中職高考數(shù)學(xué)研究之函數(shù)

王斌

摘 要：中職高考數(shù)學(xué)函數(shù)部分不但在高考中占有很大的份額，而且是今后學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，本人將對(duì)函數(shù)研究所得，從幾個(gè)方面加以詮釋，希望為教育者和受教育者提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；定義域；值域；圖像；性質(zhì)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)概念之一。包括極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程乃至泛函分析等高等學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，無一不是以函數(shù)作為基本概念和研究對(duì)象的。中職高考數(shù)學(xué)中，函數(shù)占有百分之四十的份額，是函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)階段，即用集合、映射的思想理解函數(shù)的一般定義，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，在此基礎(chǔ)上研究了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，從而使學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中獲得較為系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)。本人在此把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)研究所得，與大家分享一下。

一、函數(shù)概念發(fā)展簡(jiǎn)史

函數(shù)的發(fā)展過程也是一個(gè)漫長(zhǎng)，不斷發(fā)展的過程，從17世紀(jì)最早的幾何意義下的函數(shù)概念，到18世紀(jì)代數(shù)概念下的函數(shù)概念，到了19世紀(jì)發(fā)展到了對(duì)應(yīng)意義下的函數(shù)概念，直到康托的集合論產(chǎn)生之后，才發(fā)展到現(xiàn)代的集合論下的函數(shù)概念。在中國(guó)，直到清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數(shù)學(xué)》一書中首次把“function”翻譯成“函數(shù)”，此譯名沿用至今。對(duì)為什么翻譯成函數(shù)，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則稱此為彼之函數(shù)”。

二、函數(shù)的主要知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)的概念經(jīng)過幾個(gè)世紀(jì)的沉淀、完善才確定下來，定義中的每一句話都至關(guān)重要，定義中指明了自變量的范圍，指出了函數(shù)值的范圍，更強(qiáng)調(diào)了“此變數(shù)中函彼變數(shù)”，即為我們今天所說的函數(shù)“三要素”。對(duì)函數(shù)的定義要字斟句酌，這是學(xué)習(xí)函數(shù)的敲門磚，只有真正理解了，才能學(xué)好數(shù)學(xué)，研究函數(shù)的套路基本上都是一樣的。

（1）函數(shù)名稱。

（2）函數(shù)定義域、值域。

（3）函數(shù)圖像。

（4）函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）。

而在具體學(xué)習(xí)過程中，記住函數(shù)的解析式，記住函數(shù)的圖像，學(xué)會(huì)看函數(shù)的圖像，就可以觀察出函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)的性質(zhì)。所以學(xué)習(xí)函數(shù)必須掌握函數(shù)與圖像的關(guān)系，理解“滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）的x、y做為坐標(biāo)（x，y）所對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程y=f（x）”。

（一）冪函數(shù)

1.冪函數(shù)：[]（其中a是不為0的常數(shù)）。

2.函數(shù)的定義域、值域因a的值不同而不同，下面把常用的幾個(gè)冪函數(shù)的圖像畫出來如下圖，函數(shù)的性質(zhì)可從圖像上觀察出來：

（1）f（x）=x；

（2）[f（x）=x2]；

（3）[f（x）=x3]；

（4）[f（x）=x-12]；

（5）[y=x-13]；

（6）[y=x12]；

（7）[y=x13]。

由圖像可以看出來，如（1）f（x）=x的圖像是過一、三象限及原點(diǎn)的一條直線，橫向看是兩端無限延長(zhǎng)的、連續(xù)的，所以它的定義域是全體實(shí)數(shù)，縱向看出是連續(xù)、無限延長(zhǎng)的所以值域也是全體實(shí)數(shù)。

函數(shù)f（x）=x的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以，函數(shù)是奇函數(shù)。圖像自左向右是上升的，所以，函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)。如（6）[y=x12]函數(shù)的圖像橫向上看，它只在x軸的正半軸上方有圖像，所以函數(shù)的定義域是x≥0的全體實(shí)數(shù)，縱向看，函數(shù)只在y軸的右方有圖像，所以，函數(shù)的值域是y≥0的全體實(shí)數(shù)。函數(shù)的圖像不對(duì)稱，所以，函數(shù)不具備奇、偶性。函數(shù)的圖像是定義域內(nèi)上升的，所以，函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)。

（二）指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)：[f（x）=ax]（a>0且a≠1）。

函數(shù)的定義域是x∈R；值域是y>0。

2.函數(shù)的圖像有兩類：

如圖a>1是一類，圖像左方向下無限接近x軸但不相交，右方向上、向右無限延長(zhǎng)；另一類是a<1，圖像右方向下無限接近x軸，但不相交，左方向左、向上無限延長(zhǎng)。從圖像上可以清楚看出，無論a>1還是a<1，函數(shù)橫向都是向兩端無限延長(zhǎng)，所以，函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，縱向看，圖像都是在x軸上方，所以，值域是大于0的全體實(shí)數(shù)。

3.從函數(shù)的圖像上看，圖像不對(duì)稱，所以，函數(shù)不具備奇、偶性；a>1時(shí)，函數(shù)圖像是上升的，所以，是增函數(shù)；a<1時(shí)，函數(shù)的圖像是下降的，所以，函數(shù)是減函數(shù)。

（三）對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)：[fx=logax（a>0且a≠1）]。

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是：x>0，的全體實(shí)數(shù)，值域是y∈R。

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是：

如下左圖，一類是底a>1的圖像，一類是底0

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：從圖像很容易看出，對(duì)數(shù)函數(shù)不具備奇、偶性。當(dāng)?shù)譨>1時(shí)，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)；當(dāng)?shù)?

三、函數(shù)部分的主要考點(diǎn)

函數(shù)在中職高考數(shù)學(xué)中占有重要的地位，所以，在高考中所占的份額也較大，主要有以下幾種題型：

1.求函數(shù)的解析式及函數(shù)值。

如例1.已知指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，9），求函數(shù)的解析式并求f（-1）、f（3）的值。

解析：這類題首先要記住函數(shù)的解析式的形式，本題是指數(shù)函數(shù)

解析式是[f（x）=ax]，只要求出了底[a]，就求出了函數(shù)的解析式。函數(shù)圖像過點(diǎn)（2，9），代入解析式，就可求出底[a]其它兩類函數(shù)也是這樣求解。

解：指數(shù)函數(shù)的解析式為[f（x）=ax]，函數(shù)圖像過點(diǎn)（2，9），

則有[f2=a2=9]，所以，a=3，指數(shù)函數(shù)解析式為[f（x）=3x]。

所以[f-1=3-1=13F3=33=27]。

2.求函數(shù)定義域。

例2.求函數(shù)的定義域：

[fx=3x-2+6+x-x2-lgx-1+（x+1）0]。

解析：中職數(shù)學(xué)高考題的第21題，也就是第一個(gè)大的計(jì)算題就是求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域一般考慮五個(gè)問題：①分母不為0；②偶次根號(hào)下非負(fù)；③零次冪的底不為0；④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0；⑤實(shí)際意義。函數(shù)的定義域就是求各部分的交集。

解：

由題知[x-2≠0 6+x-x2≥0x-1>0 x+1≠0 ]，解之得：[x≠2 -2≤x≤3x>-1 x≠-1 ]

函數(shù)的定義域是：x∈{x|1

3.求值的變化范圍。

例3.已知指數(shù)函數(shù)[f（x）=2x]的函數(shù)值[f（x）]滿足1≤[f（x）]≤4，求：自變量x的取值范圍。

解析：此類題就是考學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的觀察理解，函數(shù)值滿足1≤f（x）≤4，即是用直線y=1和直線y=8去截指數(shù)函數(shù)[f（x）=2x]的圖像，看截得的部分對(duì)應(yīng)于x軸的范圍，就是自變量的取值范圍。其它兩類函數(shù)的題也是類似方法解決。

解：由右圖可知：

函數(shù)值f（x）滿足1≤f（x）≤4，

自變量的范圍是0≤x≤2。

函數(shù)部分有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)特性，應(yīng)仔細(xì)研究，認(rèn)真體會(huì)，可以說，只有學(xué)好函數(shù)，才能學(xué)好數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社.

[2]袁振國(guó).當(dāng)代教育學(xué)[M].教育科學(xué)出版社，2004.