引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)表象“四部曲”

張春霞

摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)表象十分重要，這樣才能有效地促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。小學(xué)生積累數(shù)學(xué)表象的過(guò)程是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)到形，初步積累表象；由形到思，豐富數(shù)學(xué)想象；由思到理，提升表象思維；由理到想，升華表象系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表象；積累；表象思維；表象系統(tǒng)

所謂數(shù)學(xué)表象，就是依托數(shù)學(xué)主體而形成的主觀印象，即使主體不在，但是這一印象依然可以停留在腦海中。數(shù)學(xué)表象實(shí)際上就是指有一部分有形信息，只要學(xué)生所掌握的表象信息足夠豐富，就能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生更深層面的理解與認(rèn)知。通過(guò)量的積累，在到達(dá)一定水平之后，必然會(huì)呈現(xiàn)出質(zhì)的改變，由此就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)表象積累的升級(jí)。所以，在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積累表象，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表象信息進(jìn)行處理，以推動(dòng)質(zhì)的改變。針對(duì)表象的認(rèn)知極具規(guī)律性，不管是教材所展示的數(shù)，還是相關(guān)聯(lián)的圖形，都能夠激發(fā)豐富的想象以及聯(lián)想，立足于思維認(rèn)知的高效化整理完成對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的自主架構(gòu)。

一、由數(shù)到形——初步積累表象

針對(duì)數(shù)學(xué)表象的認(rèn)知極具規(guī)律性，教材中所呈現(xiàn)的規(guī)律都是從抽象的數(shù)開(kāi)始直至形，這一方式看似本末倒置，但實(shí)際上數(shù)和形之間的因果關(guān)系正是積累表象的初始環(huán)節(jié)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，我們會(huì)接觸到圖、形以及物，它們都服務(wù)于對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)。這些圖形及物，和數(shù)之間存在著直接的因果對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果將其割裂，就會(huì)導(dǎo)致表象認(rèn)知的破損，形成散亂的狀態(tài)。

例如，在教學(xué)“平移和旋轉(zhuǎn)”這一課時(shí)，如果不能將教材中的數(shù)和形進(jìn)行有機(jī)融合，那它們就必然失去了存在的意義。有位教師在教學(xué)中是這樣設(shè)計(jì)的：

師：這一節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是平移和旋轉(zhuǎn)，你們知道什么是平移？什么是旋轉(zhuǎn)嗎？我先給大家做個(gè)演示，大家自主判定！

（教師走上講臺(tái)并徑直向前走，之后旋轉(zhuǎn)一周。）

生1：前面直行的動(dòng)作是平移，后面就是旋轉(zhuǎn)。

師：回答得非常正確，可是這些和數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在怎樣的關(guān)聯(lián)呢？

生2：平移和方向有關(guān)，旋轉(zhuǎn)時(shí)分為逆時(shí)和順時(shí)，實(shí)際上也和方向有關(guān)，都是數(shù)學(xué)問(wèn)題。

生3：不管是平移還是旋轉(zhuǎn)，都有可能涉及速度快慢的問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)問(wèn)題。

以上案例中，教師以直觀的方式展現(xiàn)數(shù)和形，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)，更加生動(dòng)、清晰，并由此架構(gòu)數(shù)學(xué)數(shù)理以及物象形體之間的平面關(guān)系，使表象積累更豐富，更有助于突顯其價(jià)值。

二、由形到思——豐富數(shù)學(xué)想象

學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象所形成的直覺(jué)感知以及經(jīng)驗(yàn)等，都屬于形象思維，同時(shí)也是有效的表象積累。為了推動(dòng)其質(zhì)的轉(zhuǎn)變，就必須立足于這些形象思維，激活學(xué)生豐富的想象，既有助于積累表象資源，同時(shí)也可以使學(xué)生在處理表象資源的過(guò)程中自主生成新的認(rèn)知，真正實(shí)現(xiàn)質(zhì)的轉(zhuǎn)變。愛(ài)因斯坦認(rèn)為，和知識(shí)相比，想象力的作用更為強(qiáng)大，能夠涵納世間萬(wàn)物。由此也可以看出，只有積累更豐富的表象，才能夠有效觸發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，也才能為其聯(lián)想提供更廣闊的空間，這是積累表象的第二個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)和我們的生活之間存在著較為緊密的關(guān)聯(lián)，同時(shí)也促進(jìn)了形象思維的發(fā)展，并逐步上升至抽象思維。小學(xué)生的認(rèn)知層面相對(duì)淺顯，因此，針對(duì)小學(xué)生的引導(dǎo)必須要特別關(guān)注階梯以及密度。以“千米”的教學(xué)過(guò)程為例，教師需要充分把握當(dāng)前學(xué)生所擁有的表象積累。

例如，一位教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)千米”時(shí)，是這樣觸發(fā)學(xué)生的表象的。

師：我們生活時(shí)時(shí)處處都和千米有關(guān)，千米在各行各業(yè)都擁有較為普遍的運(yùn)用，但是1千米究竟有多長(zhǎng)？誰(shuí)能夠較為清晰地說(shuō)明呢？

生1：我們足球場(chǎng)的周長(zhǎng)為250米，那么，1千米應(yīng)該就是四個(gè)足球場(chǎng)的周長(zhǎng)。

生2：爸爸說(shuō)從家到學(xué)校一共有1公里，這就意味著家和學(xué)校之間的距離為1千米。

師：回答得非常準(zhǔn)確，誰(shuí)還能說(shuō)得更遠(yuǎn)一些？

生3：從我們的城市出發(fā)到北京，距離為800公里，也就是800千米。

……

通過(guò)教師的層層深入引導(dǎo)，充分激活了學(xué)生的想象，同時(shí)也深化了對(duì)“千米”的認(rèn)知，豐富了表象的積累。通過(guò)一系列對(duì)比，這一表象信息更加清晰，既完成了有效的表象資源積累，同時(shí)也能顯著推動(dòng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

三、由思到理——提升表象思維

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，其最終目標(biāo)就是全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，有助于數(shù)學(xué)概念的形成，但這一形成過(guò)程，絕不是靠的死記硬背。對(duì)于教師而言，其主要任務(wù)并非只是教授知識(shí)，同時(shí)也包括數(shù)學(xué)思維方式的傳授。只有這樣，才能真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)表象的深化認(rèn)知并進(jìn)階至理性層面，這也是表象資源積累的第三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在這一過(guò)程中，學(xué)生的認(rèn)知思維得以升華，同時(shí)也習(xí)得相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念以及有效解決問(wèn)題的能力。

例如，一位教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)幾分之一”這一課時(shí)，有這樣一個(gè)教學(xué)片段：

師：大家已經(jīng)了解了幾分之一的概念，而且在我們生活中，這樣的實(shí)例非常多，現(xiàn)在我們做一個(gè)模仿訓(xùn)練，回家告訴父母你今天所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最好可以舉例說(shuō)明。

這一模仿過(guò)程可以有效完成對(duì)表象思維的提升，使學(xué)生能夠立足于數(shù)學(xué)思維，做出較為細(xì)致科學(xué)的數(shù)學(xué)解釋。在解釋的過(guò)程中，學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的高效內(nèi)化，由此必然可以全面完善表象積累體系。

四、由理到想——升華表象系統(tǒng)

充分利用并有效豐富學(xué)生的表象，同時(shí)輔以相應(yīng)的想象和聯(lián)想，可以在模擬情境中更充分地體現(xiàn)出知識(shí)的靈動(dòng)性，并且在不斷地演練及反復(fù)的重組過(guò)程中幫助學(xué)生深化對(duì)相關(guān)內(nèi)容的認(rèn)知。在當(dāng)前的小學(xué)教材中，很多問(wèn)題的教學(xué)都需要結(jié)合想象性表象，比較典型的是對(duì)無(wú)限性的理解。在這一環(huán)節(jié)中，如果缺乏想象，在面對(duì)無(wú)限問(wèn)題時(shí)必然難以準(zhǔn)確界定這一概念。因此，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在把握數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)想象，在這個(gè)過(guò)程中升華學(xué)生的表象系統(tǒng)。

例如，一位教師在教學(xué)“射線(xiàn)”的過(guò)程中，首先向?qū)W生出示一條線(xiàn)段AB，一邊演示一邊向?qū)W生提問(wèn)。

師：假如以A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，沿著B(niǎo)點(diǎn)的方向不停地延伸，你能想象出這是怎樣的圖形嗎？你是否可以將這一圖形在紙上畫(huà)出來(lái)？

（很多學(xué)生在作圖時(shí)都出現(xiàn)了一種情況——線(xiàn)已經(jīng)延伸至紙的邊緣。）

師：為什么你們的圖形會(huì)畫(huà)成這樣呢？為什么會(huì)到了紙的邊緣呢？

生：因?yàn)橐煌５匮娱L(zhǎng)，但是紙張大小有限，只能畫(huà)到邊緣就無(wú)法繼續(xù)了。

師：那么，到了邊緣之后，是不是就完成了你想象中的圖形呢？

生：應(yīng)該還需要更大的紙。

生：無(wú)論用多大的紙也畫(huà)不下。

師：確實(shí)如此，我們無(wú)法用現(xiàn)實(shí)中的紙張滿(mǎn)足我們想象中的圖形。

師：那么，這種圖形我們?cè)跀?shù)學(xué)中把它叫作什么？

生：射線(xiàn)。（經(jīng)過(guò)上述過(guò)程，學(xué)生已經(jīng)在腦海中對(duì)射線(xiàn)形成了初步的表象）

師：是的，不過(guò)射線(xiàn)有些麻煩，因?yàn)樗軌驘o(wú)限延長(zhǎng)，所以我們不可能把它完整地畫(huà)出來(lái)。但是在數(shù)學(xué)中，因?yàn)榻涣鞯男枨?，我們需要想一個(gè)辦法來(lái)進(jìn)行表示。你能想出怎樣的好辦法呢？

生：先畫(huà)出其中的一段，之后寫(xiě)上無(wú)限延伸。

生：是否可以在畫(huà)完之后寫(xiě)上省略號(hào)呢？

師：那么，大家想不想知道數(shù)學(xué)上究竟對(duì)此做出了怎樣的規(guī)定呢？

（教師在黑板上做出明確的畫(huà)法示范。）

以上教學(xué)片段充分結(jié)合了想象性表象，直觀地展示出射線(xiàn)的無(wú)限性，同時(shí)也揭示了存在于想象及現(xiàn)實(shí)圖形表達(dá)之間的矛盾，引發(fā)了學(xué)生對(duì)圖形表達(dá)的創(chuàng)造性觀念，同時(shí)讓學(xué)生嘗試?yán)斫夂徒邮軘?shù)學(xué)規(guī)定。這一方式實(shí)際上是對(duì)抽象概念的直觀化展現(xiàn)，通過(guò)關(guān)聯(lián)的方式引導(dǎo)學(xué)生聚焦表象資源，圖形看似存在有限性，卻并未對(duì)射線(xiàn)無(wú)限性這一本質(zhì)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生任何負(fù)面影響。

總之，學(xué)生自主創(chuàng)建的表象系統(tǒng)，實(shí)際上可以被歸類(lèi)為感知的初級(jí)階段。隨著知識(shí)的不斷積累，認(rèn)知就會(huì)成為主動(dòng)的內(nèi)心訴求，此時(shí)就需要教師的正確引導(dǎo)，使學(xué)生可以將零散的表象信息進(jìn)行加工處理，并在這一過(guò)程中生成數(shù)學(xué)感知，形成數(shù)學(xué)理論。這樣，這一過(guò)程才能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)規(guī)律。數(shù)學(xué)具有非常典型的抽象特質(zhì)，但是，所有的抽象思維都會(huì)經(jīng)歷表象思維的階段，而教師的主要功能就在于為學(xué)生搭建一座橋梁，有效鏈接學(xué)生的思維，推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知升級(jí)。