一類(lèi)捕食-食餌模型共存解的存在性

魏 歡，楊文彬，李艷玲*

(1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062; 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710121)

近年來(lái),一類(lèi)推廣的Lotka-Volterra捕食-食鉺模型受到了廣大學(xué)者的關(guān)注.目前，對(duì)于這類(lèi)推廣的Lotka-Volterra捕食-食鉺模型的研究更多關(guān)注的是常微分模型，對(duì)于偏微分模型的研究并不是很多.在文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)下，文中在Dirichlet邊界條件下考慮一類(lèi)推廣的Lotka-Volterra的捕食-食鉺模型：

(1)

初邊值條件為

其中，Ω為Rn中的有界區(qū)域，且邊界?Ω充分光滑；X,Y分別表示食餌和捕食者的密度；參數(shù)ζ>1,γ,ρ,β,α,ζ均為正常數(shù).ζ=1時(shí)模型(1)即為經(jīng)典的Latka-Volterra捕食-食鉺模型；ζ>1時(shí)模型(1)相比較于Latka-Volterra模型，當(dāng)捕食者的種群數(shù)量很大時(shí)，食餌種群數(shù)量將會(huì)減小為零.模型(1)的生物背景和各個(gè)參數(shù)的生物意義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2].

對(duì)模型(1)的參數(shù)進(jìn)行無(wú)綱量化，令

通過(guò)變換模型(1)改寫(xiě)成

(2)

其中參數(shù)a,b,c,e>0,r>1都為常數(shù).系統(tǒng)(2)相應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)為

(3)

文中利用錐上的拓?fù)涠壤碚摵头制缋碚撗芯肯到y(tǒng)(3)正解的存在性以及共存解的穩(wěn)定性.首先利用錐上的拓?fù)涠壤碚摵妥V分析方法給出共存解存在的充分必要條件；然后分析e→0+時(shí)共存解的漸近行為；最后利用Crandall-Rabinowitz分歧定理給出了局部分支解的存在性.

1 正解存在的充要條件

(4)

引理1[3]問(wèn)題(4)的特征值λi(q)(i=1,2,3,…)滿足λ1(q)<λ2(q)≤λ3(q)≤…→∞，相應(yīng)的特征函數(shù)分別為u1(x),u2(x),u3(x),…，其中u1(x)>0,x∈Ω,λ1(q)問(wèn)題(4)的主特征值，滿足

λ1(q)是單重的，而且有如下比較定理：若q1≤q2，則λj(q1)≤λj(q2)；若q1≠q2，則λj(q1)<λj(q2)(j=1,2,3,…).記λ1=λ1(0).

(1)λ1(q)<0?r[(M-Δ)-1(M-q(x))]>1;

(2)λ1(q)>0?r[(M-Δ)-1(M-q(x))]<1;

(3)λ1(q)=0?r[(M-Δ)-1(M-q(x))]=1.

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的定理1，不加證明地給出以下引理：

引理3(1) 當(dāng)a<λ1時(shí)，系統(tǒng)(3)的非負(fù)解只有零解；

(2)當(dāng)a>λ1時(shí)， 系統(tǒng)(3)至少有一個(gè)分量為零的非負(fù)解只有(0,0)，(u0(x),0)，其中u0(x)是方程

(5)

的唯一正解.

引理4存在常數(shù)C0,C1>0，若(u(x),v(x))是問(wèn)題(3)的任意非負(fù)非平凡解，則有先驗(yàn)估計(jì)：

證明利用極值原理易證，存在常數(shù)C0>0使得0≤u(x)≤C0.

接下來(lái)證明v的先驗(yàn)估計(jì).令w=u+v,聯(lián)立(3)式的兩個(gè)方程可得：

(au-euvr+cvur-bv)|x0≥0，

即

對(duì)v(x0)u(x0)r-1應(yīng)用Young不等式可得：

將(7)式代入(6)式可得

整理上式得

即

又因?yàn)?/p>

引理證畢. 】

給出一些記號(hào)：

記

利用文獻(xiàn)[6]中的引理2.21易證：

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，T的導(dǎo)算子是

T′(u,v)=(-Δ+P)-1(Df(u,v)+PI),

即

引理5(1) 如果a<λ1，則indexW(T,(0,0))=1;

(2)如果a>λ1，則indexW(T,(0,0))=0.

(8)

由于a≠λ1，所以1不是問(wèn)題(8)的特征值，問(wèn)題(8)的特征值λ=(λ1+P)/(a+P).因?yàn)閍<λ1，所以由文獻(xiàn)[7]中引理3.2.12可知，問(wèn)題(8)的所有特征值都大于1；由文獻(xiàn)[7]中引理3.2.4可知，成立indexW(T,(0,0))=0.

(9)

下證T′(0,0)具有α性質(zhì).因?yàn)閍>λ1，所以由引理2可知

ra:=r[(-Δ+P)-1(a+P)].

引理6(1) deg(I-T,D)=1;

indexW(T,(u0,0))=0;

indexW(T,(u0,0))=1.

證明(1) 顯然在?D上T沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即deg(I-T,D)有意義，對(duì)于任意的μ,Tμ的不動(dòng)點(diǎn)即為下述方程的解：

(10)

由引理4知，對(duì)于任意的μ∈[0,1],Tμ的不動(dòng)點(diǎn)滿足u≤C0,v≤C1，所以Tμ的不動(dòng)點(diǎn)一定落在D內(nèi).根據(jù)同倫不變性[8-9]知degW(I-T,D)不依賴μ，于是

又因?yàn)楫?dāng)μ=0時(shí)問(wèn)題(9)只有平凡解(0,0)，所以

degW(I-T0,D)=indexW(T,(0,0)).

注意到

記

直接計(jì)算可得

(11)

φ2=0.

indexW(T,(u0,0))=(-1)α,

其中α是T′(u0,0)的所有大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和.

即

(12)

若η?0，則由第二個(gè)方程可知

矛盾.所以T′(u0,0)沒(méi)有大于1的特征值，于是indexW(T,(u0,0))=1. 】

證明必要性.設(shè)系統(tǒng)(3)存在嚴(yán)格正解(u(x),v(x))>(0,0)，則a>λ1成立，且

-Δu=u(a-ur-evr)

由比較原理[12]可知u(x)

充分性.由引理5和引理6可知，indexW(T,(0,0))=0和indexW(T,(u0,0))=0，再由引理6可知,T在W中至少還有一個(gè)異于(0，0)和(u0,0)的非零不動(dòng)點(diǎn),即系統(tǒng)(3)至少還有一個(gè)異于(0,0)和(u0,0)的非零解(u(x),v(x)).于是u(x)>0,v(x)>0在Ω內(nèi)成立，即系統(tǒng)(3)至少有一個(gè)嚴(yán)格正解. 】

為方便起見(jiàn)，稱(chēng)系統(tǒng)(3)至少有一個(gè)分量為零的非負(fù)解為平凡的非負(fù)解.定義算子

定理1系統(tǒng)(3)存在嚴(yán)格正解當(dāng)且僅當(dāng)Fu,v(0,0)在系統(tǒng)(3)的所有平凡的非負(fù)解的線性化算子的特征值包含一個(gè)實(shí)部為正的特征值.

由文獻(xiàn)[6]定理2.5.1知，a-λ1是算子Fu,v(0,0)的特征值且a-λ1>0.算子F(u,v)在(u0,0)處的線性化算子為：

因?yàn)閡0(x)滿足

(4)

2 共存解對(duì)參數(shù)e的漸近行為

本節(jié)主要討論e→0+時(shí)系統(tǒng)(3)共存解的漸近行為.

當(dāng)e→0+時(shí)，問(wèn)題(3)對(duì)應(yīng)的極限問(wèn)題為

由此得a=λ1，這與已知條件相矛盾，因此u?0.再由強(qiáng)極值原理可知，在Ω內(nèi)有u(x)>0.

這與(5)式矛盾.因而v?0，于是在Ω內(nèi)有v(x)>0. 】

3 發(fā)自半平凡解處的分歧的存在性

固定a>λ1，以b作為分歧參數(shù)，討論平衡方程半平凡解(u0,0)處的分歧解.定義算子

(13)

(14)

矛盾.所以

(15)

有解.(13)的第二個(gè)方程兩邊同乘以φ2并在Ω上積分可得

因此根據(jù)Grandall-Rabinowitz分歧定理[14-15]可知,存在s0>0及

滿足

令

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