高等數(shù)學(xué)課堂引入數(shù)值計算的必要性

宋妮+王鵬+閆春苗

【摘要】本文通過具體例子分析了在高等數(shù)學(xué)課堂上引入數(shù)值計算的必要性，突出了Matlab在圖像處理、數(shù)值計算等方面的優(yōu)勢和特點，其直觀性、趣味性和簡便性進(jìn)一步提升了學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新能力，對傳統(tǒng)方式的教學(xué)是非常有效的輔助手段.

【關(guān)鍵詞】Matlab；圖像處理；數(shù)值計算

【基金項目】中北大學(xué)理學(xué)院教改項目.

高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程和工具課程之一，絕大部分高校采取的基本是以教師為中心的教學(xué)模式，由教師通過講授和板書，把教學(xué)內(nèi)容傳授給學(xué)生.在整個教學(xué)過程中，教師是主宰，學(xué)生則處于被動接受教師灌輸知識的地位，互動性較差或者基本不互動，學(xué)生對有些內(nèi)容感到抽象、枯燥且難以理解，從而導(dǎo)致了學(xué)生的積極性下降.這就要求教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，引入新的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的興趣，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，真正實現(xiàn)課堂上的互動.

如今，數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展已非常成熟，國外大量課程都已采用數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行分析和計算，而國內(nèi)的普及程度則不是很高.在科技快速發(fā)展的今天，高等數(shù)學(xué)課程不僅要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、基本運算能力，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)值計算能力（包括數(shù)據(jù)處理能力），學(xué)會用數(shù)學(xué)方法初步解決實際問題，會用計算機進(jìn)行一定的科學(xué)計算.因此，將數(shù)值計算引入高等數(shù)學(xué)課程就顯得尤為重要，學(xué)生在課堂上通過對數(shù)值計算的認(rèn)識、熟悉、使用，進(jìn)一步達(dá)到理論和實踐相統(tǒng)一.

本文將借助于數(shù)學(xué)軟件，對高等數(shù)學(xué)中的某些抽象理論進(jìn)行數(shù)值計算與可視化，加強學(xué)生對抽象理論的理解以及對數(shù)學(xué)軟件的使用，從而增強師生之間的互動性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

一、圖像——抽象問題具體化

圖像是Matlab中一個很重要的功能，而在高等數(shù)學(xué)中，多元函數(shù)的圖形大多抽象，不容易給出，例如，不能顯化的隱函數(shù)、二維圖形的極坐標(biāo)圖形、參數(shù)方程圖形，三維圖形、三維圖形的變化及多個三維圖形的相互關(guān)系等，給教與學(xué)帶來不便.若調(diào)用Matlab中繪圖函數(shù)來完成各類圖形的繪制，使得抽象思維變得直觀具體，更便于學(xué)生理解和接受.

求導(dǎo)計算中有兩類很重要的函數(shù)，一類是冪指函數(shù)，利用對數(shù)求導(dǎo)法或等價變形對其求導(dǎo)數(shù)；另一類是隱函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計算，但對于這兩類函數(shù)的圖像，我們研究的很少或基本不研究，原因之一在于這兩類函數(shù)無法用基本初等函數(shù)的圖像去表示，而數(shù)值計算很好地解決了這一問題.

例1 作冪指函數(shù)y=xsinx（x>0）的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

x=1：0.1：25；y=x^sin（x）；plot（x，y）；

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；grid on

運行結(jié)果如圖1所示，從圖中學(xué)生可以直觀地看到函數(shù)的性質(zhì)、變化規(guī)律和極值點以及極值，不再停留在想象的層面.

圖1 y=xsinx（x>0）的圖像

例2 不能顯化的隱函數(shù)y5+2y-x-3x7=0的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

ezplot（′y^5+2*y-x-3.*x^7′=0）；grid on

運行結(jié)果如圖2所示，從圖中可以看出該隱函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，一目了然，使學(xué)生更好地理解隱函數(shù)的特點.

圖2 y5+2y-x-3x7=0的圖像

在學(xué)習(xí)向量與空間解析幾何、三重積分和曲面積分這些內(nèi)容時，學(xué)生經(jīng)常會感到很抽象，因為我們的教材中顯示的都是平面圖形，學(xué)生很難建立空間圖形的概念，通過在課堂上引入Matlab，可以非常直觀地建立三維空間的函數(shù)圖形，培養(yǎng)學(xué)生的立體感.

例3 作二元函數(shù)z=sinx2+y2的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

x=-10：0.2：10；[X，Y]=meshgrid（x）；r=sqrt（X^2+Y^2）+eps；Z=sin（r）；meshc（X，Y，Z）

其中，meshc（X，Y，Z）表示曲面xOy面上的等高線即投影，如圖3所示.其中，圖3（a）表示曲面的三維立體圖，圖3（b）是其等高線圖.通過圖像和方程相結(jié)合，學(xué)生能夠更好地加深對二次曲面的理解，使抽象問題更具體化.

進(jìn)一步地，在課堂上逐步引入數(shù)值計算，可以解決很多圖形的抽象問題，提高學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，不再局限于全理論性的教學(xué)模式.

（a）

（b）

圖3 z=sinx2+y2的圖像

二、輔助計算——復(fù)雜問題簡單化

數(shù)值計算是Matlab的又一重要功能，高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容，方法多、公式多，有些情況下計算量也較大，學(xué)生在做題的時候從數(shù)字到數(shù)字、公式到公式，經(jīng)常會感到煩瑣、枯燥，且容易出錯.如，若學(xué)生清楚算法原理和計算過程，則可通過Matlab完成算法實現(xiàn)，作為檢驗答案的輔助手段，整個過程效率高、用時短、更直觀.

例4 計算∫sinxsin2xsin3xdx.

解 這是有關(guān)三角函數(shù)的積分問題，要計算該積分，需利用三次積化和差公式，過程非常麻煩，而在Matlab中調(diào)用命令：

syms x，y；y=int（sin（x）.*sin（2*x）.*sin（3*x））；

就可輕松得到結(jié)果：

y=（8*tan（x/2）^4*（9*tan（x/2）^4-14*tan（x/2）^2+9））/（3*（tan（x/2）^2+1）^6）

對學(xué)生而言，三重積分和曲面積分一直是高等數(shù)學(xué)的難點，其一是學(xué)生對立體區(qū)域的作圖感到抽象、困難，無從下手；其二是找不到正確的投影區(qū)域，而在課堂上利用Matlab就能夠使得問題由抽象變具體，復(fù)雜變簡單.endprint

例5 計算I=S（xy+yz+zx）dS，其中S為z=x2+y2被柱面x2+y2=2ax（a>0）截得的部分.

解 （1）畫出積分曲面圖，在Matlab中調(diào)用命令：

[x，z]=meshgrid（0：0.1：2，0：0.05：2）；y1=sqrt（2.*x-x.^2）；y2=-sqrt（2.*x-x.^2）；surf（x，y1，z）；

hold on surf（x，y2，z） [x，y]=meshgrid（-2：0.1：2）；z=sqrt（x.^2+y.^2）；mesh（x，y，z）

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；zlabel（′z′）；

運行結(jié)果如圖4所示，從圖中可直觀地看出截得部分在xOy面上的投影區(qū)域仍是圓域，進(jìn)一步利用極坐標(biāo)將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分去計算.

圖4 所截部分的圖像

（2）計算積分值：

syms x y r t a；z=sqrt（x^2+y^2）；zx=diff（z，′x′）；zy=diff（z，′y′）；dS=sqrt（1+zx^2+zy^2）；

f=x*y+（y+x）*sqrt（x^2+y^2）*dS；x=r*cos（t）；y=r*sin（t）；F=subs（f）；

r1=0；r2=2*a*cos（t）；t1=-pi/2；t2=pi/2；f1=int（F*r，r，r1，r2）；I=int（f1，t，t1，t2）

運行結(jié)果為：

I=（64*2^（1/2）*a^4）/15

即I=S（xy+yz+zx）dS=64152a4.

三、結(jié)束語

利用Matlab的強大功能，學(xué)生可以借助較傳統(tǒng)的編程語言（如C、C++和Fortran）實現(xiàn)圖像、極限、積分等運算，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維，同時對于問題的直觀性和幾何性，更便于學(xué)生理解和接受，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.

【參考文獻(xiàn)】

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