復(fù)合函數(shù)定義域求法及其解題意義研究

摘要：復(fù)合函數(shù)主要是指函數(shù)間通過(guò)運(yùn)算法則進(jìn)行聯(lián)系后所形成的新的復(fù)雜函數(shù)。理解其定義域求法不僅對(duì)于解題具有直接貢獻(xiàn)，更能夠?qū)τ诤罄m(xù)圖像的理解、其他問(wèn)題的分析提供一定的幫助。本文系統(tǒng)總結(jié)在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的復(fù)合函數(shù)定義域求法，并試圖分析定義域?qū)ζ浣忸}的意義，希望能夠?yàn)楹罄m(xù)的學(xué)習(xí)與研究提供一定的幫助。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；定義域；求解；意義

高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)較為復(fù)雜、困難，且對(duì)于廣大學(xué)生而言既是全新數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，又是形成后續(xù)學(xué)習(xí)的客觀基礎(chǔ)。在函數(shù)教學(xué)體系中，復(fù)雜函數(shù)、特殊函數(shù)及復(fù)合函數(shù)在考查過(guò)程中占據(jù)了很大的比例。這也就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中要有所側(cè)重。只有靈活的掌握函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，才能夠在后續(xù)的數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成“先機(jī)”。

在眾多考題中，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的定義域求解問(wèn)題一直是困擾學(xué)生的一大難點(diǎn)，而近年來(lái)針對(duì)該領(lǐng)域問(wèn)題的研究也相對(duì)薄弱，這不僅使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏有效的遵循，還使得我們無(wú)法在短時(shí)間內(nèi)形成突破。在嚴(yán)重的影響了學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的同時(shí)也不可避免的造成后續(xù)問(wèn)題求解的障礙。針對(duì)這一情況，筆者結(jié)合日常學(xué)習(xí)與解題中的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，對(duì)該類問(wèn)題下的具體分類與求解方式進(jìn)行匯總，希望能夠成為后續(xù)學(xué)習(xí)與解題過(guò)程中的有效遵循。與此同時(shí)，試圖探明定義域在后續(xù)解題過(guò)程中的重要意義，使之能夠引起廣大教師與學(xué)生的重視。

一、 復(fù)合函數(shù)定義域求法研究

正如上文所說(shuō)，以大量的習(xí)題為基礎(chǔ)進(jìn)行的總結(jié)使得我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題在考察過(guò)程中一般分為四個(gè)類別，其類別特征與解題思路如下：

（一） 函數(shù)替換類

該類問(wèn)題是利用函數(shù)替換原函數(shù)中的未知量，并在給定原函數(shù)定義域的基礎(chǔ)上對(duì)新未知量的定義域進(jìn)行求解。利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表征則可以表示為：給定f（x）定義域，求解f[g（x）]的定義域。如題目：已知f（x）定義域?yàn)椋?1，4]，求f（x2+4x）定義域。

該類問(wèn)題為復(fù)合函數(shù)定義域的基礎(chǔ)性問(wèn)題。從函數(shù)定義與內(nèi)涵的角度來(lái)進(jìn)行理解則可以輕松列出不等式，進(jìn)而通過(guò)不等式求解的方式獲得相關(guān)答案。具體的定義內(nèi)涵層面上，復(fù)合函數(shù)在原函數(shù)的位置替代中相當(dāng)于未知數(shù)“x”，故而其定義域?qū)傩詰?yīng)該繼承并來(lái)源于原函數(shù)的定義域。以上題為例，可以得到-1

（二） 函數(shù)反推類

該類問(wèn)題總體上表現(xiàn)為給定復(fù)合函數(shù)定義域求解簡(jiǎn)單函數(shù)定義域。與上文所討論的題型呈現(xiàn)出相反的趨勢(shì)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)即已知f[g（x）]的定義域求解f（x）的定義域。如題目：已知復(fù)合函數(shù)f（5-3x）的定義域?yàn)閇-2，1]，求函數(shù)f（x）的定義域。

該類問(wèn)題與函數(shù)替換類相反，其所需要應(yīng)用的解題思路為定義域定義與內(nèi)涵。在此過(guò)程中我們需要了解，所謂的定義域是全部函數(shù)未知數(shù)的集合，而復(fù)合函數(shù)中則強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)的賦值集合作為簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域范圍。從上文中的具體題目來(lái)看，條件中給出的已知定義域[-2，1]，是簡(jiǎn)單函數(shù)g（x）=5-3x的定義域范圍。故而該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解 g（x）=5-3x的值域。根據(jù)計(jì)算，其值域范圍為[2，11]，故而簡(jiǎn)單函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇2，11]。在此過(guò)程中我們需要注意的是符號(hào)帶來(lái)的極值變化，如果簡(jiǎn)單函數(shù)為二次或以上函數(shù)，還應(yīng)該判斷曲線極值的出現(xiàn)位點(diǎn)。

（三） 雙復(fù)合類

所謂的雙復(fù)合類函數(shù)定義域的求解問(wèn)題主要是指給定某個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域求解另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域問(wèn)題。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)予以表達(dá)即為：已知f[g（x）]的定義域求解 f[t（x）]的定義域。如題目，已知復(fù)合函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇-1，3]，求函數(shù)f（2-x）的定義域。

該類問(wèn)題在實(shí)際求解的過(guò)程中可以看做是函數(shù)替換類與函數(shù)反推類復(fù)合函數(shù)定義域求解問(wèn)題的組合。其運(yùn)算過(guò)程需要引入中間變量H來(lái)輔助思考。其思考過(guò)程大致如下：首先，以已知函數(shù)的定義域?yàn)樗{(lán)本進(jìn)行函數(shù)反推，即已知復(fù)合函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇-1，3]，求解函數(shù)f（H）的定義域，此過(guò)程的計(jì)算方法依照反推類來(lái)進(jìn)行；其次，已知函數(shù)f（H）的定義域，求解函數(shù)f（2-x）的定義域，該過(guò)程依據(jù)函數(shù)替換類來(lái)進(jìn)行。

（四） 運(yùn)算復(fù)合類

所謂的運(yùn)算復(fù)合類函數(shù)定義域問(wèn)題主要是指已知函數(shù)的定義域，求解若干函數(shù)運(yùn)算后的綜合定義域。利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)則為：已知f（x）的定義域，求解f（x）=f（i1）+f（i2）+…+f（ij）的定義域。其中高中階段所接觸的運(yùn)算方式一般為加減乘除基礎(chǔ)四則運(yùn)算。如題目，已知f（x）的定義域?yàn)閇-1，2），求解f（x）=f（x+3）+f（x-1）-f（2x）的定義域。

在實(shí)際求解的過(guò)程中，該類問(wèn)題的核心關(guān)鍵是對(duì)不同的運(yùn)算要素函數(shù)的定義域進(jìn)行分別求解，并確定其交集，為最終的復(fù)合函數(shù)定義域。值得注意的是當(dāng)運(yùn)算規(guī)則中存在除法或者根號(hào)等運(yùn)算，其定義域還應(yīng)該剔除掉各自運(yùn)算規(guī)則下的特殊點(diǎn)，如f（x）=0 的位點(diǎn)。

二、 復(fù)合函數(shù)定義域的解題意義分析

通過(guò)上文的分析我們對(duì)四種復(fù)合函數(shù)的求解思想與具體求解過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)性總結(jié)。而復(fù)合函數(shù)的定義域問(wèn)題對(duì)于后續(xù)的函數(shù)類問(wèn)題也具有一定的積極意義，大致如下：

第一，可以輔助判斷函數(shù)方向。通過(guò)定義域的計(jì)算能夠判斷函數(shù)在不同取值過(guò)程中的函數(shù)結(jié)果，進(jìn)而通過(guò)結(jié)果的判斷可以形成函數(shù)走向的基本動(dòng)態(tài)。如在一次函數(shù)中，其函數(shù)圖像表現(xiàn)為線性函數(shù)，而判斷終點(diǎn)值的大小可以確定函數(shù)的增減性。

第二，可以輔助判斷函數(shù)圖像。對(duì)不同取值范圍的研判可以確定函數(shù)的連續(xù)性，進(jìn)而在取值區(qū)間內(nèi)形成函數(shù)圖像的基本確定。該條件的應(yīng)用有助于后續(xù)我們理解復(fù)雜函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，尤其是在二次以上或周期函數(shù)的趨勢(shì)判斷中提供必要的幫助。

第三，可以輔助判斷函數(shù)根的大致取值。函數(shù)的定義域代表了未知數(shù)的取值范圍，而復(fù)合函數(shù)的定義域則往往是已知函數(shù)的值域。通過(guò)此種規(guī)則可以將值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定義域問(wèn)題，進(jìn)而降低解題難度，提高解題正確率。

三、 總結(jié)

本文系統(tǒng)總結(jié)了四種復(fù)合函數(shù)定義域的解法與數(shù)學(xué)思想，并對(duì)定義域的解題意義進(jìn)行探討，旨在為后續(xù)的學(xué)習(xí)與研究提供重要參考。

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作者簡(jiǎn)介：

劉天好，湖北省恩施土家族苗族自治州高級(jí)中學(xué)（簡(jiǎn)稱恩施高中）。