構(gòu)造函數(shù)證明含有指數(shù)和對(duì)數(shù)的不等式

龔世杰

【摘 要】證明函數(shù)不等式的的方法有很多，通?？梢詷?gòu)造函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)中，當(dāng)含有指數(shù)函數(shù)或是對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，由于求導(dǎo)數(shù)之后導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不好確定，導(dǎo)致分析原函數(shù)的單調(diào)性會(huì)變得困難，本文主要研究了如何把函數(shù)不等式拆成兩個(gè)函數(shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)最值之間的比較，這樣表解決了部分函數(shù)求導(dǎo)之后導(dǎo)函數(shù)很復(fù)雜的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 證明不等式 構(gòu)造函數(shù) 指數(shù)與對(duì)數(shù) 最值

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）36-0177-01

在選修的課本中介紹了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度的問(wèn)題，這里便為我們研究構(gòu)造函數(shù)的問(wèn)題提供了一種思路，在利用函數(shù)證明不等式的時(shí)候，構(gòu)造由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成新的函數(shù)，將題目中給出的不等式，經(jīng)過(guò)合理的變換，使之變成的形式，然后再利用導(dǎo)數(shù)得到在定義域上，從而得出不等式成立，在思路上比較簡(jiǎn)潔，但是難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，使得能得出及，而在構(gòu)造函數(shù)當(dāng)中，最難處理的是遇到指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的問(wèn)題時(shí).本文從幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)類型出發(fā)，研究函數(shù)的構(gòu)造方法。

1 構(gòu)造成類型函數(shù)

若函數(shù)則對(duì)任意，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.

例1 已知，求證：當(dāng)時(shí)，

解析 要證，

即證，令，，.因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減.故.

又因?yàn)椋?dāng)時(shí)恒成立，故.所以恒成立，故當(dāng)時(shí)，.

評(píng)注 若采用一般的方法構(gòu)造函數(shù)，即構(gòu)造函數(shù)，再證時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，，導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不好求，導(dǎo)致單調(diào)性無(wú)法判斷，無(wú)法進(jìn)行下一步的運(yùn)算。

2 構(gòu)造成類型函數(shù)

若，則當(dāng)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

特別的，當(dāng)時(shí)，若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

例2 已知函數(shù).，證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

解析 要證，即證成立，

令，

下證.，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.，，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

評(píng)注 若構(gòu)造函數(shù)，再證時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，，再令，則在上單調(diào)遞增且存在零點(diǎn)，故存在零點(diǎn)，但零點(diǎn)無(wú)法計(jì)算得出，將零點(diǎn)整體代換有難度，導(dǎo)致無(wú)法進(jìn)行下一步的運(yùn)算。

例3 已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

解析 要證，即證，令，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

3 指數(shù)類型函數(shù)的構(gòu)造

若將函數(shù)及函數(shù)中替換為，則可得及具有類似的單調(diào)性及最值.

證明：對(duì)一切，都有成立.

解析 要證，即證，令，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，則有成立.

參考文獻(xiàn)：

[1]顏立平.運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J].教師，2011，31：37-38

[2]沈文選，楊清桃.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略[M].浙江大學(xué)出版社，2012.

[3]方秦金.構(gòu)造函數(shù)法證數(shù)列不等式的幾種思考途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2010（1）.