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    含“多項式”的一階微分方程解法的討論

    2018-02-03 05:31孫瑞潔武海輝

    孫瑞潔+武海輝

    【摘要】本文根據(jù)方程的特點,利用變量代換、積分因子法、常數(shù)變易法、湊微分等基本方法對幾個含復(fù)雜多項式的一階微分方程進(jìn)行求解并分析.

    【關(guān)鍵詞】變量代換;積分因子法;常數(shù)變易法;一階微分方程

    【基金項目】安康學(xué)院自然科學(xué)基金項目(2017AYQN09).

    在對“常微分方程”第二章的學(xué)習(xí)中,我們在教師的講解下學(xué)會了求解一階微分方程的基本方法,如,變量代換、湊微分等.下面將利用所學(xué)知識解決幾個含復(fù)雜“多項式”的一階微分方程.

    方程1 解方程4xydx+(2x2+5xy-1)dy=0.

    法一 ∵dMdY=4x≠dNdx=4x+5y,

    ∴此方程不為恰當(dāng)方程.

    又∵M(jìn)與N都為多項式,∴設(shè)積分因子為μ=xmyn.

    方程兩邊同時乘μ,即可得

    4xm+1yn+1dx+(2xm+2yn+5xm+1yn-1)dy=0.(1)

    (1)為恰當(dāng)方程的充要條件為dM1dY=dN1dx,

    其中M1=4xm+1yn+1,N1=2xm+2yn+5xm+1yn-1,

    即可得

    4(n+1)xm+1yn=2(m+2)xm+1yn+5(m+1)xmyn-14(n+1)=2(m+2),5(m+1)=0 n=-12,m=-1,

    ∴μ=x-1y-12,

    ∴(1)式可化為4y12dx+(2xy-12+5y-32)dy=0.

    化簡得y12dx+4xdy12-10dy-12=0,

    湊微分得d4xy12-10dy-12=0.

    故原方程的通解為4xy12-10y-12=0.

    分析 通過觀察給出方程的形式,判斷其不是恰當(dāng)方程,然后根據(jù)其對應(yīng)的M與N的形式,設(shè)對應(yīng)的積分因子并轉(zhuǎn)換為恰當(dāng)方程求解.

    法二 原式可變形為dydx=-4xy2x2+5xy-1.

    將x與y地位對換,即可得

    dxdy=2x2+5xy-1-4xy=-x2y-54y2.(2)

    顯然(2)為非齊次線性方程,

    其中p(y)=-12y,q(y)=-54y2.

    (2)式對應(yīng)的齊次方程的解為x=ce∫-12ydy=cy-12.

    設(shè)x=c(y)y-12為原方程的解,代入即可得

    c′(y)·y-12-12y-32·c(y)=12∫-54y-32·c(y)-54y2,

    則c(y)=∫-54y-32dy=52y-12+c.

    故原方程的通解為x=y-1252y-12+c,其中c為任意常數(shù).

    法三 對(2)式直接用通解公式求解.即可得

    x=e∫p(y)dy[∫q(y)e∫-p(y)dydy+c]

    =e∫-12ydy∫-54y2e∫-12ydydy+c

    =y-12-54∫y-32dy+c=y-1252y-12+c.

    故原方程的通解為

    x=y-1252y-12+c,其中c為任意常數(shù).

    分析 觀察分子、分母,將其顛倒,轉(zhuǎn)換為一階線性微分方程,利用常數(shù)變異法或通解公式求解.

    方程2 解方程xdydx-y=2x2y(y2-x2).

    解 令u=x2y,則y=ux2,

    則dudx=2xy+x2dydx=2ux+x2·dydx,

    代入原方程,得1xdudx-2ux-ux2=2uu2x4-x2,

    整理得dudx=3x-2x3u+2x3u3.(3)

    顯然,由(3)式可看出:此方程為n=3的貝努利方程.

    令z=u-2,dzdx=-2u3dudx,

    代入(3)式得dzdx=-23x-2x3z-4x3.

    應(yīng)用一階非齊次微分方程的求解公式,即可得

    z=e-∫23x-2x3 dx∫-4x3e∫23x-2x3 dxdx+c.

    把z=u-2,u=x2y代入,可得原方程的通解為

    x2-y2=cy2ex4,其中c為任意常數(shù).

    分析 通過合適的變量代換,轉(zhuǎn)換為貝努利方程進(jìn)行求解.

    方程3 dydx=4x3-2xy3+2x3x2y2-6y5+3y2.

    解 原方程可變形為3y2dy2xdx=2x2-y3+1x2-2y2+1,

    令u=y3,v=x2,則dudv=2v-u+1v-2u+1,

    即可得(v-2u+1)du-(2v-u+1)dv=0,

    化簡得(vdu+udv)-2udu+1du-2vdv-1dv=0,

    分項組合得d(uv-u2-v2+u-v)=0,

    將u=y3,v=x2代入,

    即可得原方程的通解為y3x2-y6-x4+y3-x2=c,其中c為任意常數(shù).

    分析 通過合適的變量代換,分項組合進(jìn)行求解.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]王高雄.常微分輔導(dǎo)及習(xí)題精解:第三版[M].延吉:延邊大學(xué)出版社,2011.

    [2]李必文,趙臨龍,張明波.常微分方程[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2014.endprint

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