在不斷延伸著的，永遠(yuǎn)完成不了的過程，比如“直線可以任意延長(zhǎng)”；實(shí)無(wú)窮則是把無(wú)窮看成一個(gè)已完成的，現(xiàn)實(shí)存在的整體，比如“直線由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)組成”。亞里士多德認(rèn)為無(wú)窮是一種潛在的存在。通過這種方法，亞里士多德反駁了芝諾悖論。以“飛矢不動(dòng)”悖論為例，亞里士多德否定了時(shí)間可劃分為無(wú)窮個(gè)瞬間這個(gè)實(shí)無(wú)窮的觀點(diǎn)，從而反駁了這個(gè)悖論。這里亞里士多德實(shí)際上是回避了無(wú)窮的實(shí)際存在性，古希臘對(duì)無(wú)窮的研究也并沒有太大的深入。實(shí)無(wú)窮論與潛無(wú)窮論二者此后此消彼長(zhǎng)。直到文藝復(fù)興后牛頓和萊布尼茨提出微積分理論，實(shí)無(wú)窮論才開始占據(jù)主流。然而持潛無(wú)窮觀點(diǎn)的人們也不甘示弱，貝克萊悖論這一反駁無(wú)窮小量存在的觀點(diǎn)的提出又引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。而解決第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的精確的極限定義又是一種潛無(wú)窮的觀點(diǎn)?？低袪杽?chuàng)立集合論后，實(shí)無(wú)窮論再一次抬頭，然而第三次數(shù)學(xué)危機(jī)很快又隨之而來(lái)。實(shí)無(wú)窮論與潛無(wú)窮論的爭(zhēng)論實(shí)際上涉及到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題，可以說，它直到現(xiàn)在也還沒有結(jié)束。不過，二者的爭(zhēng)論也使得數(shù)學(xué)得到了極大的發(fā)展，其影響也不僅限于數(shù)學(xué)。

3 結(jié)語(yǔ)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人對(duì)數(shù)的觀念，但同時(shí)也刺激了數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且對(duì)哲學(xué)的發(fā)展也作出了貢獻(xiàn)。并且從某種意義上說，第二次、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)也是由第一次數(shù)學(xué)危機(jī)所引起的。發(fā)展本來(lái)就是曲折性和前進(jìn)性的統(tǒng)一，危機(jī)不僅僅只是危機(jī)，同樣也是發(fā)展的契機(jī)。數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)哲學(xué)來(lái)說是一個(gè)很好的參照，許多哲學(xué)家如笛卡爾、羅素等同時(shí)也是一個(gè)數(shù)學(xué)家。研究數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)研究哲學(xué)來(lái)說不失為一個(gè)很好的角度，同時(shí)也是一個(gè)很有必要的角度。

注釋

[1]羅素著，何兆武、李約瑟譯：《西方哲學(xué)史（上卷）》，商務(wù)印書館1977年版，第60頁(yè)。

[2]韓雪濤：《數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社2006年版，48頁(yè)。

[3]韓雪濤：《數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社2006年版，48頁(yè)。

[4]《西方哲學(xué)原著選讀》，商務(wù)印書館1981年版，25頁(yè)。

[5]《西方哲學(xué)原著選讀》，商務(wù)印書館1981年版，31頁(yè)。

參考文獻(xiàn)

[1]羅素著；何兆武、李約瑟譯.《西方哲學(xué)史（上卷）》[M].商務(wù)印書館，1977

[2]韓雪濤.《數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)》[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2006

[3]北京大學(xué)哲學(xué)系外國(guó)哲學(xué)史教研室編譯.《西方哲學(xué)原著選讀》[M].商務(wù)印書館，1981

作者簡(jiǎn)介

張曉東（1992-），男，白族，云南大理人，西南民族大學(xué)馬克思主義學(xué)院15級(jí)碩士研究生，研究方向：西方哲學(xué)史。endprint