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    淺談貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系和應(yīng)用

    2018-02-03 05:30:51劉小艷嚴(yán)鈞
    關(guān)鍵詞:二項(xiàng)分布

    劉小艷 嚴(yán)鈞

    【摘要】本文給出了貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布之間的關(guān)系,并將這些關(guān)系應(yīng)用到中心極限定理和大數(shù)定律的收斂速度的討論中.

    【關(guān)鍵詞】貝努利試驗(yàn);二項(xiàng)分布;兩點(diǎn)分布

    【基金項(xiàng)目】江蘇省自然科學(xué)基金,金融保險(xiǎn)中的大偏差和定價(jià)(編號(hào)202010006).

    本文給出了貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布之間的關(guān)系,并將應(yīng)用這些關(guān)系來(lái)討論中心極限定理和大數(shù)定律的收斂速度.

    定義1 (貝努利試驗(yàn))在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,如果每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種,則稱該n重試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn).

    定理1 (貝努利定理)設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則在n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.

    定義2 (二項(xiàng)分布)如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.

    定理2 貝努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的關(guān)系:在n重貝努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.

    定理2的證明 設(shè)X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則P(X=k)表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率;另一方面,由貝努利定理我們知道,n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為Cknpk(1-p)n-k,所以P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,即X服從二項(xiàng)分布B(n,p).

    二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系:二項(xiàng)分布B(1,p)即為兩點(diǎn)分布;二項(xiàng)分布B(n,p)可以看成是n個(gè)獨(dú)立同分布的兩點(diǎn)分布的和.設(shè)X~B(n,p),X1,X2,…,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列P(X1=1)=p,則X和∑nk=1Xk具有相同的分布.要證明X與∑nk=1Xk同分布,只需要證明X與∑nk=1Xk具有相同的特征函數(shù).X的特征函數(shù)為(1-p+eitp)n,∑nk=1Xk的特征函數(shù)為(E(eitX1))n=(1-p+peit)n.X和∑nk=1Xk的特征函數(shù)相同,所以它們具有相同的分布率.

    下面我們給出X和∑nk=1Xk具有相同的分布這一結(jié)論的兩個(gè)應(yīng)用.

    應(yīng)用1 由中心極限定理知,∑nk=1Xk-npnp(1-p)近似服從N(0,1),由于正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然是正態(tài)分布,所以∑nk=1Xk近似服從N(np,np(1-p)),所以X也近似服從N(np,np(1-p)),這樣我們就可以用一個(gè)正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布.

    應(yīng)用2 由大偏差理論,對(duì)于任意的ε>0,有

    P∑nk=1Xkn-p>ε≌exp{-ninf{I(x):x∈(-∞,p-ε)∪(p+ε,+∞)}},

    其中I(x)=supθ∈R{θx-log(1-p+peθ)}>0,故∑nk=1XknPp,而X和∑nk=1Xk同分布,所以XnPp,而Xn表示事件A發(fā)生的頻率,p為事件A的概率,XnPp表示頻率穩(wěn)定于概率,并且,Xn“快速”穩(wěn)定到p.

    【參考文獻(xiàn)】

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    [4]孔運(yùn),王淵.貝努利試驗(yàn)的推廣及應(yīng)用[J].科技傳播,2013(24):120-122.

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