高中數(shù)學(xué)解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題

陳晶

對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是平時(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).它的運(yùn)用非常廣泛，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)上，有時(shí)還會(huì)滲透到物理應(yīng)用中去.對(duì)稱問(wèn)題的題型主要體現(xiàn)在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱等幾個(gè)方面.

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題，也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以通過(guò)坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

例1設(shè)點(diǎn)M(2,4)，求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

解設(shè)點(diǎn)N(x,y)，點(diǎn)M(2,4)，點(diǎn)P(-1,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).

二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在直線上取出兩個(gè)特殊點(diǎn)，然后求出兩對(duì)稱點(diǎn)可確定直線方程.在解題過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類(lèi)問(wèn)題還可設(shè)平行直線系，再將一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個(gè)點(diǎn)，求出其在l2上的兩對(duì)稱點(diǎn)，確定方程l2.

解在l1上任取兩點(diǎn)，如M(1,1),N(4,3),則M,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設(shè)直線系方程，再代入一個(gè)特殊點(diǎn)，就可以確定直線方程了.

解因?yàn)閘1∥l2,所以設(shè)對(duì)稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因?yàn)辄c(diǎn)A到兩直線的距離相等,

所以由點(diǎn)到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過(guò)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設(shè)P(x,y)是l2上任一點(diǎn)，則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-2-x,-4-y)

.因?yàn)镻′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

在坐標(biāo)系中我們?nèi)菀子^察出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于特殊直線y=x的對(duì)稱點(diǎn).但如果面對(duì)一般直線的對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，如假設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是y=kx+b，求點(diǎn)A關(guān)于已知直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo).解決此類(lèi)問(wèn)題就要抓住兩點(diǎn)：①兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.

例3 求點(diǎn)A(-1,-2)關(guān)于直線l∶2x-3y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).

分析求解的關(guān)鍵是抓住垂直與平分這兩個(gè)幾何條件上，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解.

解設(shè)A′(x,y)，AA′中點(diǎn)坐標(biāo)為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關(guān)于直線對(duì)稱

直線關(guān)于直線的對(duì)稱是以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱為基礎(chǔ)的，其求解方法和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱相同.但是直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題中，兩直線的位置關(guān)系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當(dāng)兩直線平行時(shí)，通常設(shè)平行直線系方程，然后通過(guò)兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當(dāng)兩直線相交時(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多，主要有：特殊值法，交點(diǎn)法，動(dòng)點(diǎn)代入法等.為了方便，我們通常采用取交點(diǎn)的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l1∶2x-3y+1=0的對(duì)稱直線l2的方程.

分析線關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

解在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)M′必在l2上.

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過(guò)N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對(duì)稱問(wèn)題與物理知識(shí)結(jié)合應(yīng)用

由物理光學(xué)知識(shí)知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線對(duì)稱.所以解決光學(xué)對(duì)稱題，經(jīng)常會(huì)利用到點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱知識(shí).

例5從點(diǎn)（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y(tǒng)軸上，求經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點(diǎn)為(0,2),

又(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,3),所以反射光線所在直線過(guò)(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，求光線所經(jīng)過(guò)的路程.

解設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB，y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長(zhǎng)=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對(duì)稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點(diǎn)間的距離公式得|CD|=40=210.

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對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是平時(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).它的運(yùn)用非常廣泛，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)上，有時(shí)還會(huì)滲透到物理應(yīng)用中去.對(duì)稱問(wèn)題的題型主要體現(xiàn)在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱等幾個(gè)方面.

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題，也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以通過(guò)坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

例1設(shè)點(diǎn)M(2,4)，求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

解設(shè)點(diǎn)N(x,y)，點(diǎn)M(2,4)，點(diǎn)P(-1,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).

二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在直線上取出兩個(gè)特殊點(diǎn)，然后求出兩對(duì)稱點(diǎn)可確定直線方程.在解題過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類(lèi)問(wèn)題還可設(shè)平行直線系，再將一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個(gè)點(diǎn)，求出其在l2上的兩對(duì)稱點(diǎn)，確定方程l2.

解在l1上任取兩點(diǎn)，如M(1,1),N(4,3),則M,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設(shè)直線系方程，再代入一個(gè)特殊點(diǎn)，就可以確定直線方程了.

解因?yàn)閘1∥l2,所以設(shè)對(duì)稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因?yàn)辄c(diǎn)A到兩直線的距離相等,

所以由點(diǎn)到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過(guò)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設(shè)P(x,y)是l2上任一點(diǎn)，則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-2-x,-4-y)

.因?yàn)镻′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

在坐標(biāo)系中我們?nèi)菀子^察出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于特殊直線y=x的對(duì)稱點(diǎn).但如果面對(duì)一般直線的對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，如假設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是y=kx+b，求點(diǎn)A關(guān)于已知直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo).解決此類(lèi)問(wèn)題就要抓住兩點(diǎn)：①兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.

例3 求點(diǎn)A(-1,-2)關(guān)于直線l∶2x-3y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).

分析求解的關(guān)鍵是抓住垂直與平分這兩個(gè)幾何條件上，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解.

解設(shè)A′(x,y)，AA′中點(diǎn)坐標(biāo)為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關(guān)于直線對(duì)稱

直線關(guān)于直線的對(duì)稱是以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱為基礎(chǔ)的，其求解方法和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱相同.但是直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題中，兩直線的位置關(guān)系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當(dāng)兩直線平行時(shí)，通常設(shè)平行直線系方程，然后通過(guò)兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當(dāng)兩直線相交時(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多，主要有：特殊值法，交點(diǎn)法，動(dòng)點(diǎn)代入法等.為了方便，我們通常采用取交點(diǎn)的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l1∶2x-3y+1=0的對(duì)稱直線l2的方程.

分析線關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

解在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)M′必在l2上.

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過(guò)N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對(duì)稱問(wèn)題與物理知識(shí)結(jié)合應(yīng)用

由物理光學(xué)知識(shí)知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線對(duì)稱.所以解決光學(xué)對(duì)稱題，經(jīng)常會(huì)利用到點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱知識(shí).

例5從點(diǎn)（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y(tǒng)軸上，求經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點(diǎn)為(0,2),

又(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,3),所以反射光線所在直線過(guò)(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，求光線所經(jīng)過(guò)的路程.

解設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB，y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長(zhǎng)=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對(duì)稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點(diǎn)間的距離公式得|CD|=40=210.

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對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是平時(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).它的運(yùn)用非常廣泛，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)上，有時(shí)還會(huì)滲透到物理應(yīng)用中去.對(duì)稱問(wèn)題的題型主要體現(xiàn)在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱等幾個(gè)方面.

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題，也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以通過(guò)坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

例1設(shè)點(diǎn)M(2,4)，求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

解設(shè)點(diǎn)N(x,y)，點(diǎn)M(2,4)，點(diǎn)P(-1,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).

二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在直線上取出兩個(gè)特殊點(diǎn)，然后求出兩對(duì)稱點(diǎn)可確定直線方程.在解題過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類(lèi)問(wèn)題還可設(shè)平行直線系，再將一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出.

例2求直線l1:2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線l2方程.

方法一分析在l1上找兩個(gè)點(diǎn)，求出其在l2上的兩對(duì)稱點(diǎn)，確定方程l2.

解在l1上任取兩點(diǎn)，如M(1,1),N(4,3),則M,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l2的方程為2x-3y-9=0.

方法二分析可設(shè)直線系方程，再代入一個(gè)特殊點(diǎn)，就可以確定直線方程了.

解因?yàn)閘1∥l2,所以設(shè)對(duì)稱直線方程l2為： 2x-3y+c=0(c≠1).

因?yàn)辄c(diǎn)A到兩直線的距離相等,

所以由點(diǎn)到直線的距離公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程為2x-3y-9=0.

方法三分析通過(guò)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題.

設(shè)P(x,y)是l2上任一點(diǎn)，則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-2-x,-4-y)

.因?yàn)镻′在直線l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

在坐標(biāo)系中我們?nèi)菀子^察出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于特殊直線y=x的對(duì)稱點(diǎn).但如果面對(duì)一般直線的對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，如假設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是A(x0,y0)，已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是y=kx+b，求點(diǎn)A關(guān)于已知直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo).解決此類(lèi)問(wèn)題就要抓住兩點(diǎn)：①兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.

例3 求點(diǎn)A(-1,-2)關(guān)于直線l∶2x-3y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).

分析求解的關(guān)鍵是抓住垂直與平分這兩個(gè)幾何條件上，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解.

解設(shè)A′(x,y)，AA′中點(diǎn)坐標(biāo)為(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直線關(guān)于直線對(duì)稱

直線關(guān)于直線的對(duì)稱是以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱為基礎(chǔ)的，其求解方法和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱相同.但是直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題中，兩直線的位置關(guān)系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當(dāng)兩直線平行時(shí)，通常設(shè)平行直線系方程，然后通過(guò)兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當(dāng)兩直線相交時(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多，主要有：特殊值法，交點(diǎn)法，動(dòng)點(diǎn)代入法等.為了方便，我們通常采用取交點(diǎn)的方法.下面我們以相交直線為例.

例4求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l1∶2x-3y+1=0的對(duì)稱直線l2的方程.

分析線關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

解在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)M′必在l2上.

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a,b).

則由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2過(guò)N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x-46y+102=0.

五、對(duì)稱問(wèn)題與物理知識(shí)結(jié)合應(yīng)用

由物理光學(xué)知識(shí)知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線對(duì)稱.所以解決光學(xué)對(duì)稱題，經(jīng)常會(huì)利用到點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱知識(shí).

例5從點(diǎn)（2，3）射出的光線沿與直線x-2y=0平行的直線射到y(tǒng)軸上，求經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程.

解由題意得，射出的光線方程為y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0與y軸的交點(diǎn)為(0,2),

又(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,3),所以反射光線所在直線過(guò)(0,2),(-2,3).故方程為x+2y-4=0.

例６在直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，求光線所經(jīng)過(guò)的路程.

解設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB，y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),則△PMN的周長(zhǎng)=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由對(duì)稱性，D,M,N,C共線，所以|CD|即為所求，由兩點(diǎn)間的距離公式得|CD|=40=210.

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