單組份玻色-愛因斯坦凝聚體基態(tài)穩(wěn)定性研究

溫建蓉， 李晉斌

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院，南京 211106)

近幾年，對玻色-愛因斯坦凝聚體[1](BEC)研究引起了人們的廣泛關(guān)注，包括了一系列有趣的現(xiàn)象，如BEC穩(wěn)定性[2]，集體激發(fā)[3]等，都涉及到了BEC內(nèi)原子之間和原子與外勢之間相互作用，由于單組份粒子狀態(tài)比較簡單，研究相對方便，物理工作者對單組份BEC在不同勢阱作用下的動力學(xué)性質(zhì)[4]進(jìn)行了深入研究，包括傾斜光晶格勢阱中單組分BEC性質(zhì)研究，簡諧勢阱下的研究等.而研究的立足點(diǎn)都是基于平均場近似的Gross-Pitaevskii Equation(GP方程)[5]，GP方程將原子內(nèi)部復(fù)雜的勢能歸結(jié)為贗勢表示，將原子視為半徑為a的硬球，散射長度接近硬球半徑a,即s波散射長度.

本文主要研究在一維各向同性的簡諧勢阱中的單組分玻色-愛因斯坦凝聚體基態(tài)的穩(wěn)定性現(xiàn)象.之前人們討論穩(wěn)定性的方法一般是假定一個含時的波函數(shù)[6],運(yùn)用最小作用量原理來定波函數(shù)中的參數(shù)，以此來討論凝聚體的穩(wěn)定性.本文不采取討論含時的波函數(shù)的方式，而是從假設(shè)較精準(zhǔn)的近似定態(tài)波函數(shù)出發(fā)，討論能量極小值的條件，并得出了一些新的解及結(jié)論.

1 系統(tǒng)的理論描述

BEC理論表明原子間的作用是非線性的，對于原子間存在弱相互作用的BEC凝聚體[7]，它將服從非線性波動方程(即Gross-Pitaevskii方程，簡寫為GP方程),這個方程是一個非線性的薛定諤方程[8].具有弱相互作用的BEC基態(tài)滿足的GP方程形式如下

(1)

在各向同性的簡諧勢場下，我們討論一維形式的GP方程，將實(shí)際的波函數(shù)近似為線性諧振子的基態(tài)波函數(shù)并運(yùn)用歸一化條件對x,y方向積分，可得

(2)

(3)

E⊥是x,y方向的積分常數(shù)，可以將其歸入μ中而不改變波函數(shù).

2 數(shù)值處理

(4)

由于外勢能是對稱的，且散射項是各項同性的，所以波函數(shù)是對稱的，設(shè)歸一化的粒子分布密度為

(5)

可知波函數(shù)為

(6)

其中，σ為凝聚體的寬度，假設(shè)在|x|大于等于σ時，沒有原子存在，即φx=0.σ不是獨(dú)立存在的，它會隨著散射強(qiáng)度的改變而改變，這是因為費(fèi)什巴赫共振[9]能夠強(qiáng)烈的影響原子的散射長度，原子間作用可能從吸引連續(xù)變?yōu)榛ハ嗯懦?，也就是散射長度會由負(fù)變正，又有g(shù)∝a，所以當(dāng)散射強(qiáng)度增大時，實(shí)際的寬度由于整體排斥會使凝聚體寬度增大，而由于整體吸引作用，則會使凝聚體寬度變小.假設(shè)

(7)

在Thomas-Fermi(TF)近似[10]下動能項可以忽略，并以φxt，μt表示Thomas-Fermi近似下的波函數(shù)和化學(xué)勢，則方程(4)變?yōu)?/p>

(8)

所以有

(9)

(10)

(11)

此時的波函數(shù)可以寫為

(12)

在Ketterle文獻(xiàn)[11]中有結(jié)論得出g=0.3 Hz·m或者g=0.6 Hz·m時TF近似得出來的波函數(shù)結(jié)果與數(shù)值計算得出的十分符合.而在g=7.5×10-7Hz·m 時，TF近似與數(shù)值計算的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，文章中原子為Rb，質(zhì)量為87，ω=1 000 Hz，L單位為6×10-7m,所以無量綱化后的g的量級在103時，波函數(shù)與二次方程是符合的，當(dāng)g的量級在10-3時，波函數(shù)不符合二次方程，所以假設(shè)歸一化波函數(shù)在g十分大時的形式為

(13)

依據(jù)變分原理，系統(tǒng)能夠形成穩(wěn)定的凝聚體，式(4)中的μ應(yīng)該存在極小值，化學(xué)勢為

(14)

將式(5)、(6)代入式(14)，可得

(15)

顯而易見，μ中的變量有凝聚體x方向?qū)挾圈液鸵痪S散射強(qiáng)度g.凝聚體穩(wěn)定時的狀態(tài)應(yīng)當(dāng)滿足的條件是：當(dāng)散射長度一定時，化學(xué)勢取到極小值.即求使dμ/dg=0的g的值.滿足這個條件的一維散射強(qiáng)度g一定處于穩(wěn)定狀態(tài)，因為在處于化學(xué)勢極小值的時候，即使在受到一定的擾動時，系統(tǒng)最終還是會重新達(dá)到能量極小的狀態(tài).

3 結(jié)果與分析

為了得到f(g)的具體形式，我們用數(shù)值方法[12]求解方程(4)并定義了數(shù)值解下凝聚體的寬度式(16)，然后用數(shù)值解的凝聚體的寬度減去TF近似解的寬度，最后用曲線擬合出f(g)的具體表達(dá)式(17)

(16)

(17)

圖1 虛線表示TF近似下的凝聚體寬度， 實(shí)線表示數(shù)值解的寬度

將式(17)帶入式(7)中，便知道凝聚體寬度隨散射強(qiáng)度的變化方式了,此時σ(g)隨g的增大是一直在增大的.圖1是數(shù)值解與TF近似解的寬度的對比圖.

從圖1中可以看出，凝聚體的寬度隨著g的增大逐漸增大，數(shù)值方法與托馬斯費(fèi)米近似下的凝聚體寬度之間的差值逐漸減小趨于0,此后，托馬斯費(fèi)米近似下寬度逐漸大于數(shù)值解下的寬度，但差值的絕對值保持在1左右.

將式(7)、(17)代入式(15)中，可知道μ只隨g變化，于是做出g小于0時，勢能隨g變化的圖，如圖2以及圖3所示.

(18)

其中，ω⊥是x,y方向的圓頻率約為942 rad·s-1，ω是z方向的圓頻率約為816 rad·s-1，此時對應(yīng)的N為884個，也就是7Li原子的穩(wěn)定狀態(tài)時的原子數(shù)為884，數(shù)量是在650到1 400之間.

圖2 一維散射強(qiáng)度為負(fù)時的化學(xué)勢隨g的變化圖，g的范圍是-1.8到-0.2

圖3 一維散射強(qiáng)度為負(fù)時的化學(xué)勢隨g的變化，g取值范圍是-10到0

從圖2、圖3中可看出，隨一維散射強(qiáng)度的變化，化學(xué)勢有一個明顯的尖峰，所以當(dāng)g為負(fù)值的時候，隨著g的絕對值連續(xù)增大(通過連續(xù)調(diào)節(jié)散射長度a使吸引作用增大時)，會遇到一個化學(xué)勢極其高的狀態(tài)(g為-4.7)，這時凝聚體十分的不穩(wěn)定很容易塌縮，也就是說凝聚體不可能通過連續(xù)的變化產(chǎn)生g比-4.7小的狀態(tài).而在g大于-4.7小于0時，都是有可能存在的狀態(tài)，但是凝聚體最終會穩(wěn)定在g為-1.15的時候，因為此時的化學(xué)勢最小，凝聚體是可以穩(wěn)定的.

4 結(jié)語

Ketterle文章中關(guān)于波函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)論中，我們知道Thomas-Fermi近似下得出的概率密度在g很小時是不成立的，下面簡單計算了TF近似的成立條件，由式(4)、(8)、(9)可得出

(19)

令φ°=φx-φxt，因為每個不同的g值對應(yīng)下的φx都會有對應(yīng)的TF近似，所以在不同的g值下都會有一段長度內(nèi)φ°趨于0，于是舍棄掉2φ°2φxt以及φ°3，即φx3-φxt3=2gφxt2φ°，化簡，并利用級數(shù)解法可得出首項系數(shù)及收斂范圍

(20)

(21)

x在凝聚體寬度范圍內(nèi)取值時，級數(shù)都收斂，取a0項.我們是在φ°十分小時舍去非線性項，所以當(dāng)φ°絕對值小于等于0.1時認(rèn)為假設(shè)成立的，此時的g為2.5，所以認(rèn)為g大于2.5時可以認(rèn)為TF近似是好的近似.

本文在數(shù)值計算和托馬斯費(fèi)米近似兩種方法結(jié)合下分析求解了GP方程，通過討論化學(xué)勢分析玻色-愛因斯坦凝聚體基態(tài)穩(wěn)定性條件.隨著g不斷變化過程中，化學(xué)勢在g為-1.15時取得極小值，此時凝聚體狀態(tài)穩(wěn)定，并且計算了此時7Li原子的凝聚原子數(shù)目；而在g為-4.7時，凝聚體很不穩(wěn)定容易塌縮，但BEC基態(tài)最終會在化學(xué)勢最小的狀態(tài)穩(wěn)定.穩(wěn)定性作為BEC動力學(xué)問題重要的研究現(xiàn)象，我們也期待能夠在理論和實(shí)驗上進(jìn)行更進(jìn)一步的探索.

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