對一道彈簧振子問題的討論

田柯

有這樣一道題：如圖1所示，一輕彈簧一端固定，另一端連接一物塊構(gòu)成彈簧振子，該物塊是由a、b兩個小物塊粘在一起組成的。物塊在光滑水平面上左右振動 ，振幅為A0，周期為T0。當(dāng)物塊向右通過平衡位置時，a、b之間的粘膠脫開；以后小物塊a振動的振幅和周期分別為A和T，則

A A0（填“>”“<”“=”）；

T T0（填“>”“<”“=”）。

看到其中第二問是求T和T0的定性關(guān)系，我拿到題目首先想到直接用彈簧振子的振動周期公式[T=2πmk]，當(dāng)物塊a與b在平衡位置分離后，振子的質(zhì)量減小，其他量均不發(fā)生變化，很容易得到T

但問題是，在物理課標(biāo)的要求中，彈簧振子的周期公式不要求我們知道，教材中也沒有出現(xiàn)過，所以我又有點(diǎn)懷疑這一設(shè)問是不是超綱了？

經(jīng)過查找資料，更進(jìn)一步分析，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)不用彈簧振子的周期公式仍然可得出正確結(jié)果。步驟如下：

首先建立物理模型。原題是一個輕彈簧拖動一個物體，物體質(zhì)量發(fā)生一次變化?？梢砸暈橥耆嗤膬筛鶑椈桑ɑ蛲粡椈桑┓謩e拖動兩個質(zhì)量不同的物體。我們把題目中的“小物塊a與b粘合在一起時”（質(zhì)量為m1）設(shè)為彈簧振子1，把“小物塊a與b脫離開后”（僅a作為振子，質(zhì)量為m2）設(shè)為彈簧振子2，兩振子的輕彈簧是完全一樣的。如圖2所示。[彈簧振子1][彈簧振子2][圖2] [a][a][b]

原題是彈簧振子通過原長位置時發(fā)生質(zhì)量變化，可視為，彈簧振子1和2以相同的速度同時通過平衡位置，此刻開始計(jì)時，此后經(jīng)過T/4，兩振子各自達(dá)到最大位移，分別比較二者所對應(yīng)的時間及位移即可回答題目所問。

初狀態(tài)：兩個振子以相同的速度v0通過平衡位置，由于m1>m2 ，因此，EK1>EK2。

末狀態(tài)：兩個振子各自達(dá)到最大位移時速度均為0，動能全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能。

這是一個始末狀態(tài)已知，要求對過程（時間、空間）進(jìn)行討論做出判斷的問題。

方法1：

從功能關(guān)系的角度分析（以分析出的位移作圖）。

課本明確指出：簡諧振動的能量與振幅有關(guān)，能量大振幅大。由上可知兩彈簧振子能量關(guān)系EK1>EK2，所以兩振子的振幅關(guān)系是A1>A2，振子1的位移大于振子2的位移。結(jié)合相同的始末狀態(tài)，做出v-t圖象，在圖象中位移關(guān)系應(yīng)是曲線（余弦）與坐標(biāo)軸所夾面積，應(yīng)有面積S1>面積S2。所以可畫得圖象如圖3所示：

[v0] [v][t][t1][t2][圖3] [o]

由圖象的橫軸上，很容易看出t1>t2 ，則T

方法2：

從力和運(yùn)動的角度分析（以分析出的加速度作圖）。

兩振子在從平衡位置運(yùn)動到最大位移處的過程中，位移x不斷增大，彈力不斷增大、加速度a也在不斷增大，但由于m1>m2 ，對于相同的位置，兩振子所受彈簧彈力相同，所對應(yīng)的加速度a1s2，即A

[v0] [v][t][t1][t2] [圖4][o]

方法3：

仍然按上面所建的兩個彈簧振子模型和所討論的運(yùn)動過程：兩物體速度均是由v變到零。因?yàn)樗俣鹊母淖兞肯嗤?，所以質(zhì)量大的物體動能的變化量大、動量的變化量大。

上述物體的狀態(tài)變化是彈簧彈力作用結(jié)果。（質(zhì)量不同的兩物體是在相同彈簧或同一彈簧分別對兩物體作用結(jié)果）

物體動能變化量大，按動能定理，需要外力對其做功多，同一彈簧從原長開始連續(xù)變化，若做功多，位移一定大（振幅）；即A

物體動量變化量大，按動量定理，需要外力對其沖量大，同一彈簧從原長開始連續(xù)變化，若沖量大，時間一定長（周期）。即T

這種思考則是抓住了問題的實(shí)質(zhì)，應(yīng)用了物理規(guī)律確切的含義，所以問題的解決變得更加簡單、明了。

以上解題過程建立物理模型結(jié)合了等效法，等效為兩個彈簧振子狀態(tài)量v發(fā)生同樣的變化，使得原題中一個振子質(zhì)量變化前后運(yùn)動狀態(tài)與過程的全面比較變得一目了然，這種物理方法也值得借鑒。

通過討論這一問題，也給我?guī)砹艘恍﹩⑹荆汉芏嘈鹿剑ㄈ鐝椈烧褡又芷诠剑┖托陆Y(jié)論的直接應(yīng)用給我們帶來方便，但不要讓它抑制了我們的思維，有了困惑時別忘了回頭看看物理的基本公式（運(yùn)動學(xué)公式、牛頓定律、動能定理、動量定理、守恒定律等原始規(guī)律），回頭想想物理的基本思想方法（建模、等效、受力、狀態(tài)與過程、圖象分析等），因?yàn)橛袝r只有回到這些“原點(diǎn)”性內(nèi)容，才能找到更本質(zhì)的東西，對問題才能看得更透徹，得以有更多的視角去審視新問題，得以用更多的方法去解決新問題，隨著問題的解決也使我們對物理概念、規(guī)律、物理思想方法在應(yīng)用中加深了理解，我們才會得到更大的收獲。