楊輝三角中的一些秘密

楊海躍??

摘要：作為中國數(shù)學(xué)史上重要的發(fā)現(xiàn)，楊輝三角帶我們領(lǐng)略數(shù)字的奧秘，為我們打開二項(xiàng)式系數(shù)的大門?，F(xiàn)在，讓我們從楊輝三角出發(fā)，探索它的精妙絕倫的性質(zhì)。用研究與總結(jié)來揭開它神秘的面紗。

關(guān)鍵詞：三角的秘密；楊輝三角；數(shù)學(xué)探索

楊輝三角，又稱賈憲三角，帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，最早由賈憲在《釋鎖算術(shù)》提出（約公元11世紀(jì)），并且楊輝在《詳解九章算術(shù)》中詳細(xì)說明。在歐洲，這被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的。也就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年，這是值得中華民族自豪的數(shù)學(xué)成就。

楊輝三角是一種由數(shù)字組成的，能表示二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)學(xué)模型

單從數(shù)字排列方面研究：在同一行中，每行兩端都是1；在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和。而從二項(xiàng)式系數(shù)方面來看：第n行的數(shù)列為（a+b）n的展開式的二次項(xiàng)系數(shù)C0n，C1n，…Cnn。實(shí)際上，上述兩種解釋是等價的，不妨設(shè)表中任意不為1的數(shù)為Crn+1，那么它“肩上”的兩數(shù)分別為Cr-1n，Crn，易證Crn+1=

Cr-1n+Crn。由此我們發(fā)現(xiàn)了楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)之間的一個基本聯(lián)系。

由此發(fā)散，可以找到更多神奇的性質(zhì)。

1. 將第n行的數(shù)做和記為f（n），會發(fā)現(xiàn)f（n）=2n-1。這其實(shí)與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，已知（a+b）m=∑mk=0Ckmakbm-k，令a，b=1，則有2m=∑mk=0Ckm，又因?yàn)榈趎行的數(shù)代表

（a+b）n-1展開的二項(xiàng)式系數(shù)，所以得證。

2. 楊輝三角與高階等差數(shù)列。仔細(xì)觀察楊輝三角的腰，從右往左第一列分別為1，1，1…；第二列分別為1，2，3…；第三列分別為1，3，6，10，15…，這不禁讓我想起數(shù)學(xué)老師曾提到過的“高階等差數(shù)列”。所謂高階等差數(shù)列，對于一個數(shù)列{an}，把它連續(xù)兩項(xiàng)an+1與an的差記為bn，則數(shù)列{bn}稱為原數(shù)列{an}的一階差數(shù)列，再將{bn}重復(fù)上述操作；以此類推，可以得到{an}的p階差數(shù)列，如果它的p階差數(shù)列是一個非零常數(shù)列，那么稱{an}為p階等差數(shù)列。

回到這個問題，第二列是個一階等差數(shù)列，第三列是個二階等差數(shù)列……第n列是個（n-1）（n>1）階等差數(shù)列。而且第n列是第（n+1）列的一階差數(shù)列，第n列是第（n+k）列的k階差數(shù)列。此規(guī)律的證明可從定義入手，某列中的相鄰兩數(shù)am、am+1之差，等于am+1右肩上的數(shù)，依次類推，它右邊的一列就是它的一階差數(shù)列。并且從右向左第n（n≥0）列，可表示為C0n-1、C1n、…Ckn-1+k，所以它們的前k項(xiàng)和C0n-1+C1n+…+Ck-1n+k-2=C0n+C1n+…+Ck-1n+k-2=C1n+1+C2n+1+…+Ck-1n+k-2=…。這是一個特殊的數(shù)列求和公式。

3. 根據(jù)“2”的推導(dǎo)思路，我們還可以發(fā)現(xiàn)一個有趣規(guī)律。截取一部分楊輝三角，

會發(fā)現(xiàn)連線上的數(shù)字之和恰好等于箭頭所指數(shù)字。第n列的前k項(xiàng)和等于第n+1列的第k項(xiàng)，即

Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+k-2=Cnn+k-1可用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）易知k=1時成立，

（2）假設(shè)k=m時成立，

則Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2=Cnn+m-1

（3）Cn-1n-1+Cn-1n+Cn-1n+1+…+Cn-1n+m-2+Cn-1n+m-1=Cnn+m-1+Cn-1n+m-1=Cnn+m=Cnn+m-1+1，所以k=m+1時成立。

由（1）（2）知對任意正整數(shù)k成立。

4. 楊輝三角與斐波那契數(shù)列的關(guān)系。

圖中被標(biāo)記的數(shù)分別相加，將會得道斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5…

眾所周知，簡單地理解斐波那契數(shù)列，其中每個大于1的數(shù)，都等于它前兩項(xiàng)的和。從圖形中，根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn)，也不難發(fā)現(xiàn)此規(guī)律。

由此，我們可總結(jié)出斐波那契數(shù)列的組合數(shù)通式。

據(jù)觀察，a1=C00，a2=C01，a3=C11+C02，a4=C12+C03，a5=C22+C13+C04，a6=C23+C14+C05，…

我們猜想a2n+1=Cnn+Cn-1n+1+Cn-2n+2+…+C02n；a2n=

Cn-1n+Cn-2n+1+Cn-3n+2+…+C02n-1。

并且，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）易知n=1，n=2時成立。

（2）假設(shè)n=k時成立則a2k=Ck-1k+Ck-2k+1+…+C02k-1，

a2k+1=Ckk+Ck-1k+1+…+C02k

（3）a2k+a2k+1=Ckk+1+Ck-1k+2+…+C12k+C02k=C（k+1）-1k+1+C（k+1）-2（k+1）+1+…+C12（k+1）-2+C02（k+1）-1=a2（k+1）成立，同理，a2k+1+a2k+2=a2（k+1）+1成立。所以n=k+1時成立。

所以由（1）（2）知，對任意正整數(shù)成立。

總的來說，通過楊輝三角的特點(diǎn)規(guī)律進(jìn)行發(fā)散，并進(jìn)行解釋說明，可以幫助我們更好地認(rèn)識楊輝三角，更好地運(yùn)用組合數(shù)知識，更好地探索新的解題方法，更好地探秘?cái)?shù)學(xué)世界。

作者簡介：楊海躍，山東省萊蕪市，萊蕪一中。endprint