離散型隨機變量的期望與方差

趙碧云+余錦銀

離散型隨機變量的分布列、期望、方差是三個緊密相連的有機統(tǒng)一體，一般綜合在一起進(jìn)行考查. 其解題的關(guān)鍵是求出分布列，然后套用公式即可求出期望與方差. 下面我們結(jié)合實例談一談離散型隨機變量的期望與方差及其應(yīng)用.

常見分布列的數(shù)學(xué)期望與方差

例1 一個口袋內(nèi)裝有5個白球和2個黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球. 求取球次數(shù)[ξ]的數(shù)學(xué)期望[Eξ]與方差[Dξ].

分析 每次取出黑球就放回，取到白球才結(jié)束. 每次從袋內(nèi)取出白球的概率[p=57]，取出黑球的概率[q=27]. [ξ]的取值為1，2，3，…，有無窮多個. 因此[ξ]服從幾何分布.

解 用[ξ=k]表示前[k-1]次均取到黑球，而第[k]次取到白球，

故[pξ=k=qk-1?p=27k-1?57]，[k=1，2，3，…].

又[ξ]服從幾何分布.

從而[Eξ][=1p=75]，[Dξ][=1-pp2=1-57572=1425].

點評 （1）幾何分布：概率為[p]的事件[A]，以[X]記為[A]首次發(fā)生所進(jìn)行的實驗次數(shù)，則[X]的分布列：[pX=k=1-pk-1?p，k=1，2，3，…]，具有這種分布列的隨機變量[X]，稱為服從參數(shù)[p]的幾何分布. （2）幾何分布的期望[Eξ=1p]，方差[Dξ=1-pp2].

例2 某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友（n>10且[n∈N*]），其中女校友6位，組委會對這n位校友制作了一份校友名單. 現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”.

（1）若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率等于[12]，求n的值；

（2）當(dāng)n=12時，設(shè)選出的2位校友中女校友人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及Eξ，[Dξ].

解析 （1）由題意可知，所選兩人為“最佳組合”的概率[P=C1n-6C16C2n=12n-6nn-1].

則[12n-6nn-1=12].

化簡得，n2-25n+144=0，

解得，n=9（舍去），或n=16.

故n=16.

（2）由題意得，[ξ]的可能取值為0，1，2.

則P（ξ=0）=[C26C212=522]，P（ξ=1）=[C16C16C212=611]，

P（ξ=2）=[C26C212=522].

[[ξ] 0 1 2 [P] [522] [611] [522] ]

[∴][Eξ=0×522+1×611+2×522=1]，

[Dξ=0-12×522+1-12×611+2-12×522=511.]

點評 ①在含有[M]件次品數(shù)的[N]件產(chǎn)品中，任取[n]件，其中含有[X]件次品數(shù)，則事件[{X=k}]發(fā)生的概率為[P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN]，[k]=0，1，2，…，[m]，其中[m=min{M，n}]，且[n≤N]，[M≤N]，[n]，[M]，[N∈N*]，稱此分布列為超幾何分布列.

②超幾何分布的期望[EX=nMN]，[DX=nMN-][nMN2+nn-1MM-1NN-1].

離散型隨機變量在實際中的應(yīng)用

例3 甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等. 而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列如下. 試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.

甲保護(hù)區(qū)

分析 一是要比較一下甲、乙兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動情況，即方差值的大小. （當(dāng)然，亦可計算其標(biāo)準(zhǔn)差，同樣說明道理. ）

解 甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)[ξ1]的數(shù)學(xué)期望和方差為：

[Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，]

[Dξ1=（0-1.3）2×0.3+（1-1.3）2×0.3+（2-1.3）2×0.2 ]

[+（3-1.3）2×0.2=1.21.]

乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)[ξ2]的數(shù)學(xué)期望和方差為：

[Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，]

[Dξ2=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4 ]

[=0.41].

因為[Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2]，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的；乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動.

（標(biāo)準(zhǔn)差[σξ1=Dξ1=1.1，σξ2=Dξ2≈0.64]這兩個值在科學(xué)計算器上容易獲得，顯然，[σξ1>σξ2].）

點評 數(shù)學(xué)期望只體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的（比如：兩個隨機變量的均值相等了，即數(shù)學(xué)期望值相等），這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周期變化，即計算其方差（或是標(biāo)準(zhǔn)差）. 方差大說明隨機變量取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定.

期望、方差與其他知識的綜合應(yīng)用

例4 某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)[A，B]兩種奶制品. 生產(chǎn)1噸[A]產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸[B]產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元. 要求每天[B]產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過[A]產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)[A，B]兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列如下.endprint

[[W] 12 15 18 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利[Z]（單位：元）是一個隨機變量.

（1）求[Z]的分布列和均值；

（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

解析 （1）設(shè)每天[A，B]兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為[x，y]，相應(yīng)的獲利為[z]，

則[2x+1.5y≤W，x+1.5y≤12，2x-y≥0，x≥0， y≥0. ] （*）

目標(biāo)函數(shù)為[z=1000x+1200y].

①當(dāng)[W=12]時，（*）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為[A（0， 0）， B（2.4， 4.8）， C（6， 0）].

[圖1]

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當(dāng)[x=2.4， y=4.8]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200][=8160].

②當(dāng)[W=15]時，（*）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為[A（0， 0）， B（3， 6）， C（7.5， 0）].

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當(dāng)[x=3， y=6]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=3×1000+6×1200=10200].

③當(dāng)[W=18]時，（*）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為[A（0， 0）， B（3， 6）， C（6， 4）， D（9， 0）].

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當(dāng)[x=6，y=4]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=6×1000+4×1200=10800].

故最大獲利[Z]的分布列為

[[Z] 8160 10200 10800 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

故[E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2]

[=9708.]

（2）由（1）知，一天最大獲利超過10000元的概率[p1=P（Z>10000）=0.5+0.2=0.7].

由二項分布知，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為[p=1-（1-p1）3=1-0.33=0.973.]

點評 本題是隨機變量的分布列、期望、二項分布與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用. 很多同學(xué)由于題目較長讀不懂題意，無法轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致丟分. 其實只需根據(jù)[W]的取值和線性規(guī)劃的知識求出[Z]的所有可能取值及對應(yīng)的概率就可得到[Z]的分布列，問題也就迎刃而解了.endprint