含參不等式恒成立問題的求解

王丹+謝偉

含參不等式恒成立問題在高考試題中如同一顆璀璨的明珠奪人眼球，與函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合，演奏出了一曲曲優(yōu)美的樂章. 解決這類問題需要運(yùn)用換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，下面舉例介紹這類問題的求解策略.

數(shù)形結(jié)合法

有些含參不等式恒成立問題，從數(shù)的角度很難切入；但從形的角度入手，可以利用恒成立條件的幾何意義直觀求解.

例1 若對(duì)任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（ ）

A. [a<-1] B. [a≤1]

C. [a<1] D. [a≥1]

解析 如圖，其幾何意義是[f（x）=x，][x∈R]的圖象不低于[g（x）=ax， x∈R]的圖象. 因此，[a≤1].

答案 B

例2 若不等式[3x2-logax<0]在[x∈0，13]上恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________.

解析 由題意知，不等式[3x2

如圖，其幾何意義是在區(qū)間[0，13]上函數(shù)[f（x）=logax]的圖象在函數(shù)[g（x）=3x2]的圖象的上方.

若[a>1]，則函數(shù)[f（x）=logax]的圖象在函數(shù)[g（x）=3x2]的圖象的下方，不合題意.

若[0

則[loga13≥13]，解得，[a≥127].

所以，[127≤a<1].

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[127，1].

答案 [127，1]

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于具有明顯幾何意義的含參不等式恒成立問題，可以利用其幾何意義建立關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

不等式解集法

若不等式[f（x）>0]的解集是集合[B]，則不等式[f（x）>0]在集合[A]中恒成立等價(jià)于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.

例3 已知[f（x）=x+a+x-2]，若[f（x）≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析 由題意知，[x+a+x-2≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2-x≤4-x]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.

因?yàn)椴坏仁絒x+a≤2]的解集為[-2-a，2-a]，

所以[[1，2]][?-2-a，2-a].

從而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].

答案 [-3，0]

例4 設(shè)[f（x）]是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)[x≥0]時(shí)，[f（x）=2x]. 若對(duì)任意的[x∈[a， a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________.

解析 由題意知，[f（x）=2x].

則[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].

亦即[x+a≥2x]對(duì)任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

也就是[3x2-2ax-a2≤0]對(duì)任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

（1）當(dāng)[a<0]時(shí)，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[a，-a3].

則[[a，a+2]][?a，-a3].

從而[a<0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].

（2）當(dāng)[a=0]時(shí)，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[0].

則[[a，a+2]][?0]，這是不可能的，所以[a∈?].

（3）當(dāng)[a>0]時(shí)，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[-a3，a].

則[[a，a+2]][?-a3，a]，這是不可能的，所以[a∈?].

綜上所述，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[-∞，-32].

答案 [-∞，-32]

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于容易求出不等式的解集的含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)給定恒成立區(qū)間是不等式解集的子集列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組），從而求得參數(shù)的取值范圍.

函數(shù)最值法

含參不等式恒成立問題中至少含有兩個(gè)變量，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并用求函數(shù)最值的方式解題. 一般有兩種解題策略.

（1）分離參數(shù)法. 先分離參數(shù)[k]得，[k>f（x）]，或[kf（x）]恒成立[?k>f（x）max]；②[k

（2）不分離參數(shù)法. 不分離參數(shù)[k]，直接構(gòu)造含參數(shù)[k]的函數(shù)[y=g（x）]，通過求含參數(shù)[k]的函數(shù)[y=g（x）]的最值，建立關(guān)于[k]的不等式，再求參數(shù)[k]的取值范圍.

例5 若不等式[x2+ax+1≥0]對(duì)[x∈0，0.5]恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）

A. 0 B. -2

C. -2.5 D. -3

解析 兩種轉(zhuǎn)化策略：（1）分離參數(shù)法，將不等式轉(zhuǎn)化為[a≥-x+1x]. 由題意知，它對(duì)[x∈0，0.5]恒成立，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)[g（x）=-x+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分離參數(shù)法，直接構(gòu)造含參數(shù)[a]的函數(shù)[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用參數(shù)[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0].

方法一：將不等式轉(zhuǎn)化為[a≥-x+1x]，由題意知，它對(duì)[x∈0，0.5]恒成立.

構(gòu)造函數(shù)[g（x）=-x+1x，x∈0，0.5].

因?yàn)閇y=g（x）=-x+1x]在[0，0.5]上是增函數(shù)，

所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].

所以[a≥-2.5].

所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[{a|a≥-2.5}].

方法二：構(gòu)造函數(shù)[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]

①當(dāng)[a≥0]時(shí)，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函數(shù).

則[f（x）>1]，所以[a≥0]符合題意.

②當(dāng)[-1

由題意得，[-1

所以[-1

③當(dāng)[a≤-1]時(shí)，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函數(shù).

則[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].

由題意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]

所以[-2.5≤a≤-1].

綜上所述，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[aa≥-2.5].

點(diǎn)評(píng) 一般選擇恒成立的變量和區(qū)間作為構(gòu)造函數(shù)的自變量和定義域. 如例5中選擇[x]而不是[a]作為自變量，選擇[0，0.5]而不是其他范圍作為定義域. 而且，通常用到一次函數(shù)、二次函數(shù)、[y=x+kx（k>0）]型等函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值.

例6 已知函數(shù)[f（x）=xlnx-ax2]在[x∈1e2，+∞]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 方法一：依題意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]對(duì)[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]對(duì)[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[gx=lnx+1x]，則[gx=-lnxx2].

所以g（x）在[1e2，1]上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

又當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，

故[gxmin=g1e2=-e2].

所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].

所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[-∞，-e22].

方法二：依題意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]對(duì)[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[h（x）=lnx-2ax+1，x∈1e2，+∞]，

則[h（x）=lnx-2ax+1≥0]對(duì)[x∈1e2，+∞]恒成立.

則[h（x）=1x-2a=-2ax+1x].

①當(dāng)[a≤0]時(shí)，[h′（x）>0]，[h（x）]在區(qū)間[1e2，+∞]上單調(diào)遞增.

則[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].

則[a≤0，-2ae2-1≥0.]

解得，[a≤-e22].

②當(dāng)[a>]0時(shí)，由[h′（x）>0]得，[x=12a].

當(dāng)[1e2<12a]，即[0

當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[g（x）→-∞]，故不合題意.

當(dāng)[1e2>12a]，即[a>e22]時(shí)，h（x）在區(qū)間[1e2，+∞]上單調(diào)遞減.

當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[g（x）→-∞]，故不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[-∞，-e22].

點(diǎn)評(píng) 兩種解題策略的區(qū)別在于：構(gòu)造的函數(shù)是否含有參數(shù)，而參數(shù)會(huì)對(duì)求最值產(chǎn)生影響. 一般優(yōu)先選擇分離參數(shù)法，如果分離參數(shù)比較困難，再選擇不分離參數(shù)法.