關于對稱導數(shù)的幾個性質

摘要：對稱導數(shù)性質是高中數(shù)學課堂中的重要組成部分之一，對于對稱導數(shù)性質的研究具有十分重要的意義。本文對對稱導數(shù)的基本概念進行了簡單介紹，重點對對稱導數(shù)的若干性質進行了系統(tǒng)分析，希望能為關注這一領域的人士提供一些參考意見，從而提高高中數(shù)學階段教學有效性。

關鍵詞：對稱導數(shù)；偶函數(shù)；間斷點；對稱可導

一、 引言

對稱導數(shù)也被稱為許瓦茲導數(shù)，在數(shù)學領域中具有較早的發(fā)展歷史。在上個世紀六十年代中后期，一階對稱導數(shù)概念就已經產生，并且對于函數(shù)中的確切性質來說，普通導數(shù)與對稱導數(shù)具有較大的差異。因此，對于對稱導數(shù)所具有的獨特性質進行單獨研究具有十分重要的意義。

二、 對稱導數(shù)的基本概念

設函數(shù)f為定義在開區(qū)間M上的一段函數(shù)，且開區(qū)間M的閉區(qū)間為[a，b]，x屬于閉區(qū)間[a，b]。若極限x趨近于0上的函數(shù)f（x+△x）-f（x-△x）2△x存在，則可將其稱為在極限為f在點x上的對稱導數(shù)，也可以稱為函數(shù)f（x）在點x上對稱可導，函數(shù)用fs（x）來表示。

雖然函數(shù)中的對稱函數(shù)是一個相對較弱的函數(shù)概念，但在實際的學習過程中其具有較強的實際應用能力和廣泛的應用范圍，因此對于對稱導數(shù)的研究具有十分重要的意義。并且基于對稱導數(shù)的眾多性質的基礎上，還能進一步推導出其他相關引理，以提高對函數(shù)以及對稱函數(shù)的掌握能力，增強學生數(shù)學學習興趣，提高函數(shù)的學習能力。

三、 對稱導數(shù)的基本性質

（一） 若對稱導數(shù)f（x）在x0處可導，在其對稱點也可導

證明過程：若f（x）在點x0處為可導函數(shù)，那么可以得到lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x=f′（x0）f（x0+△x）-f（x0-△x）2△x=12f（x0+△x）-f（x）△x+f（x0）-f（x0-△x）△x。

對等式兩邊同時取極限值，可以得到最后結果為 f′（x0），并且有fs（x）=f′（x0），可以反過來，但結論不成立。

（二） 若函數(shù)f（x）對稱可導，函數(shù)f（x）可以不連續(xù)

若函數(shù)f（x）可導，則在閉區(qū)間[a，b]上必定為連續(xù)函數(shù)，但相同情況下函數(shù)f（x）在某一區(qū)間上為對稱可導函數(shù)，則f（x）可以不連續(xù)。

（三） 函數(shù)f（x）連續(xù)，其對稱導數(shù)可能不存在

例如，當x≠0時，函數(shù)f（x）=|x|sin1x，當x=0時，函數(shù)f（x）=0，并且當x=0時，函數(shù)連續(xù)，經過推導可以得出，當x趨近于零時，sin1△x不存在極限值，因此對稱導數(shù)不存在。

（四） 函數(shù)f（x）對稱可導，但f（x）不可積

根據(jù)前文所證明的對稱導數(shù)中連續(xù)性與可導性不存在必然聯(lián)系，但與此同時對稱導數(shù)的導性與可積性具有一定的關系，即若函數(shù)f（x）對稱可導，可其一定不可積。

（五） 若函數(shù)f（x）在O點的鄰域是偶函數(shù)，則f（x）在O點對稱可導

證明過程：若函數(shù)f（x）在O點的鄰域U（0）上為偶函數(shù)，并且有f（h）=f（-h），那么經過推導可以得出，當h無限趨近于0時，可以得出最后函數(shù)結果為0，因此該函數(shù) f（x）在O點處對稱可導，且可導函數(shù)fs（0）=0。

（六） 若f（x+0）和f（x-0）均存在，x0是其間斷點，則為可去間斷點

證明過程：已知函數(shù)f（x）在x0處為對稱可導函數(shù)，并且對稱可導函數(shù)f（x0）=f（x+△x）-f（x-△x）2△x，根據(jù)極限的性質可以得到，當x無線趨近于0時，f（x+0）-f（x-0）=0。

所以函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的左右極限值相同，因此x0為函數(shù)f（x）上的可去間斷點。由此可以推導出若函數(shù) f（x）在開區(qū)間（a，b）上單調，并且函數(shù)f（x）在這一開區(qū)間上為對稱可導函數(shù)，那么函數(shù)f（x）在（a，b）上有一個可去間斷點。

證明過程：若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上為單調函數(shù)，那么x0∈（a，b），且此時f（x+0）與f（x-0）均存在，根據(jù)前文所驗證的第四條性質可以得出，假設x0為函數(shù) f（x）的間斷點，那么其一定為函數(shù)f（x）的可去間斷點。

（七） 若函數(shù)f（x）在鄰域上有定義，且f（x）在x趨近于0時的高階無窮小，f（x）在零點對稱可導

證明過程：設x=a，則有f（a）=0（a）（a→0），同時也能得到f（-a）=0（a）（a→0），同理可得當a無限趨近于0時，函數(shù)f（x）在0點處為對稱可導函數(shù)，并且對稱可導函數(shù) fs（0）=0。

四、 總結

綜上所述，本文對于對稱導數(shù)所存在的幾類特殊性質進行了全面系統(tǒng)的分析，在高中階段數(shù)學函數(shù)課堂的教學中，研究對稱導數(shù)的性質對于增強導數(shù)概念的學習和理解能力具有十分重要的意義。并且，經過實踐的檢驗和系統(tǒng)論證，本文所研究的對稱函數(shù)基本性質其結果真實可靠，為未來在數(shù)學領域的學習和深入探索奠定了堅實的基礎。

參考文獻：

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[2]裴金玲.用導數(shù)方法解決函數(shù)的對稱性問題[J].中學數(shù)學研究，2017，（06）：37-38.

作者簡介：

童歆，河南省平頂山市，平頂山市第一中學。endprint