用典型的數(shù)學(xué)方法解決物理問題培養(yǎng)發(fā)散思維

摘 要：解決物理問題不一定全是用物理方法，思維發(fā)散，采用數(shù)學(xué)方法解決，是對數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，也是兩種學(xué)科知識(shí)的融合，對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)具有不可替代的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；物理問題；發(fā)散思維

在求解物理問題過程中如果能與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活整合，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律，數(shù)學(xué)思維也能解決物理問題。解決物理問題采用數(shù)學(xué)方法表現(xiàn)為：學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)學(xué)方法采用例如數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)、圖像法等，通過物理量之間的關(guān)系式推導(dǎo)得出物理結(jié)論，并能直觀表達(dá)分析。常用的數(shù)學(xué)方法有微元法、估算法、函數(shù)法、數(shù)列法等。解決物理問題不一定全是用物理方法，思維發(fā)散，采用數(shù)學(xué)方法解決，是對數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，也是兩種學(xué)科知識(shí)的融合，對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)具有不可替代的作用。

可以將采用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的過程用以下流程表示：實(shí)際問題抽象概括找到數(shù)學(xué)規(guī)律，推理演算到數(shù)學(xué)模型的解，還原說明到實(shí)際問題的解。

微元法是分析和解決物理問題的常用方法，“微元法”是將復(fù)雜的物理過程分割成微小的過程，即微小的元素，又都遵循相同的數(shù)學(xué)物理規(guī)律，使之可以化曲為直，使變量或難以確定的量成為常量、容易確定的量。使用微元法解決一部分物理問題能夠簡化物理模型，對所學(xué)所知規(guī)律進(jìn)行再思考和再聯(lián)系，可提高物理問題解決的發(fā)散思維。

比如人教版必修1第一章在定義瞬時(shí)速度時(shí)采用的方法就是極限法，當(dāng)時(shí)間趨近于無限小，趨近于0時(shí)，求得的平均速度就可以當(dāng)成是瞬時(shí)速度。勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系是利用圖像的微元法定義的。

一、 微元法思維的運(yùn)用

在香港本節(jié)的教材是這樣處理的，讓學(xué)生動(dòng)手操作，將紙條裁成許多相同寬度的長方形，然后往梯形上貼，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，長方形寬度越小，分割的越多，整體面積越接近于梯形面積。根據(jù)微元法探究出的結(jié)論是：物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的位移對應(yīng)著v-t圖像中圖線與時(shí)間軸之間包圍的梯形面積。該方法解放了學(xué)生的思維，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)層面去解決物理實(shí)際問題，從圖像上解決“位移”和“面積”的關(guān)系，提高了物理問題解決的速度和準(zhǔn)確性。這樣的定義采用了數(shù)學(xué)方法，是思維充分發(fā)散的結(jié)果，是創(chuàng)造性的體現(xiàn)，物理規(guī)律可以從數(shù)學(xué)方法得到，發(fā)散思維得到了提升。

古時(shí)，微元法已有采用?！案钪指?，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！睌?shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)了“割圓術(shù)”，他計(jì)算得出圓內(nèi)接正192邊形的周長，得到了圓周率的近似值（3.1416）。

例題1 求解一質(zhì)點(diǎn)從實(shí)心長方體的A點(diǎn)沿著表面運(yùn)動(dòng)到對角點(diǎn)B，此過程的位移大小和最短路程。長方體的三條邊長分別為a、b、c（a>b>c）。

[點(diǎn)評]該題實(shí)際是用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，需要學(xué)生聯(lián)想到數(shù)學(xué)問題，將長方體上下兩個(gè)面展開畫一條直線。最近距離也就是路程的概念，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，求直角三角形的斜邊。從新的角度思考，訓(xùn)練了發(fā)散思維。

二、 函數(shù)思維的運(yùn)用

在中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法有均值不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)、求導(dǎo)數(shù)、因式分解、三角函數(shù)、有關(guān)圓的知識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想等中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。

例題2 某一質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)隨時(shí)間變化規(guī)律是x=-3t2+3（m），沿y軸做直線運(yùn)動(dòng)，t的單位為秒。關(guān)于該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，正確的是（ ）

A. 質(zhì)點(diǎn)一直向y軸的正方向運(yùn)動(dòng)

B. 質(zhì)點(diǎn)從y軸坐標(biāo)O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)

C. 在最初的1 s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移大小是0 m，位移的方向與y軸的正方向相反

D. 在最初的2 s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移是2 m

本題采用的方法是利用二次函數(shù)，畫出拋物線開口向下的圖線，找出對稱軸和y軸交點(diǎn)，利用公式，找到對稱軸，對稱軸右邊是遞減函數(shù)，所以選擇C。解決物理問題的過程，常常涉及數(shù)學(xué)函數(shù)問題，如果學(xué)生能發(fā)散思維，問題解決將會(huì)更為準(zhǔn)確、迅速。

例題3 整個(gè)空間為豎直向下的勻強(qiáng)磁場，固定一個(gè)開口向下半徑是R光滑半球，放置于水平面上。有一質(zhì)量為m的小球P，電荷量是+q，使該球在球面上做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O′。圓周上任一點(diǎn)到球心O的連線和豎直方向的夾角為θ（0<θ<π/2）。令小球能夠在該圓周上運(yùn)動(dòng)，求小球運(yùn)動(dòng)的速率和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小的極值。重力加速度取g。

[函數(shù)圖像分析]通過已知條件可畫出運(yùn)動(dòng)示意圖，該小球在球面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O′。分析出P處受到重力、洛倫茲力和支持力分別為mg、f=qvB、N。其中受到的磁場的作用力f，方向指向O′利用牛頓第二定律解答列出關(guān)系式兩個(gè)方向上滿足：Ncosθ-mg=0向心力公式f-Nsinθ=mv2/Rsinθ從而球在球面上的速度v2-qBRsinθv/m+qRsin2θ/cosθ=0如果小球在球面上運(yùn)動(dòng)，速度肯定為有實(shí)數(shù)解，Δ=qBRsinθvm-4gRsin2θcosθ≥0，得解：B≥2mqgRcosθ。所以此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值是：Bmin=2mqgRcosθ，該小球此時(shí)的速度大小是：v=gRcosθsinθ。

點(diǎn)評：本題根據(jù)數(shù)學(xué)典型的二次函數(shù)y=ax2+bx+c如果a>0，x=-b/2a時(shí)，y有最小值，為ymin=（4ac-b2）/4a；如果a<0，-b/2a時(shí)，y有極大值，為ymax=（4ac-b2）/4a。

注釋：本題是數(shù)學(xué)思想“數(shù)形結(jié)合”在解物理題中的應(yīng)用。物理解題過程中，恰到好處地運(yùn)用這一思想，有時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。從物理問題過渡到數(shù)學(xué)問題，是對思維的較高要求。

無論是采用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)法還是微元法等數(shù)學(xué)方法解決物理問題，都需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)具備清晰的物理概念和規(guī)律。教師訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的過程中，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)方法解決物理問題的重要性，學(xué)生在以后的問題中會(huì)更為主動(dòng)的采用數(shù)學(xué)方法，并且體會(huì)到解決問題的成就和快樂，發(fā)散思維隨之提升。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李德虎.數(shù)學(xué)物理方法簡介[J].陜西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，8.

作者簡介：

楊燕燕，江蘇省南京市，南京市文樞高級中學(xué)。endprint