含“多項式”的一階微分方程解法的討論

孫瑞潔+武海輝

【摘要】本文根據(jù)方程的特點，利用變量代換、積分因子法、常數(shù)變易法、湊微分等基本方法對幾個含復(fù)雜多項式的一階微分方程進(jìn)行求解并分析.

【關(guān)鍵詞】變量代換；積分因子法；常數(shù)變易法；一階微分方程

【基金項目】安康學(xué)院自然科學(xué)基金項目（2017AYQN09）.

在對“常微分方程”第二章的學(xué)習(xí)中，我們在教師的講解下學(xué)會了求解一階微分方程的基本方法，如，變量代換、湊微分等.下面將利用所學(xué)知識解決幾個含復(fù)雜“多項式”的一階微分方程.

方程1 解方程4xydx+（2x2+5xy-1）dy=0.

法一 ∵dMdY=4x≠dNdx=4x+5y，

∴此方程不為恰當(dāng)方程.

又∵M(jìn)與N都為多項式，∴設(shè)積分因子為μ=xmyn.

方程兩邊同時乘μ，即可得

4xm+1yn+1dx+（2xm+2yn+5xm+1yn-1）dy=0.（1）

（1）為恰當(dāng)方程的充要條件為dM1dY=dN1dx，

其中M1=4xm+1yn+1，N1=2xm+2yn+5xm+1yn-1，

即可得

4（n+1）xm+1yn=2（m+2）xm+1yn+5（m+1）xmyn-14（n+1）=2（m+2），5（m+1）=0 n=-12，m=-1，

∴μ=x-1y-12，

∴（1）式可化為4y12dx+（2xy-12+5y-32）dy=0.

化簡得y12dx+4xdy12-10dy-12=0，

湊微分得d4xy12-10dy-12=0.

故原方程的通解為4xy12-10y-12=0.

分析 通過觀察給出方程的形式，判斷其不是恰當(dāng)方程，然后根據(jù)其對應(yīng)的M與N的形式，設(shè)對應(yīng)的積分因子并轉(zhuǎn)換為恰當(dāng)方程求解.

法二 原式可變形為dydx=-4xy2x2+5xy-1.

將x與y地位對換，即可得

dxdy=2x2+5xy-1-4xy=-x2y-54y2.（2）

顯然（2）為非齊次線性方程，

其中p（y）=-12y，q（y）=-54y2.

（2）式對應(yīng)的齊次方程的解為x=ce∫-12ydy=cy-12.

設(shè)x=c（y）y-12為原方程的解，代入即可得

c′（y）·y-12-12y-32·c（y）=12∫-54y-32·c（y）-54y2，

則c（y）=∫-54y-32dy=52y-12+c.

故原方程的通解為x=y-1252y-12+c，其中c為任意常數(shù).

法三 對（2）式直接用通解公式求解.即可得

x=e∫p（y）dy[∫q（y）e∫-p（y）dydy+c]

=e∫-12ydy∫-54y2e∫-12ydydy+c

=y-12-54∫y-32dy+c=y-1252y-12+c.

故原方程的通解為

x=y-1252y-12+c，其中c為任意常數(shù).

分析 觀察分子、分母，將其顛倒，轉(zhuǎn)換為一階線性微分方程，利用常數(shù)變異法或通解公式求解.

方程2 解方程xdydx-y=2x2y（y2-x2）.

解 令u=x2y，則y=ux2，

則dudx=2xy+x2dydx=2ux+x2·dydx，

代入原方程，得1xdudx-2ux-ux2=2uu2x4-x2，

整理得dudx=3x-2x3u+2x3u3.（3）

顯然，由（3）式可看出：此方程為n=3的貝努利方程.

令z=u-2，dzdx=-2u3dudx，

代入（3）式得dzdx=-23x-2x3z-4x3.

應(yīng)用一階非齊次微分方程的求解公式，即可得

z=e-∫23x-2x3 dx∫-4x3e∫23x-2x3 dxdx+c.

把z=u-2，u=x2y代入，可得原方程的通解為

x2-y2=cy2ex4，其中c為任意常數(shù).

分析 通過合適的變量代換，轉(zhuǎn)換為貝努利方程進(jìn)行求解.

方程3 dydx=4x3-2xy3+2x3x2y2-6y5+3y2.

解 原方程可變形為3y2dy2xdx=2x2-y3+1x2-2y2+1，

令u=y3，v=x2，則dudv=2v-u+1v-2u+1，

即可得（v-2u+1）du-（2v-u+1）dv=0，

化簡得（vdu+udv）-2udu+1du-2vdv-1dv=0，

分項組合得d（uv-u2-v2+u-v）=0，

將u=y3，v=x2代入，

即可得原方程的通解為y3x2-y6-x4+y3-x2=c，其中c為任意常數(shù).

分析 通過合適的變量代換，分項組合進(jìn)行求解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王高雄.常微分輔導(dǎo)及習(xí)題精解：第三版[M].延吉：延邊大學(xué)出版社，2011.

[2]李必文，趙臨龍，張明波.常微分方程[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2014.endprint