淺析經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

黃妃智

摘 要：目前，對(duì)于經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，很多學(xué)者持有不同的意見(jiàn)，主要有兩個(gè)分支：一部分學(xué)者認(rèn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)為一階邏輯，還有一部分學(xué)者認(rèn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)是二階邏輯。這兩種觀點(diǎn)之間沒(méi)有得到統(tǒng)一。經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)不僅與一階邏輯有關(guān)，同時(shí)也離不開(kāi)二階邏輯，一階邏輯和二階邏輯作為經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)不存在矛盾性。

關(guān)鍵詞：經(jīng)典數(shù)學(xué)；邏輯基礎(chǔ)；一階邏輯；二階邏輯

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2018）06-0173-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.110

目前，經(jīng)典數(shù)學(xué)理論的邏輯基礎(chǔ)主要有兩種爭(zhēng)論，一個(gè)是一階邏輯，一個(gè)是二階邏輯。自上個(gè)世紀(jì)20年代至今一直是邏輯學(xué)爭(zhēng)論的問(wèn)題，到現(xiàn)在還沒(méi)有達(dá)成一致。目前，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的任務(wù)是在重構(gòu)數(shù)學(xué)分支的過(guò)程中給出各個(gè)數(shù)學(xué)分支間的關(guān)系，描繪出數(shù)學(xué)的大圖景。因此，在這種狀況下，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究必須涉及二階邏輯。不論是一階邏輯還是二階邏輯的邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家，都承認(rèn)經(jīng)典數(shù)學(xué)，但是主張一階邏輯的邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家認(rèn)為，經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)是一階邏輯；而主張二階邏輯的邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家認(rèn)為，經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)是二階數(shù)學(xué)。本文的主要觀點(diǎn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)以一階邏輯為主，但是二階邏輯同樣起到一定的作用。

一、相關(guān)定義

（一）一階邏輯

一階邏輯是一種形式系統(tǒng)（Formal System），即形式符號(hào)推理系統(tǒng)，也叫一階謂詞演算、低階謂詞演算（Predicate Calculus）、限量詞（Quantifier）理論，也有人稱(chēng)其為“謂詞邏輯”，雖然這種說(shuō)法不夠精確。總之，不管怎么說(shuō)，一階邏輯就是一種形式推理的邏輯系統(tǒng)，是一種抽象推理的符號(hào)工具。

（二）二階邏輯

在邏輯和數(shù)學(xué)中，二階邏輯是一階邏輯的擴(kuò)展，一階邏輯是命題邏輯的擴(kuò)展。二階邏輯接著被高階邏輯和類(lèi)型論所擴(kuò)展。一階邏輯和二階邏輯都使用了論域（有時(shí)叫做“域”或“全集”）的想法。論域是可以在其上量化的個(gè)體元素的集合。一階邏輯只包括取值為論域的個(gè)體元素的變量和量詞。例如，在一階句子？坌x（x≠x+1）中，變量x被用來(lái)表示一個(gè)任意的個(gè)體。二階邏輯擴(kuò)展了一階邏輯，通過(guò)增加取值在個(gè)體的集合上變量和量詞。

二、一階邏輯和二階關(guān)系的不矛盾性

目前已經(jīng)有很多邏輯學(xué)家或者哲學(xué)家能夠認(rèn)可一階邏輯的存在，這是由于一階邏輯在語(yǔ)義和語(yǔ)法上的一致性，主要表現(xiàn)為一階邏輯在語(yǔ)法后承和語(yǔ)義后承方面一致性。但是即使如此，一階邏輯也不能證明完全作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)。這是由于，如果僅憑一致性和合理性確定邏輯的標(biāo)準(zhǔn)，那么會(huì)出現(xiàn)更多的邏輯思想作為經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，顯然很多邏輯是不可以作為經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的。追溯到數(shù)學(xué)和邏輯史可以發(fā)現(xiàn)，一階邏輯的出現(xiàn)相對(duì)高階邏輯反而較晚，因此表明，一階邏輯作為經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)并非是研究者的最初目的。

第一個(gè)提出一階邏輯的完全性觀點(diǎn)的邏輯學(xué)家是希爾伯特，于1929年提出。次年，哥德?tīng)枌?duì)一階邏輯的完全性給出證明。一階邏輯的提出和證明極大地推動(dòng)了邏輯學(xué)的發(fā)展。二階邏輯和一階邏輯的存在并沒(méi)有存在很大反差，相反，一階邏輯的出現(xiàn)和研究推動(dòng)了二階邏輯的發(fā)展。因此，學(xué)者在對(duì)于二階邏輯的研究過(guò)程中，不得不承認(rèn)一階邏輯的合理性，同時(shí)承認(rèn)二階邏輯在某些方面比一階邏輯更具優(yōu)越性，例如對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的建模與反映等方面。

本文對(duì)當(dāng)代哲學(xué)家支持一階邏輯的具體觀點(diǎn)進(jìn)行表述。哲學(xué)家蒯因認(rèn)為二階邏輯在語(yǔ)義方面包含“類(lèi)”的概念，使邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)之間的邊界變得模糊不清，但是邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)是兩個(gè)不同的學(xué)科分類(lèi)，應(yīng)該有明確的界限劃分。單從蒯因所持有的觀點(diǎn)上來(lái)看，看不出數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)之間的明顯界限。從數(shù)學(xué)邏輯的角度分析，一階邏輯的語(yǔ)義學(xué)同樣包含了數(shù)學(xué)的概念。因此，數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的，無(wú)法清晰的劃分開(kāi)。以一階邏輯為例，一階邏輯中包含一階算數(shù)理論，其中包含自然數(shù)的函數(shù)，函數(shù)本身是自變量與因變量的關(guān)系，這就導(dǎo)致一階算數(shù)理論涉及個(gè)體域上的關(guān)系類(lèi)。蒯因認(rèn)為這樣的說(shuō)法由于缺少二階約束而不存在實(shí)質(zhì)性的理論關(guān)系。在這個(gè)方向考慮，蒯因認(rèn)為二階邏輯的根本是集合論，因此在討論二階邏輯時(shí)不可以帶有明顯的傾向性，因?yàn)榧喜皇羌兇獾墓潭ㄐ詳?shù)學(xué)思維。但是如果是一個(gè)完全的整體主義，那么數(shù)學(xué)和邏輯之間是否存在清楚的界限是沒(méi)有必要討論的。蒯因?qū)τ诙A邏輯的討論，承認(rèn)二階邏輯的本體論承諾，同時(shí)還要保證隨著本體承諾增加二階邏輯的合法性，這是因?yàn)橐浑A邏輯同樣包含了對(duì)于數(shù)集的討論。

更進(jìn)一步說(shuō)，由于邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)沒(méi)有明確的劃分，我們可以通過(guò)已經(jīng)得到的數(shù)學(xué)成果來(lái)討論邏輯學(xué)的內(nèi)容，通過(guò)一些公式判斷二階邏輯的評(píng)價(jià)是否合理。關(guān)于二階邏輯語(yǔ)義的評(píng)價(jià)和批評(píng)存在一定的容許度，這是由于個(gè)體域及其子類(lèi)的確定存在確定的關(guān)系。

直到羅素悖論出現(xiàn)時(shí)，戴德金和皮阿諾的邏輯思想仍然得以繼續(xù)發(fā)展，二階邏輯也沒(méi)有受到影響。直至今日，出現(xiàn)問(wèn)題的根源是語(yǔ)義的混亂或者語(yǔ)境的使用不恰當(dāng)。支持二階邏輯的研究者對(duì)于二階邏輯語(yǔ)義的反對(duì)沒(méi)有一階邏輯的語(yǔ)義反駁那么強(qiáng)烈，因?yàn)樵诙A邏輯中包含了集合的概念。我們不得不承認(rèn)在數(shù)學(xué)中，直覺(jué)同樣發(fā)揮著一定的作用。在對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的二階邏輯描述時(shí)，可以對(duì)子集的直覺(jué)上的概念保持固有的看法。

假設(shè)持一階邏輯主張的研究者不是相對(duì)主義者，同時(shí)還肯定算數(shù)結(jié)構(gòu)的唯一概念，那么這名學(xué)者就會(huì)承認(rèn)一階邏輯語(yǔ)言并非適用于任何場(chǎng)所。如果只有一階邏輯理論的存在，那么在一些模型分析和嵌入問(wèn)題上很難完成。這時(shí)不得不借助二階邏輯對(duì)于嵌入模型的刻畫(huà)功能進(jìn)行補(bǔ)充和配合。

三、結(jié)語(yǔ)

一階邏輯主要描述元素的子結(jié)構(gòu)，二階邏輯增加了集合的概念，即可以通過(guò)集合描述任意多的元素。因此，二階邏輯比一階邏輯具有更強(qiáng)的表達(dá)功能，在分析數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)時(shí)，不可以單純的分析一階邏輯或者二階邏輯，二者可以作為不矛盾的存在進(jìn)行同時(shí)分析。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張賢勇，熊方，莫智文.程度與精度的邏輯差近似算子的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011（18）.

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